《初中數(shù)學116解題模型》450頁

1、深本數(shù)學深本數(shù)學116解題模型解題模型（初中版）配套母題（初中版）配套母題目錄1等角套雞爪圖（旋轉(zhuǎn)大法）內(nèi)含半角模型（截長補短+旋轉(zhuǎn)大法）將軍飲馬（牛喝水）兩村一路問題及拓展 妙趣橫生的“十字架”（四邊形+三角形）中點處理策略 五大模型角平分線處理策略（雙垂、單垂、雙等、與平行等腰疊加）相似模型俱樂部倍半角處理策略三角比與解三角形及應用模型（確定即可求的理念進一步深化）一次函數(shù)中K的顏值及其妙用二次函數(shù)常用二級結(jié)論及解題套路反比例函數(shù)中的幾何模型及二級結(jié)論完美無缺的圓（圓中的模型）妙不可言、威力無窮的12345模型目錄2“魔鬼模型”婆羅摩笈定理及模型方、不、函綜合應用題解題策略數(shù)與代數(shù)中的二級

2、結(jié)論正方體展開模型識記方程與不等式重點、難點、易錯點處理策略瓜豆原理（相似+縮放+旋轉(zhuǎn)的疊加）胡不歸（斜邊打折變對邊，正弦助力胡可歸）最大張角（米勒定理）阿氏圓（子母相似邂逅圓創(chuàng)造奇跡）中考六道大題破解策略總結(jié)及示例作輔助線的的原則初中數(shù)學116解題模型完整版與初中數(shù)學緊密相關(guān)的幾個歷史人物三角形全等的 模型與技巧講義(初二培優(yōu)特供)初中數(shù)學通關(guān)口訣初中數(shù)學通關(guān)口訣代數(shù)抓精髓；代入是關(guān)鍵。代數(shù)抓精髓；代入是關(guān)鍵。 代數(shù)一般式；兩得全搞定。代數(shù)一般式；兩得全搞定。算功過三關(guān)；解功四門檻。算功過三關(guān)；解功四門檻。 方程辨兩類；函數(shù)識三型。方程辨兩類；函數(shù)識三型。函數(shù)三姐妹；勾股三用途。函數(shù)三姐妹；

3、勾股三用途。 系數(shù)不為零；指數(shù)要相吻。系數(shù)不為零；指數(shù)要相吻。非負三兄弟；蛻皮兩魔鬼。非負三兄弟；蛻皮兩魔鬼。 統(tǒng)計要通關(guān)；兩查走在前。統(tǒng)計要通關(guān)；兩查走在前。幾何要通透；精髓是特殊。幾何要通透；精髓是特殊。 四圖加一表；數(shù)據(jù)整理好。四圖加一表；數(shù)據(jù)整理好。重點特殊圖；識圖定性判。重點特殊圖；識圖定性判。 數(shù)據(jù)分析透；三差加三數(shù)。數(shù)據(jù)分析透；三差加三數(shù)。兩圖談感情；特殊關(guān)系聯(lián)。兩圖談感情；特殊關(guān)系聯(lián)。 概率也不難；頻率能估算。概率也不難；頻率能估算。全等加相似；對稱與旋轉(zhuǎn)。全等加相似；對稱與旋轉(zhuǎn)。 列表和樹型；搞清總和分。列表和樹型；搞清總和分。平移與投影；位似也要算。平移與投影；位似也要算。

4、 魚池魚幾多；應用記概型。魚池魚幾多；應用記概型?？键c說舉做；做題改變找?？键c說舉做；做題改變找。 動點巧分類；最短牛喝水。動點巧分類；最短牛喝水。條件挖隱含；分類不漏點。條件挖隱含；分類不漏點。 找準臨界點；相似巧破題。找準臨界點；相似巧破題。思路技巧精；反思記模型。思路技巧精；反思記模型。 代數(shù)兩特殊；首先特殊數(shù)。代數(shù)兩特殊；首先特殊數(shù)。應用均同宗；關(guān)系是根本。應用均同宗；關(guān)系是根本。 數(shù)數(shù)拉關(guān)系；方不與函數(shù)。數(shù)數(shù)拉關(guān)系；方不與函數(shù)。元量同回代；運算有六種。元量同回代；運算有六種。關(guān)系大小等；再加倍比分。關(guān)系大小等；再加倍比分。每每有熱點；負元巧應用。每每有熱點；負元巧應用。算功：有理數(shù)、

