(新)高中數(shù)學極坐標與參數(shù)大題(詳解)

1、參數(shù)方程極坐標系解答題1已知曲線 C： + =1，直線t 為參數(shù)）考點： 專題 ： 分析：解答：解：（ ）對于曲線 C：=1，可令 x=2cos 、y=3sin ，故曲線 C 的參數(shù)方程為，（ 為參數(shù)） ）寫出曲線 C 的參數(shù)方程，直線 l 的普通方程）過曲線 C上任意一點 P作與 l夾角為 30°的直線，交 l于點 A，求|PA|的最大值與最小值參數(shù)方程化成普通方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系坐標系和參數(shù)方程（）聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系可取x=2cos、y=3sin得曲線 C的參數(shù)方程，直接消掉參數(shù) t得直線 l 的普通方程；（）設(shè)曲線 C 上任意一點 P（ 2cos， 3sin）由點到直

2、線的距離公式得到 P到直線 l 的距離，除以|PA|的最大值與最小值sin30°進一步得到 |PA|，化積后由三角函數(shù)的范圍求得對于直線 l：由 得： t=x2，代入 并整理得： 2x+y 6=0；P 到直線 l 的距離為（ ）設(shè)曲線 C 上任意一點 P（ 2cos， 3sin）其中 為銳角當 sin（ +）=1時， |PA|取得最大值，最大值為點評：當 sin（ +）=1 時， |PA|取得最小值，最小值為本題考查普通方程與參數(shù)方程的互化，訓練了點到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題2已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與x 軸的正半軸重合，直線 l 的極坐標

3、方程為：，曲線 C 的參數(shù)方程為：（ 為參數(shù)）（ I）寫出直線 l 的直角坐標方程；（ ）求曲線 C 上的點到直線 l 的距離的最大值考點 ： 參數(shù)方程化成普通方程專題 ： 坐標系和參數(shù)方程分析： （1）首先，將直線的極坐標方程中消去參數(shù)，化為直角坐標方程即可；（2）首先，化簡曲線 C 的參數(shù)方程，然后，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解解答：解：（ 1） 直線 l 的極坐標方程為：( sin，cos)x y+1=0 =，=，（2）根據(jù)曲線 C 的參數(shù)方程為：為參數(shù)）得（x 2） 2+y2=4 ，它表示一個以（ 2，0）為圓心，以 2 為半徑的圓， 圓心到直線的距離為：d= ，曲線 C上的點到

4、直線 l 的距離的最大值=點評：3已知曲線C1：t 為參數(shù)），C2：為參數(shù)）本題重點考查了直線的極坐標方程、曲線的參數(shù)方程、及其之間的互化等知識，屬于中檔題1）化 C1，C2 的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；2）若 C1 上的點 P對應(yīng)的參數(shù)為t= ，Q為 C2上的動點，求PQ中點 M 到直線 C3：（t為參數(shù)）距離的最小值考點 ： 圓的參數(shù)方程；點到直線的距離公式；直線的參數(shù)方程專題 ： 計算題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想分析： （1）分別消去兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)得到兩曲線的普通方程，即可得到曲線C1 表示一個圓；曲線 C2 表示一個橢圓；（2）把 t 的值代入曲線 C1的參數(shù)方程得點

5、 P 的坐標，然后把直線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設(shè)出 Q 的坐標， 利用中點坐標公式表示出 M 的坐標， 利用點到直線的距離公式表示出 M 到已知直線 的距離，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡后，利用正弦函數(shù)的值域即可得到距離的最小值解答：解：（ 1）把曲線 C1：t 為參數(shù)）化為普通方程得：22x+4)2+(y3) 2=1，所以此曲線表示的曲線為圓心（4， 3），半徑為參數(shù)） 化為普通方程得：=1，所以此曲線方程表述的曲線為中心是坐標原點，把 C2：焦點在 x 軸上，長半軸為 8，短半軸為 3 的橢圓；（2）把 t= 代入到曲線 C1的參數(shù)方程得： P（ 4，4），把直線

