階段質(zhì)量檢測三導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、第14頁共11頁階段質(zhì)量檢測(三)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的)1 曲線y=護(hù)一2x在點(diǎn)1, - 2處的切線的傾斜角為()A - 135 °B 45 °C - 45 °D 135 °解析：選D y，= x 2,.1,- 2處的切線斜率為一1,傾斜角為135°2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(), , 1A (cosx) = sin xB. (In 2x) = jC (3x)，= 3xlog3eD (x2ex),= 2xex解析：選 B (c

2、os x)' =- sin x, (3x)，= 3xln 3, (x2ex)' = 2xex+ x2ex.3.已知函數(shù)y= f(x),其導(dǎo)函數(shù)y= f' (x)的圖像如圖所示，則y= f(x)(A .在(一8, 0)上為減少的C .在(4,+8 )上為減少的解析：選 C 在(-8, 0)上，f' (x)>0,B .在x=0處取極小值D .在x=2處取極大值故f(x)在(-8 , 0)上為增函數(shù)，A錯；在x = 0處，導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)，f(x)由增變減，故在 x = 0處取極大值，B錯；在(4,+8)上, f' (x)<0 ,f(x)為減函數(shù)，C對

3、；在x= 2處取極小值，D錯.4.函數(shù)f(x) = x2- ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. 0,-2B. ，+8C.一 8,D.,f' (x)w 0,故f(x)的單調(diào)遞減1 2x2 1解析：選 A -.f' (x)= 2x-x =，當(dāng) 0v g區(qū)間為5.函數(shù)f(x) = xe x, x 0,4的最小值為2D.-2eC.4 e解析：選Af'當(dāng) x qo,1)時,f'(x)>0 , f(x)單調(diào)遞增,當(dāng) x qi,4時,f'(x)<0 , f(x)單調(diào)遞減,4f(4)= ef>0，所以當(dāng)x= 0時，f(x)有最小值，且最小值為0.e6.函

4、數(shù)f(x) = ax + x+ 1有極值的充要條件是()A.a>0B. a> 0C.a<0D. a< 0解析：選Cf' (x) 3ax2 + 1,由題意得f' (x) 0有實(shí)數(shù)根，即a以 a<0.7.函數(shù)f(x) = x 3ax a在(0,1)內(nèi)有最小值，則 a的取值范圍為()A.0,1)B. (0,1)C.(1,1)血,2)解析：選Bf (x) 3x 3a,由于f(x)在(0,1)內(nèi)有最小值，故 a>0,且為X1 =a, X2= a,則 aq0,1), /0<a<1.8.曲線f(x) ln(2x 1)上的點(diǎn)到直線 2x y+ 3

5、- 0的最短距離是()A.1B. 2因為 f(0) = 0,C. 5D.3f' (x)= 0 的解i3(xm 0),所解析：選C 直線2x y+ 3 = 0的斜率為2,=2,解得 x= 1,f ' (x)=，令 一22x 1 2x 1由于 f(1) = ln(2 1) = 0,故曲線f(x)過(1,0)的切線斜率為2，則點(diǎn)(1,0)到直線2x y+ 3= 0的距離d=|2-0 + 3|=5,9.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本:C(x) = 1 200+ 呂 x3,75且產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件即曲線f(x)= ln(2x 1)上的點(diǎn)到直線2x y+ 3= 0的最短距離是.5，故選C

6、.數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價為50元，總利潤最大時，產(chǎn)量應(yīng)定為()B. 20 件A. 15 件C . 25 件D . 30 件解析：選C 設(shè)產(chǎn)品單價為a元，又產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2x= k,由題知k = 250 000,2500則 a x = 250 000,所以 a =靈.總利潤 y= 500 x 75x3 1 200(x>0),y, = 250昱x2，由 y' = 0,得 x= 25, x(0,25)時，y' >0, xq25,+)時，y' <0, 胡x 25所以x= 25時，y取最大值.3,+8 上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)

7、a的取值范圍是(2 110.若函數(shù) f(x)= x + ax+ -在A. 1,0C.讐,+8解析：選CB - 9兗D. 9 ,+s )1_1-f(x) = x2+ ax+ x在 3+8 上是增函數(shù)，1 1 ,'f' (x)= 2x+ a孑0在三，+ 8 上恒成立,1"1、f' (x)= 2x+ a x2在 3,+ 8 上遞增，f'3 = 2 9+ a0,：a25.故選 C.11.已知a R，函數(shù)f(x)= 3x3 ax2 + ax+ 2的導(dǎo)函數(shù)f' (x)在( 8, 1)上有最小值,3若函數(shù)g(x)= fx，則()A. g(x)在(1, +m

8、)上有最大值B. g(x)在(1,+ )上有最小值C. g(x)在(1 ,+ )上為減函數(shù)D. g(x)在(1 ,+ )上為增函數(shù)解析：選 D 函數(shù) f(x)=3x3 ax2+ ax + 2 的導(dǎo)函數(shù) f (x)= x2 2ax + a, f' (x)圖像的3對稱軸為2a, gx= a,又導(dǎo)函數(shù)f' (x)在(a, 1)上有最小值，所以a<1.函數(shù)g(x)= f : = x+£2a x a(x) = 1 -2= x2，當(dāng) x 1,+ )時，g' (x)>0，所以 g(x)在 (1 , +)上為增函數(shù).故選D.12.設(shè)函數(shù)f' (x)是函數(shù)f