5、無理數(shù)、代數(shù)式的三種計算功力。解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組、不等式（組）的四種功力。勾股三用途：指勾股定理的計算；列方程；證明垂直的三項功能。 初中數(shù)學精髓初中數(shù)學精髓1.幾何：兩個字概括特殊：特殊圖形；特殊關(guān)系（全等、相似）。2.代數(shù)：兩個字概括代入：字母的含義代入代數(shù)式、方程、不等式或者函數(shù)。3.幾何三大方法：全等、相似、勾股定理。4.輔助線的認識對內(nèi)分割對外補形5.壓軸題大類：幾何綜合；代數(shù)綜合；代幾綜合。戲說數(shù)學之代數(shù)分式方程（可化為一元一次方程）死數(shù)（實數(shù)）活數(shù)（含有字母的數(shù)）代數(shù)式（定義）有理式無理式整式分式單項式多項式特殊數(shù)數(shù)與數(shù)之間的特殊關(guān)系相等關(guān)系：等

6、式及方程不等關(guān)系：不等式（組）全部關(guān)系：函數(shù)與圖象整式方程一元（一次；二次）二元（一次方程組）代數(shù)學什么？數(shù)以及代數(shù)學什么？數(shù)以及數(shù)與數(shù)的關(guān)系！數(shù)與數(shù)的關(guān)系！按照數(shù)的性質(zhì)為代數(shù)式分類按照數(shù)的性質(zhì)為代數(shù)式分類 代數(shù)式死數(shù)（實數(shù)）死數(shù)（實數(shù)）活數(shù)（含字母的數(shù)）活數(shù)（含字母的數(shù)）永正數(shù)：非負數(shù)永正數(shù)：非負數(shù)+正數(shù)正數(shù)非負數(shù)：平；絕；根非負數(shù)：平；絕；根永負數(shù)：（非負數(shù)永負數(shù)：（非負數(shù)+正數(shù)）正數(shù)）條件活數(shù)（川劇變臉）條件活數(shù)（川劇變臉）戲說數(shù)學之幾何基本圖形（點、線、面、空）特殊圖形（三、四、多、圓）特殊圖形三角形性質(zhì)（直角等腰）（平矩菱正）特特殊殊圖圖圖與圖之間圖與圖之間的特殊關(guān)系的特殊關(guān)系全等關(guān)

7、系相似關(guān)系變換關(guān)系 定義四邊形判定定義性質(zhì)判定對稱興致平移位似投影視圖多邊形與圓（正、圓）普通圖形（丑）特殊圖形（美）（整容）（整容）幾何學什么：特殊的圖形以及圖形之間的特殊關(guān)系！幾何學什么：特殊的圖形以及圖形之間的特殊關(guān)系！學習幾何要過四關(guān) 畫圖關(guān)：按照題意畫圖形。 語言關(guān)：文字語言（自然語言）、圖形語言、符號語言這三種語言的轉(zhuǎn)換和翻譯。 推理關(guān)：證明，推理的能力和步驟。 模型關(guān)：掌握常用的幾何模型。訣曰：等角套，套等角，順藤摸瓜找相似。備注：等角套也叫共點等角、旋轉(zhuǎn)等角。分為“內(nèi)套和外套。OABCDOABCD如圖：若AOBCOD（等角套：內(nèi)套；外套 ）則立得： AOCBOD（理由： ）等角

8、套等角：產(chǎn)生一對新的等角，“順藤摸瓜”去確定這一對等角所在的兩個可能相似（全等）的三角形，找到條件證之用之撥開云霧見天日！1訣曰：歪八套，和歪 A，形影不離似孿生。 特殊的三對相似（和四點共圓結(jié)合理解更加妙趣橫生）ABCDO若DC，這個圖形為“歪8”，顯然AODBOC，添油加醋ABCDO若DC，這個圖形為“歪8”，顯然AODBOC，添油加醋連接AB、DC， AOBDOC相似嗎？為什么？八字倒角八字倒角（共邊等角，一等三等）：（共邊等角，一等三等）：如圖：如果BAC與BDC； DAC與DBC； ABD與ACDBDA與ACB四對共邊等角中，有一對相等，則另外三對一定相等。思考：為什么叫“共邊等角共

