第20章 振動 大學物理張三慧第三版課件!

1、 波動與光學波動與光學 第第2020章章 振動振動20.120.1 簡諧運動的描述簡諧運動的描述20.220.2 簡諧運動的動力學簡諧運動的動力學20.320.3 簡諧運動的能量簡諧運動的能量 20.620.6 同一直線上同頻率的簡諧運動的合成同一直線上同頻率的簡諧運動的合成大 學 物 理 第第2020章章 振動振動1.1.振動是一種重要的運動形式振動是一種重要的運動形式 狹義振動：物體在某一位置做往復運動。狹義振動：物體在某一位置做往復運動。 2.2.振動有各種不同的形式振動有各種不同的形式機械振動機械振動：位移：位移x x 隨時間隨時間t t的往復變化的往復變化電磁振動電磁振動：電場、磁場

2、等電磁量隨：電場、磁場等電磁量隨t t的往復變化的往復變化微觀振動微觀振動：如晶格點陣上原子的振動：如晶格點陣上原子的振動廣義振動廣義振動：任一物理量：任一物理量 ( (如位移、電流等如位移、電流等) ) 在某在某一數(shù)值附近反復變化。一數(shù)值附近反復變化。 振動分類振動分類受迫振動受迫振動自由振動自由振動阻尼自由振動阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由非諧振動( (簡諧振動簡諧振動) )無阻尼自由諧振動無阻尼自由諧振動20.120.1 簡諧振動的描述簡諧振動的描述一一. .簡諧振動簡諧振動：物體離開平衡位置的位移按余：物體離開平衡位置的位移按余弦函數(shù)弦函數(shù)( (或

3、正弦函數(shù)或正弦函數(shù)) )的規(guī)律隨時間變化的規(guī)律隨時間變化（運動學定義）（運動學定義）mx0 x 彈簧振子做簡諧振動彈簧振子做簡諧振動 表達式表達式：x(t)=acos( t+ ) 簡諧振動簡諧振動x x隨隨t t按正弦（或余弦）變化。按正弦（或余弦）變化。 特點：特點： (1) (1)等幅振動等幅振動 (2)(2)周期振動周期振動 x x( (t t)=)=x x( (t+tt+t）二二. . 描述簡諧振動的三個特征量描述簡諧振動的三個特征量 1. 振幅振幅 a2. 周期周期t 和頻率和頻率 v = 1/t (hz)3. 相位相位(1) ( t + + )是是 t 時刻的相位時刻的相位（運動狀

4、態(tài)）（運動狀態(tài)）22t角頻率角頻率 (2) 是是t =0時刻的相位時刻的相位 初相初相三、三、 簡諧振動的描述方法簡諧振動的描述方法1. 1. 解析法解析法由由 x x= =a acos(cos( t t+ + ) )已知表達式已知表達式 a a、 、 已知已知a a、 、 表達式表達式三角函數(shù)問題。三角函數(shù)問題。2.2.曲線法曲線法 已知振動曲線已知振動曲線 a a、 、 已知已知a a、 、 振動振動曲線曲線oa-atxt 用振動曲線描述簡諧振動用振動曲線描述簡諧振動 = /2taxcost 3.3.旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法 （相量圖法相量圖法）投影到投影到y(tǒng) y, ,描述描述y y方向的諧振

5、動方向的諧振動投影到投影到x x軸軸, , 描述描述x x方向方向的諧振動的諧振動xay投影到任意軸？投影到任意軸？xox 逆時針逆時針xa t對應量對應量a t+ x旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量長度長度角速度角速度初角初角夾角夾角投影投影簡諧振動簡諧振動振幅振幅圓頻率圓頻率位移位移初相位初相位相位相位* *旋轉(zhuǎn)矢量與振動的對應量旋轉(zhuǎn)矢量與振動的對應量0tt 四四. 相位差相位差 1. 相位差和初相差相位差和初相差 相位差相位差相位之差相位之差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1) 對兩個對兩個同頻率同頻率的簡諧振動，相位差的簡諧振動，相位差等于等于 初相差：初相差： = 2- 1x2txoa1-a1

6、a2- a2x1t反相反相xoa1-a1a2- a2x1x2tt同相同相 (a) (a) 兩同相振動的振動曲線兩同相振動的振動曲線 (b) (b) 兩反相振動的振動曲線兩反相振動的振動曲線 2.2.同相和反相同相和反相 當當 = = 2 2k k ， ( ( k k = 0,1,2,= 0,1,2,) )， 兩振動兩振動步調(diào)相同步調(diào)相同，稱，稱同相同相。 當當 = = (2(2k k+1)+1) ， ( k( k= 0,1,2,= 0,1,2,) )， 兩振動兩振動步調(diào)相反步調(diào)相反，稱，稱反相反相。3.3.領先領先( (超前超前) )和落后和落后( (滯后滯后) )若若 = = 2 2- -