6、C3：（t 為參數(shù)）化為普通方程得： x 2y7=0，設(shè)Q 的坐標為 Q（8cos，3sin），故 M （ 2+4cos， 2+ sin）所以 M 到直線的距離 d= = ，（其中 sin= ，cos= ） 從而當 cos= ， sin= 時，d 取得最小值點評： 此題考查學生理解并運用直線和圓的參數(shù)方程解決數(shù)學問題， 靈活運用點到直線的距離公式及中點坐標公式化 簡求值，是一道綜合題4在直角坐標系 xOy 中，以 O 為極點， x 軸正半軸為極軸建立直角坐標系，圓 C 的極坐標方程為，直線 l 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)），直線 l 和圓 C 交于 A ， B 兩點， P 是圓 C上不同于 A

7、 ， B 的任意一點（）求圓心的極坐標；（）求 PAB 面積的最大值考點： 專題 ： 分析：參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程坐標系和參數(shù)方程 ）由圓 C 的極坐標方程為，化為 2=，把代入即可得出（II ）把直線的參數(shù)方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離 可得 |AB|=2，利用三角形的面積計算公式即可得出d，再利用弦長公式解答：解：（ ）由圓 C 的極坐標方程為，化為 2=代入可得：圓 C 的普通方程為圓心坐標為（x 2+y 2 2x+2y=0 ，即（ x1）2+（y+1）2=2圓心極坐標為1， 1），； ）由直線 l的參數(shù)方程t 為參數(shù)），把 t=x代入

8、y=1+2 t可得直線 l 的普通方程：圓心到直線 l 的距離 ，|AB|=2=點 P 直線 AB 距離的最大值為點評：本題考查了把直線的參數(shù)方程化為普通方程、極坐標化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、弦長公式、三 角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題5在平面直角坐標系 xoy 中，橢圓的參數(shù)方程為 為參數(shù)）以 o 為極點， x 軸正半軸為極軸建立極 坐標系，直線的極坐標方程為 求橢圓上點到直線距離的最大值和最小值6在直角坐標系 xoy 中，直線 I 的參數(shù)方程為坐標系，曲線 C 的極坐標方程為 = cos（+ ）（1）求直線 I 被曲線 C 所截得的弦長；（2）若 M

9、（ x ， y）是曲線 C 上的動點，求 x+y 的最大值t 為參數(shù)），若以 O 為極點， x 軸正半軸為極軸建立極考點：橢圓的參數(shù)方程；橢圓的應(yīng)用專題 ：計算題；壓軸題分析：由題意橢圓的參數(shù)方程為 為參數(shù)），直線的極坐標方程為 將橢圓和直線先化為一般方程坐標，然后再計算橢圓上點到直線距離的最大值和最小值解答：解：將 化為普通方程為（4 分）點 到直線的距離（6分） （ 分）所以橢圓上點到直線距離的最大值為 ，最小值為（10 分）點評：此題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實際情況選擇不同的方程 進行求解，這也是每年高考必考的熱點問題考點：參數(shù)方程化成普通方

10、程解答：解：（ 1）直線 I 的參數(shù)方程為t 為參數(shù)），消去 t ，專題 ：計算題；直線與圓；坐標系和參數(shù)方程分析：（1）將曲線 C 化為普通方程，將直線的參數(shù)方程化為標準形式，利用弦心距半徑半弦長滿足的勾股定理，即 可求弦長（2）運用圓的參數(shù)方程，設(shè)出M ，再由兩角和的正弦公式化簡，運用正弦函數(shù)的值域即可得到最大值可得， 3x+4y+1=0 ；由于 = cos（ + ）= （ ）， ），半徑為r=圓心到直線的距離 d= = ，=2故弦長為 2=；2）可設(shè)圓的參數(shù)方程為：為參數(shù)），則設(shè) M （則 x+y=，=sin（），），2 2 2即有 2=cos sin，則有 x2+y2x+y=0 ，其圓