9、邊等角”？ （學了圓，理解、記憶更容易）母題一母題一ABCDEF1.如圖：ABC和ADE均為等邊三角形，連接BD、CE（手拉手），延長BD交CE于F，連接AF。求證： ABD ACE BFC=60 AF平分DFE2.若把上題已知條件中的等邊三角形改為等腰直角三角形，BAC和DAE為直角，請判斷：上述結(jié)論有什么變化？試證明你的判斷。3.若把“1”題已知條件中的等邊三角形改為頂角相等的兩個等腰三角形，BAC和DAE頂角，請判斷：上述結(jié)論有什么變化？試證明你的判斷。4.若把“1”中的條件改為： ABC中，DEBC，把 ABC旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置。其他條件不變。請判斷：上述結(jié)論有什么變化？試證明你的判

10、斷。ABCDEFDE 口訣：口訣：手拉手，是旋轉(zhuǎn)，等邊等腰和任三。手拉手，是旋轉(zhuǎn)，等邊等腰和任三。母題二母題二ABCEDFGM1.如圖：點B、C、D在一條直線上，ABC與ECD都是等邊三角形，其中的點及對應的字母如圖所示。證明： BCE ACD（BE=AD本質(zhì)：等角套+旋轉(zhuǎn)全等） CDF CEG CBG CAF（旋轉(zhuǎn)全等） CGF是等邊三角形。MC是GMF的平分線。（以點M為頂點的角有 六個60角，請你找出來并說明理由）。ABCDEMEG2.如圖：把題“1”中的兩個等邊三角形繞C點 反向旋轉(zhuǎn)（左逆右順），就形成了一對新的“雙等邊三角形”。已知： ABC為任意三角形，ABAC，BAC120，分別

11、以AB、AC為邊向三角形外側(cè)作兩個等邊三角形：ABD與ACE。其中中的點及對應的字母如圖所示。證明：BE=DC MA是GME的平分線。（以點M為頂點的角有六個60角，請你找出來并說明理由）。 AEG是等邊三角形嗎？為什么？AE=AE嗎？說明理由。注意：2中的點M為ABC的費馬點：三角形中到三個頂點距離的和最小的點！且這個最小距離就是DC或BE（為什么？）（為什么？）雙等邊模型母題三母題三雙正方形模型ABCDEFGH1.如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形，G在CD上，BG的延長線交DE于H。求證：BG=DE BGDE （內(nèi)含內(nèi)含：歪八套歪歪八套歪A+四點共圓，與圓結(jié)合：寶藏也四點共圓

12、，與圓結(jié)合：寶藏也）ABCDEFGH2.如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形，BG交DE于H。求證：BG=DE BGDE （對照對照“1”，類比推理，類比推理） 母題四母題四ABC1.如圖，等腰直角三角形ABC中，D為斜邊BC上的中點，E、F分別在AB、AC上，且EDEF，求證：BE=AF EDF為等腰直角三角形 BE2+CF2=EF2 SABC=2S四邊形AEDFEF2.在“1”中，若EF與AD相交于G，其他條件不變，求證：ED2=EGEA GEGF=GAGDABCEFG母題五母題五母題六母題六2訣曰：訣曰：共頂點，等線段，繞著頂點來旋轉(zhuǎn)。共頂點，等線段，繞著頂點來旋轉(zhuǎn)。 雞爪圖，

13、三線段，抓住定角也旋轉(zhuǎn)。雞爪圖，三線段，抓住定角也旋轉(zhuǎn)。簡釋簡釋 ：遇到共點等線段出現(xiàn)，可以考慮在共點等線組成的角內(nèi)找一條過角的頂點的線段（所謂的雞爪圖雞爪圖），把該線段繞角的頂點旋轉(zhuǎn)一個與相同的角度，構(gòu)造“等角套等角套”，此時必然會產(chǎn)生一對全等三角形。全等三角形。利用利用全等的性質(zhì)去解決問題，事半功倍。全等的性質(zhì)去解決問題，事半功倍。ABCDABDCE如圖：若已知AB=AC，AD是過A點的一條線段怎么做輔助線？怎么做輔助線？作AE=AD，且EAD= BAC（或：把線段AD繞A點旋轉(zhuǎn)一個與BAC相等的度數(shù) ），可以達到柳暗花明又一村柳暗花明又一村的奇效。雞爪圖母題七母題七ABCD如圖：等腰直角