7、1 1 0, 0, 則則 x x2 2比比x x1 1較早達到正最大，稱較早達到正最大，稱x x2 2比比x x1 1領先領先 ( (或或x x1 1比比x x2 2落后落后) )。 領先、落后以領先、落后以 的相位角的相位角來判斷。來判斷。x2txoa1-a1a2a2x1t思考思考: 在相量圖上怎樣表現(xiàn)在相量圖上怎樣表現(xiàn)位相超前或落后、位相超前或落后、 同相、反相？同相、反相？ 1 2 xo 1 2 xo 1 2 xo五五. .簡諧振動簡諧振動的速度、加速度的速度、加速度1.1.速度速度)sin( tatddx)2cos( ta 速度也是簡諧振動速度也是簡諧振動 比比x領先領先 /2)cos

8、()( tat2. 加速度加速度)cos(222 tatdxda)cos()(aatata 也是簡諧振動也是簡諧振動x、 、aottx 2a 0 0 0a 0 0 0減速減速加速加速減速減速加速加速 aa-a- a- 2a a簡諧振動的位移、速度和加速度曲線簡諧振動的位移、速度和加速度曲線 例例1.1. 用向量圖法，用向量圖法，按圖寫振動方程。按圖寫振動方程。x(m)t (s) 10 -5t (s) 1021x(m)2 mtx)32cos(10 mtx)2cos(10已知已知: :旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量a=0.04m, a=0.04m, =4=4 (rad/s)(rad/s)例例2.2. 由旋轉(zhuǎn)矢量

9、由旋轉(zhuǎn)矢量法法畫振動曲線，寫畫振動曲線，寫振動方程。振動方程。 /4xot (s)x(m)211611610.04-0.04mtx)44cos(04. 0方法一：用方法一：用t=0t=0時旋轉(zhuǎn)矢量畫時旋轉(zhuǎn)矢量畫 mtx)22cos(02. 0 x(m)0.02t (s)0.02x(m)例例3.3. 由方程畫由方程畫振動振動曲線。已知方程：曲線。已知方程：24 mtx)22cos(02. 0t (s)x(m) mtx2cos02. 0方法二：先參考標準式方法二：先參考標準式再根據(jù)初相平移再根據(jù)初相平移例例1.1例例4 4 一質(zhì)點沿一質(zhì)點沿x x軸作簡諧振動，軸作簡諧振動，a=0.12ma=0.1

10、2mt=2st=2s，x x0 0=0.06m=0.06m, ,此時刻質(zhì)點向此時刻質(zhì)點向x x正向正向運動。運動。求求:(1):(1)運動方程運動方程 (2)(2)t=t/4t=t/4時時x,v,ax,v,a (3) (3) 第第一次通過平衡位置的時刻一次通過平衡位置的時刻t t 解：解：(1) x=acos( t+ ) =0.12cos( t /3 /3) m(2) v=a cos( t /3 /3 + /2) m/s a= a 2 2 cos( t /3 /3 + ) m/s2把把t=t/4 代入代入x,v,aat23ff /3 /3 /2 /2 5/65/6)(6565stf (3) (

11、3) 第一次通過平衡位置的時刻第一次通過平衡位置的時刻t t fft=0( s)t=5/6 ( s)由運動學：由運動學：20.220.2 簡諧運動的動力學簡諧運動的動力學xdtxda222xmtdxdmmaf222牛二定律：牛二定律：即：作簡諧振動的質(zhì)點所受合外力與它即：作簡諧振動的質(zhì)點所受合外力與它對于平衡位置的位移成正比，方向相反。對于平衡位置的位移成正比，方向相反。f f稱為回復力。稱為回復力。反過來：受到指向平衡位置的力的質(zhì)點作反過來：受到指向平衡位置的力的質(zhì)點作簡諧簡諧振動振動。 即：受合外力為即：受合外力為f=f=kxkx的質(zhì)點做的質(zhì)點做簡諧振動簡諧振動。由牛二定律：由牛二定律：

12、f=ma 得得22dtxdmkx )0( ,022kxmkdtxd微分學上，必有：微分學上，必有：x xacos(tacos(t+ + ）簡諧振動的動力學方程簡諧振動的動力學方程其中其中kmtmk22,a a、 由初始條件決定。由初始條件決定。 、t t是固有角是固有角頻率、固有周期頻率、固有周期由諧振子由諧振子的固有物的固有物理性質(zhì)決理性質(zhì)決定定22020vxa00 xvtg結(jié)論：結(jié)論： 一個諧振子一個諧振子(確定確定m,k)，只能只能有一個固定的頻率，但可以有無數(shù)的有一個固定的頻率，但可以有無數(shù)的a 和和 ，即可做無數(shù)種振動。即可做無數(shù)種振動。0t初始條件： cos0ax sin 0av（