11、心為（由于 R，則 x+y 的最大值為 1點評： 本題考查參數(shù)方程化為標準方程，極坐標方程化為直角坐標方程，考查參數(shù)的幾何意義及運用，考查學生的計 算能力，屬于中檔題7選修 4 4：參數(shù)方程選講已知平面直角坐標系 xOy，以 O 為極點， x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標為，曲線 C 的極坐標方程為 （）寫出點 P的直角坐標及曲線 C 的普通方程；（）若 Q為C上的動點，求 PQ中點 M 到直線 l：（t為參數(shù)）距離的最小值考點專題分參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程坐標系和參數(shù)方程1）利用 x= cos， y= sin即可得出；2）利用中點坐標公式、點到直線的距離公式

12、及三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出，解 答：解 （1）P 點的極坐標為點 P 的直角坐標 把 2=x2+y2=3， y=sin代入可得，即 曲線 C 的直角坐標方程為2）曲線 C 的參數(shù)方程為為參數(shù)），直線 l 的普通方程為 x 2y7=0設(shè) ，則線段 PQ 的中點那么點 M 到直線 l 的距離點 M 到直線 l 的最小距離為 點 本題考查了極坐標與直角坐標的互化、中點坐標公式、點到直線的距離公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的 評： 單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了計算能力，屬于中檔題8在直角坐標系 xOy 中，圓 C 的參數(shù)方程為參數(shù)）以 O 為極點， x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系（）

13、求圓 C 的極坐標方程；）直線 l 的極坐標方程是 （sin+）=3 ，射線 OM：=與圓 C 的交點為 O ，P，與直線 l 的交點為Q，求線段 PQ 的長考點： 專題 ： 分析：簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關(guān)系直線與圓I）圓 C 的參數(shù)方程為參數(shù)）消去參數(shù)可得： （ x 1） 2+y 2=1把 x= cos， y= sin代入解答：化簡即可得到此圓的極坐標方程II ）由直線 l 的極坐標方程是 （sin+）=3 ，射線 OM：可得普通方程： 直線 l ，射線 OM 分別與圓的方程聯(lián)立解得交點，再利用兩點間的距離公式即可得出把 x= cos， y= sin代入化簡得： =2cos，即

14、為此圓的極坐標方程（II ）如圖所示，由直線 l 的極坐標方程是 （ sin+）=3 ，射線 OM：解：（ I）圓 C 的參數(shù)方程為參數(shù)）消去參數(shù)可得： （x1） 2+y2=1=可得普通方程：直線 l ，射線 OM聯(lián)立聯(lián)立，解得，解得，即 Q 或P點評：識與基本方法，屬于中檔題兩點間的距離公式等基礎(chǔ)知9在直角坐標系立極坐標系，曲線xoy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為C2 的極坐標方程為sin( +=4 為參數(shù)），以原點 O 為極點，x 軸正半軸為極軸，建1）求曲線 C1 的普通方程與曲線 C2的直角坐標方程；2）求得橢圓上的點2）設(shè) P為曲線 C1上的動點，求點 P到 C2上點的距離的最小值，

15、并求此時點P的坐標考點：簡單曲線的極坐標方程專題 ：坐標系和參數(shù)方程分析：（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把參數(shù)方程化為直角坐標方程，利用直角坐標和極坐標的互化公式x=cos、y=sin，把極坐標方程化為直角坐標方程到直線 x+y 8=0 的距離為，可得 d 的最小值，以及此時的 的值，從而求得點 P的坐標解答：解：（ 1）由曲線 C1：可得，兩式兩邊平方相加得：即曲線 C1 的普通方程為：由曲線 C2：得：即 sin+cos=8，所以 x+y 8=0， 即曲線 C2 的直角坐標方程為： x+y 8=0到直線 x+y 8=0 的距離為（2）由（ 1）知橢圓 C1與直線 C2無公共點，橢圓

16、上的點所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。當時， d的最小值為，此時點 P的坐標為 點評： 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值 域，屬于基礎(chǔ)題10已知直線）求圓心l 的參數(shù)方程是C 的直角坐標；=2cos（ + ）考點：簡單曲線的極坐標方程專題 ：計算題分析：（I）先利用三角函數(shù)的和角公式展開圓C 的極坐標方程的右式，再利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用cos=x ， sin=y ， 2=x2+y 2，進行代換即得圓 C 的直角坐標方程，從而得到圓心 C 的直角坐標 （II ）欲求切線長的最小值