9、(x)(x R)的導(dǎo)函數(shù)，若 f(x) f( x) = 2x3，且當(dāng)x>0時,f' (x)>3x2,則不等式 f(x) f(x 1)>3x2 3x+ 1 的解集為()A.(汽 2)C.D . (2 ,+s )解析：選 B 令 F(x)= f(x) x3，貝U F ' (x) = f' (x) 3x2,由 f(x) f( x) = 2x3,可得 F( x)= F(x),故F(x)為偶函數(shù),又當(dāng) x>0 時，f' (x)>3x2，即 F ' (x)>0 ,F(x)在(0,+ a)上為增函數(shù).不等式 f(x) f(x 1)&

10、gt;3x2 3x+ 1 可化為 f(x) x3>f(x 1) (x 1)3,.F(x)>F(x 1),F(|x|)>F(|x 1|),由函數(shù)的單調(diào)性可知|x|>|x 1|,解得x>*.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確的答案填在題中的橫線上)13. 函數(shù)y= 2x3 6x2 + 11的單調(diào)遞減區(qū)間為 .解析：y' = 6x2 12x,令 6x2 12x<0,得 0vx<2.答案：(0,2)14. (2019北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)= ex+ ae x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a=若f(x)是R上的增函數(shù)，貝U

11、a的取值范圍是 .解析：f(x)= ex + ae-x(a為常數(shù))的定義域為R,f(0)= e0 + ae 0= 1 + a = 0, :a =- 1.x . xx x x af(x)= e + ae ，f (x)= e ae = e x.ef(x)是R上的增函數(shù)， f (x)> 0在R上恒成立，即ex> 2在R上恒成立， aw e2x在R上恒成立.e又e >0,/aw0,即卩a的取值范圍是(一, 0.答案：1(R, 015. 已知函數(shù)f(x) = xex+ c有兩個零點(diǎn)，貝V c的取值范圍是 .解析：f, (x) = ex(x+ 1),.易知f(x)在(a, 1)上是減少的

12、，在(1,+)上是增加的，且 f(x)min = f( 1) = c e_ 勺，由題意得 c e1<0，得 c<e1.1答案：( a, e )a16. 已知函數(shù) f(x) = 2ln x+ -2(a>0).若當(dāng)x (0,+a )時，f(x)> 2恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是.解析：f(x) > 2 即 a> 2x2 2x2ln x.2 2令 g(x)= 2x - 2x ln x,則 g' (x)= 2x(1 2ln x).由g' (x)= 0得x=畤0(舍去),1且 0<xve?時，g' (x)>0;當(dāng) x>e&

13、quot;時 g' (x)<0 ,'x = g時 g(x)取最大值 g(e) = e,a > e.答案：e,+a )三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演 算步驟)17. (本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)= ln x ex+ m在x= 1處有極值，求 m的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間.1解：f(x)的定義域為(0,+ a), f' (x)= - ex+ m,由題意f' (1) = 0,解得m= 1,1 x 1 f (x)= x e ,利用基本函數(shù)單調(diào)性可知，在(0,+ a)上 f' (x)是減少的，且f&#

14、39; (1) = 0,所以當(dāng)0vxv1時，f' (x)>0, f(x)是增加的，當(dāng)x>1時，f' (x)<0, f(x)是減少的.f(x )的單調(diào)增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)減區(qū)間是(1 ,+a ).31218.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)= x 2x + bx+ c.(1)若f(x)有極值，求b的取值范圍；若f(x)在 x= 1處取得極值，且當(dāng) x 1,2時，f(x)vc2恒成立，求c的取值范圍.解：(1)f' (x)= 3x2 x + b,則方程f' (x)= 0有兩個不相等的實(shí)根,1由 A>0 得 1 12b>0 即 b

15、<12.所以b的取值范圍是 一a, $ .-.f(x)在x= 1處取得極值，f f' (1) = 0, 3 1+ b= 0,得 b= 2.則 f' (x)= 3x2 x 2 = (3x + 2)(x 1).2令 f' (x)= 0，得 X1= 2, X2= 1,1 f 2 38又 f( 一 1) = 2 + C, f 一 3尸 27+ C,3f(1) = 2+ c, f(2) = 2+ c.f(x)max= 2+ c<c2，解得 C>2 或 C< 1.c的取值范圍是(一a, 1) L(2,+ a).19.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x) = x

16、ea x+ bx,曲線y= f(x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程為 y= (e 1)x+ 4.求a, b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解：因為 f(x) = xea x+ bx,所以 f' (x)= (1 x)ea x+ b.f(2 尸 2e+ 2,依題設(shè)有f (2 尸 e 1,2ea2+ 2b= 2e+ 2, 即一ea-2+ b= e 1.|a = 2, 解得b= e.2 v(2)由(1)知 f(x) = xe + ex.由 f' (x)= e2 x(1 x + ex1)及 e2x>0 知，f' (x)與 1 x+ ex 1 同號.令 g(x)= 1 x