14、BAC中，BAC=90，D為BC邊上任意一點。猜想：AD、BD、DC的數(shù)量關(guān)系并證明。母題八母題八四邊形+換個角度看等角套：共點等線旋轉(zhuǎn)解題策略1.如圖：正方形ABCD內(nèi)有一點E，且EA=1，EB=2EC=3，求AEB的度數(shù)。ABCDE雞爪旋轉(zhuǎn)（圖中幾個雞爪？選擇哪個？為什么？）口訣：口訣：輔助線，有原則，聚合補全方向明。2.如圖：ABC=30， ADC=60，AD=DC，求證：AB2+BC2=BD2ABCD如果AB=4，BC=3，求BD=？ABCD圖解：圖中直角=360 -（360-30-60）=90母題九母題九ABCE如圖：等邊三角形ABC中，EA=3，EB=4，EC=5求AEB的度數(shù)。母

15、題十母題十“鄰補四邊形模型鄰補四邊形模型”口訣：口訣：對角補，鄰邊等，知二推一角平分對角補，鄰邊等，知二推一角平分。ABCD鄰補四邊形：鄰補四邊形：對角互補，鄰邊相等的四邊形！對角互補，鄰邊相等的四邊形！如圖：四邊形ABCD中，ABC=ADC=90，且AB=AC，求證：BD平分ADC=90 DA+DC= BD S四邊形ABCD=1/2BD2特別提示：特別提示：類似題目可以用“旋轉(zhuǎn)大法旋轉(zhuǎn)大法”和“截長補短截長補短”法以及“角平分線雙垂直模型角平分線雙垂直模型”解決，建議對比提升解題能力。2母題十一母題十一ABCD1.如圖：四邊形ABCD中，ABC=60， ADC=120且AB=AC，求證：BD

16、平分ADC DA+DC= BD S四邊形ABCD= BD2特別提示：特別提示：和“母題九”類比，條件和結(jié)論分別佛發(fā)生了什么變化？342.如圖：四邊形ABCD中，ABC+ADC=180且AB=AC，求證：BD平分ADC問:“1”中的其它結(jié)論還成立嗎？為什么？小結(jié)，拓展：小結(jié)，拓展：上面是所謂的共點等線構(gòu)成的“雞爪圖雞爪圖”，旋轉(zhuǎn)后構(gòu)成一對全等的三角形。如果是任意的“雞爪圖雞爪圖”呢？可以如法炮制如法炮制嗎？ABCDABDCE如圖：若已知ABAC，假定AB：AC=m，AD是過A點的一條線段怎么做輔助線？怎么做輔助線？作AD：AC=m，且DAE= BAC（或：把線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)一個與BAC相等的度

17、數(shù)，并使 AD：AE=m ），會發(fā)生什么？有全等嗎？顯然不是！找一找：是不是出現(xiàn)了相似神氣的一轉(zhuǎn)成雙！雞爪圖母題十二母題十二方法方法3旋轉(zhuǎn)+截長補短：破解半角模型半角模型訣曰：訣曰：共頂點，等線段，繞著頂點來旋轉(zhuǎn)。 雞爪圖，三線段，抓住定角也旋轉(zhuǎn)。線段和，要得證，截長補短是正本。正方形，等直三，內(nèi)含半角轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)。母題十三母題十三1.如圖：正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且EAF=45，證明：EF=BE+DF證明ECF的周長等于正方形ABCD周長的一半。過A作AHEF于H，證明：AH=BC備注：用旋轉(zhuǎn)法和截長補短法兩種方法證明。2.如圖：在“1”的條件下，連接BD交AE于G，AF于

18、M，連接EM、GF。GF與EM相交于O點。證明：BG2+MD2=GM2 證明：AGF與AME是等腰直角三角形證明：AE平分BEF；AF平分DFE 證明： EAB EFG； ADF EMF圖中有至少六個圓內(nèi)接四邊形，太多的相似三角 形可以自己去找。GMO更多結(jié)論參考下頁更多結(jié)論參考下頁正方形內(nèi)含半角正方形內(nèi)含半角母題十四母題十四鄰補四邊形鄰補四邊形內(nèi)含半角（鄰邊相等，對角互補的四邊形）ABCDEFABCDEFABCEF1.如圖：四邊形ABCD中，E、F分別是CD、AD上的點， ABC= ADC= 90且EBF=45，猜想并證明線段EF、CE、AF之間的數(shù)量關(guān)系備注：用旋轉(zhuǎn)法和截長補短法兩種方法證