13、運動學方程）動力學方程）)cos(0222taxxdtxdx 任意物理量任意物理量簡諧振動的普遍表示形式簡諧振動的普遍表示形式、單擺sinmgft合外力o為平衡位置，逆時針方向為正方向很小，mgftttmaf 又022lgdtd,lgglt22動力學動力學運動學運動學22dtdmll ft mg t0 x 證明懸掛的彈簧證明懸掛的彈簧m,k的振動的振動是諧振。求出振動周期。是諧振。求出振動周期。mgxkmgf任意任意x處處ox平衡位置平衡位置o )(xxkkx解：解：彈簧原長處為彈簧原長處為ooxkkxxkkmt2簡諧振動簡諧振動022xmkdtxdmk2 待物體靜止后待物體靜止后, ,再向再

14、向下拉下拉y0 0=0.1=0.1m后放手后放手, ,測得測得t=2t=2s。求：求：(1)(1)振動方程振動方程; ;om1 . 0y(2)(2)首次過平衡位置時首次過平衡位置時物體物體的速度的速度; ;(3)(3)第二次經(jīng)過平衡位置上方第二次經(jīng)過平衡位置上方0.050.05m處處的加速度的加速度; ;(4)(4)物體從平衡位置下方物體從平衡位置下方0.050.05m處向上處向上運動到平衡位置上方運動到平衡位置上方0.050.05m處所需處所需的最的最短時間。短時間。課練課練1 1、解：解：00.100vy12st(1)(1)求振動方程求振動方程; ;0tg001yv mty cos1 .

15、000y舍舍myya1 . 0022020vm1 . 0oy首次過平衡位置的時刻：首次過平衡位置的時刻：t t = =t t/4 =1/2/4 =1/221sin1 . 0ta sinv(2)(2)首次過平衡位置時物體的速度首次過平衡位置時物體的速度; ;11 . 0msm1 . 0oy23t(3)(3)第二次經(jīng)過平衡位置上方第二次經(jīng)過平衡位置上方0.050.05m處處的加速度的加速度; ;m1 . 0m05. 0oytaacos23t3cos1 . 02a2493.0ms(4)(4)物體從平衡位置下方物體從平衡位置下方0.050.05m處向上處向上運動到平衡位置上方運動到平衡位置上方0.05

16、0.05m處所需處所需的最的最短時間。短時間。m05. 0m05. 0oyfft2t=223/t st31 20.320.3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量(以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例)(1) 動能動能221 mek )(sin2122 tkaoxmx0 = 00,21min2max kkekae2411kadtetetttkk 2)sin(21tammk2(2) 勢能勢能221kxep )(cos2122 tka情況同動能。情況同動能。pppeee,minmax(3) 機械能機械能221kaeeepk 結(jié)論結(jié)論:簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒xttek(1/2)ka2o

17、kpee epe)(sin2122tkaekm2120.6 同一直線上同頻率的簡諧振動的合成同一直線上同頻率的簡諧振動的合成1.分振動分振動 :x1=a1cos( t+ 1)x2=a2cos( t+ 2) 2.合振動合振動 :合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動, 其頻率仍為其頻率仍為 一、兩個諧振動的合成一、兩個諧振動的合成x2x0 x2a22x1m1a1pmxa221xxxta cos2211coscostatataxcos12212221cos2aaaaa221122111coscossinsinaaaatg21122aaak211212aaak旋轉(zhuǎn)矢量法：旋轉(zhuǎn)矢量法：tg =ayaxaa1

18、a2 y x o 1 2 axay兩個沿兩個沿x 軸的同頻簡諧振動軸的同頻簡諧振動合成的旋轉(zhuǎn)矢量圖合成的旋轉(zhuǎn)矢量圖a a、 可由旋轉(zhuǎn)矢量法導出，可由旋轉(zhuǎn)矢量法導出，這比用解析法這比用解析法方便。方便。由圖，由圖，ax = a1cos 1 + a2cos 2ay = a1sin 1 + a a2sinsin 2再由再由 a2 = a12 + a22 可得以上可得以上 a、 的表示式的表示式兩種特殊情況兩種特殊情況:(1)若兩分振動同相，若兩分振動同相， 2 1 = 2k ，則則 a=a1+a2， 兩分振動兩分振動 相互加強相互加強。(2)若兩分振動反相，若兩分振動反相， 2 1= (2k+1) ,則則a = |a1 - a2|， 兩分振動兩分振動 相互減弱相互減弱。 (以上以上k = 0,1,2,) 如再有如再有a1=a2， 則則a = 0。 此情形下，此情形下，“振動加振動等于不振動振動加振動等于不振動”。12212221cos2aaaaa課堂練習課堂練習2：日光燈電路如下圖所示。燈管相日光燈電路如下圖所示。燈管相當于一個電阻當于一個電阻r，鎮(zhèn)流器