17、+ ex 1，貝U g' (x)= 1 + ex 1.所以當(dāng) x(a, 1)時，g' (x)<0 ,g(x)在區(qū)間(一a,1)上單調(diào)遞減；當(dāng) x 勺1 ,+ a )時,g' (x)>0 ,g(x)在區(qū)間(1 ,+a)上單調(diào)遞增.故g(1) = 1是g(x)在區(qū)間(一a ,+ a)上的最小值,從而 g(x)>0 , x(a,+a ).綜上可知，f' (x)>0 , x(a, + a),故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+a ).20.(本小題滿分12分)已知某廠生產(chǎn) x件產(chǎn)品的成本 C = 25 000 + 200x+ 4)x2(單位:元).

18、(1) 要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？(2) 若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，則應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)品?解：(1)設(shè)平均成本為y元，則25 000 + 200X+ 40x2x25 000x+ 200 +x40 ,y'=25000 + 200 + 40 ' =- 25000+ 4-，令 y1 = 0,得 xi= 1 000 , X2=- 1 000(舍去)當(dāng)在 x x40x 40=1 000附近左側(cè)時y' <0，當(dāng)在x= 1 000附近右側(cè)時y' >0，故當(dāng)x = 1 000時，函數(shù)取得 極小值，由于函數(shù)只有一個點(diǎn)使y' = 0,且函數(shù)在

19、該點(diǎn)有極小值，故函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，因此，要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品.f宀x2(2)利潤函數(shù) L = 500x 25 000 + 200x+ 亦=300x 25 000 心丄'=300x-25 000 40 ' = 300 盒，令 L ' = 0，解得 x = 6 000.當(dāng)在 x= 6 000 附近左側(cè)時L' >0，當(dāng)在x = 6 000附近右側(cè)時L ' <0,故當(dāng)x= 6 000時，函數(shù)取得極大值，由于函數(shù) 只有一個使L' =0的點(diǎn)，且函數(shù)在該點(diǎn)有極大值，故函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值因此，要使 利潤最大，應(yīng)生產(chǎn) 6 00

20、0件產(chǎn)品.3421.(本小題滿分12分)若函數(shù)f(x)= ax3 bx+ 4，當(dāng)x= 2時，函數(shù)f(x)有極值-.(1) 求函數(shù)f(x)的解析式；(2) 若方程f(x)= k有3個不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.f ' (2 尸 0，解：(1)f ' (x)= 3ax2 b，由題意，得4，f2 尸412a b= 0，即彳48a 2b+ 4 =；，3解得1a= 3,b= 4,f(x)= x3 4x + 4.2(2)由(1)可得 f' (x) = x 4 = (x 2)(x + 2),令 f' (x)= 0，得 x= 2 或 x= 2.當(dāng)x變化時，f' (x)

21、, f(x)的變化情況如表:x(m， 2)2(2,2)2(2, + g)f' (x)+00+f(x)28 3432841因此，當(dāng)x =- 2時，f(x)有極大值當(dāng)x = 2時，f(x)有極小值4 所以函數(shù)f(x)=§ x3 4x + 4的圖像大致如圖所示.若f(x) = k有3個不同的根，則直線428y= k與函數(shù)f(x)的圖像有3個交點(diǎn)， 3<k<y.實(shí)數(shù)k的取值范圍為22.(本小題滿分 12 分)(2019 江蘇高考)設(shè)函數(shù) f(x) = (x a)(x b)(x c), a, b, c R , f' (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)若 a= b= c

22、, f(4) = 8，求 a 的值；若az b, b= c,且f(x)和f' (x)的零點(diǎn)均在集合 3,1,3中，求f(x)的極小值；4(3)若a= 0,0<bw 1, c= 1，且f(x)的極大值為 M，求證：M <石.解：(1)因為 a= b= c,所以 f(x)= (x a)(x b)(x c)= (x a)3.因為 f(4) = 8，所以(4 a)3= 8,解得 a = 2.令f'(2)因為 b= c,所以 f(x)= (x a)(x b)2從而 f' (x)= 3(x b) 2a+ bL 3丿=x3 (a + 2 b) x2+ b(2a+ b)x ab2,2a+ b(x)= 0，得 x= b 或 x=32a+ b因為a, b,廠都在集合 3,1,3中，且a工b,2a + b所以 3 = 1, a= 3, b= 3.此時，f(x) = (x 3)(x + 3)2, f' (x)= 3(x+ 3)(x 1).令 f' (x)= 0，得 x= 3 或 x = 1.當(dāng)x變化時，f' (x), f(x)的變化情況如表所示:X(m， 3)3(3,1)1(1, + m )f' (X)+00+f(x)極大值極小值所以 f(x)的極小值為 f(1) = (1- 3)(1 +