17、，轉(zhuǎn)化為求直線l 上的點到圓心的距離的最小值，故先在直角坐標系中算出直線上的點到圓心的距離的最小值，再利用直角三角形中邊的關(guān)系求出切線長的最小值即可）由直線 l 上的點向圓 C引切線，求切線長的最小值解答：解：（I）， ， 圓 C 的直角坐標方程為 ， 圓心直角坐標為5 分）II）直線 l 的普通方程為 ，圓心 C 到直線 l 距離是點評：體會在極坐標系和平面直角直線 l 上的點向圓 C 引的切線長的最小值是（10 分）本題考查點的極坐標和直角坐標的互化， 能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化11在直角坐標系 xOy 中，以 O 為極點，

18、 x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線l 的參數(shù)方程為，（t 為參數(shù)），曲線C1的方程為 （4sin）=12，定點 A （ 6， 0），點 P是曲線 C1上的動點， Q為 AP的中點（1）求點 Q 的軌跡 C2的直角坐標方程；（2）直線 l與直線 C2交于 A，B兩點，若 |AB|2 ，求實數(shù) a的取值范圍考點 ： 簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程專題 ： 坐標系和參數(shù)方程Q 的軌跡 C2 的分析： （1）首先，將曲線 C1 化為直角坐標方程，然后，根據(jù)中點坐標公式，建立關(guān)系，從而確定點 直角坐標方程；（2）首先，將直線方程化為普通方程，然后，根據(jù)距離關(guān)系，確定取值范圍解答： 解：（ 1

19、）根據(jù)題意，得曲線 C1 的直角坐標方程為： x2+y2 4y=12，設(shè)點 P（x，y）， Q（x，y）， 根據(jù)中點坐標公式，得，代入x2+y24y=12，得點 Q 的軌跡 C2 的直角坐標方程為： （x3）2+（y1） 2=4，（2）直線 l 的普通方程為： y=ax ，根據(jù)題意，得解得實數(shù) a 的取值范圍為： 0 ， 點評： 本題重點考查了圓的極坐標方程、 直線的參數(shù)方程， 直線與圓的位置關(guān)系等知識， 考查比較綜合， 屬于中檔題， 解題關(guān)鍵是準確運用直線和圓的特定方程求解12在直角坐標系 xoy 中以 O 為極點，x 軸正半軸為極軸建立坐標系 圓 C1，直線 C2 的極坐標方程分別為 =4

20、sin ，cos （） =2 已知直線 PQ 的參數(shù)方程為tR 為參數(shù)），求 a，（）求 C1與 C2交點的極坐標；）設(shè)P為 C1的圓心， Q為 C1與 C2交點連線的中點， b 的值考點 ： 點的極坐標和直角坐標的互化；直線與圓的位置關(guān)系；參數(shù)方程化成普通方程專題 ： 壓軸題；直線與圓分析： （I）先將圓 C1，直線 C2 化成直角坐標方程，再聯(lián)立方程組解出它們交點的直角坐標，最后化成極坐標即可； （II）由（I）得， P與 Q點的坐標分別為（ 0，2），（1，3），從而直線 PQ的直角坐標方程為 xy+2=0 ，由參 數(shù)方程可得 y= x +1，從而構(gòu)造關(guān)于 a，b 的方程組，解得 a，b

21、的值解答： 解：（ I）圓 C1，直線 C2 的直角坐標方程分別為 x2+（y2）2=4，x+y4=0，得，C1與 C2 交點的極坐標為（ 4，）（II）由（I）得， P與Q點的坐標分別為（ 0，2），（1，3）， 故直線 PQ 的直角坐標方程為 x y+2=0 ，由參數(shù)方程可得 y= x +1，解得 a= 1，b=2點評： 本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程、把參數(shù)方程化為普通方程的方法，方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ) 題13在直角坐標系 xOy 中， l 是過定點 P（4， 2）且傾斜角為 非負半軸為極軸，取相同單位長度）中，曲線（）（）的直線；在極坐標系C 的極坐標方程為 =4cos 寫