19、明。2.如圖：四邊形ABCD中，E、F分別是CD、AD上的點， ABC+ADC= 180且EBF=1/2 ABC ，猜想并證明線段EF、CE、AF之間的數(shù)量關(guān)系備注：用旋轉(zhuǎn)法和截長補短法兩種方法證明。2.如圖：等腰直角ABC中， ABC =90，E、F都是AC上的點，且EBF=45 ，猜想并證明線段EF、CE、AF之間的數(shù)量關(guān)系備注：用旋轉(zhuǎn)法和截長補短法兩種方法證明。此題其實就是母題十二“2”中的第一問！自造半角模型解體策略自造半角模型解體策略：三角形：三角形作高翻折作高翻折！4將軍飲馬將軍飲馬：這個將軍飲的不是馬，是數(shù)學！解題依據(jù)：兩點間線段最短；點到直線的垂直距離最短；翻折，對稱。解題策略

20、：對稱、翻折對稱、翻折化同為異；化異為同；化折為直?？谠E：和與差，求最值，將軍飲馬七七模型模型！ABP兩村一路（異側(cè)）兩村一路（異側(cè)）和最小和最小兩村一路（同側(cè)）兩村一路（同側(cè)）和最小和最小一村兩路和最小一村兩路和最小兩村兩路和最小兩村兩路和最小兩村一路（線段）和最小兩村一路（線段）和最小兩村一路（同側(cè)）兩村一路（同側(cè)）差最大差最大兩村一路（異側(cè)）兩村一路（異側(cè)）差最大差最大母題十五母題十五AB函數(shù)中的將軍飲馬（四大模型）如圖：平面直角坐標系中有A、B兩點A（1，3）；B（4，2）。若x軸上有一動點P，當PA+PB最短 時，求P點的坐標及PA+PB的最小值。若x軸上有一動點P，y軸上有一動點

21、Q，當APQ的周長最短時，求出P、 Q兩點的坐標，并求出此時APQ的 周長的最小值。若x軸上有一動點P，y軸上有一動點 Q，當四邊形AQPB的周長最短時， 求出P、 Q兩點的坐標。若x軸上有一線段EF，且EF=1，當四 邊形AEFB的周長最短時，求出E、F 兩點的坐標。ABOO備用圖母題十六母題十六“變態(tài)變態(tài)的將軍飲馬的將軍飲馬” 造橋選址造橋選址問題問題母題十七母題十七兩村一路母題十八母題十八ABCDMN兩村一路母題十九母題十九兩村一路母題二十母題二十“變態(tài)的”兩村一路：固定變量法答案：答案：先設先設E點不變，畫出點不變，畫出P點后在確定點后在確定E的位置！的位置！固定變量法固定變量法母題二

22、十一母題二十一EF由面積關(guān)系得：EF與BC的距離為2，所以，B點的對稱點是A，連接AC，AC=5=PB+PC一村兩路母題二十二母題二十二母題二十三母題二十三AOBP1.如圖，AOB=30，點P為AOB內(nèi)部一點，且OP=15，OA、OB上分別有兩個動點M、N，當AMN的周長最短時，求周長的最小值。1.如圖，點P為AOB內(nèi)部一點且OP=15，OA、OB上分別有兩個動點M、N，當AMN的周長最短為15 時，求AOB的度數(shù)。AOBP2一村兩路母題二十四母題二十四兩村兩路ABCDMNPQ如圖：矩形ABCD中，AC=6，DC=4，DM=1BN=2，P、Q分別為AB、AC上的兩個動點，當四邊形MNPQ的周長最小時，求周長的最小值。母題二十五母題二十五兩村一路差最大兩村一路差最大OxyA（2，2）B（8，-6）如圖：平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標已知，在x軸上有一動點P。當|PA-PB|最大時，求P點的坐標，并求出|PA-PB|的最大值。5十字架模型：訣曰：三角形，四邊形，十字架中有乾坤 又改斜，又改正，橫平豎直有矩形?！菊叫蝺?nèi)的十字架結(jié)構(gòu)正方形內(nèi)的十字架結(jié)構(gòu)】1、在正方形ABCD中，