22、出直線 l 的參數(shù)方程，并將曲線 C 的方程化為直角坐標方程； 若曲線 C 與直線相交于不同的兩點 M、N，求 |PM|+|PN|的取值范圍以坐標原點 O 為極點，x軸解答：解：（ I ）直線 l 的參數(shù)方程為t 為參數(shù)）曲線 C 的極坐標方程 =4cos可化為 2=4 cos把 x=cos，y=sin代入曲線 C 的極坐標方程可得 x2+y2=4x，即（ x2）II ）把直線 l 的參數(shù)方程為曲線 C 與直線相交于不同的兩點 M、N，2=16（ sin+cos） 16> 0， sincos>0，又 0 ，），又 t1+t2= 4( sin+cos)， t1t2=4點評：t 為參數(shù)

23、）代入圓的方程可得：22+y =42t +4( sin+cos) t+4=0 |PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sin+cos|=，|PM|+|PN|的取值范圍是 本題考查了直線的參數(shù)方程、圓的極坐標方程、直線與圓相交弦長問題，屬于中檔題14在直角坐標系 xOy 中，直線 l 的參數(shù)方程為 系， C 的極坐標方程為 =2 sin （）寫出 C 的直角坐標方程；t 為參數(shù)），以原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標考點： 專題 ： 分析：點的極坐標和直角坐標的互化坐標系和參數(shù)方程I）由 C 的極坐標方程為 =2 sin化為 2=2，把代入即可得出； 解答：（II ）設(shè)

24、 P函數(shù)的性質(zhì)即可得出解：（ I）由C 的極坐標方程為 2=2，化為配方為，又 C=2 sin x2+y2=，=3點評：利用兩點之間的距離公式可得 |PC|=，再利用二次II ）設(shè) P，又 C =因此當 t=0 時， |PC|取得最小值 2 此時 P（ 3，0） 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理 能力與計算能力，屬于中檔題|PC|=2 ，15已知曲線 C1 的極坐標方程為 =6cos，曲線 C2 的極坐標方程為（）把曲線 C1，C2 的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程； （ ）求弦 AB 的長度= （pR），曲線 C1， C2相交于

25、A，B 兩點考點 ： 簡單曲線的極坐標方程專題 ： 計算題分析： （ ）利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用C1 的直角坐標方程（ ）利用直角坐標方程的形式，先求出圓心（2 2 2cos=x，sin=y，2=x2+y2，進行代換即得曲線 C2 及曲線3，0）到直線的距離，最后結(jié)合點到直線的距離公式弦AB 的長度解：（ ）曲線 C2：（pR）表示直線 y=x，曲線 C1： =6cos，即 2=6cos 所以 x2+y2=6x 即（ x3） 2+y 2=9）圓心（ 3， 0）到直線的距離）P為直線 l 上一動點，當 P到圓心 C的距離最小時，求 P的直角坐標r=3 所以弦長 AB= = 弦 AB

26、的長度 以及利用圓的幾何性質(zhì)計算圓心到直線的距等點評： 本小題主要考查圓和直線的極坐標方程與直角坐標方程的互化， 基本方法，屬于基礎(chǔ)題l 的極坐標方程為16在直角坐標系 xOy 中，以 O 為極點， x 軸正半軸為極軸建立坐標系，直線圓 C 的參數(shù)方程為為參數(shù)， r> 0） ）求圓心 C 的極坐標； ）當 r 為何值時，圓 C 上的點到直線l 的最大距離為 3 考點： 專題 ： 分析：解答：簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關(guān)系計算題（1）利用兩角差的余弦公式及極坐標與直角坐標的互化公式可得直線 本關(guān)系，消去 可得曲線 C 的普通方程，得出圓心的直角坐標后再化面極坐標即可 （2）由點到直線的距離公式、兩角和的正弦公式，及正弦函數(shù)的有界性求得點 最后