2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷) (2)

1、1 / 11 12 江蘇江蘇 1.(2012 江蘇,1)已知集合 a=1,2,4,b=2,4,6,則 ab= . 1,2,4,6 根據(jù)集合的并集運算法則得,ab=1,2,4,6. 2.(2012 江蘇,2)某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為 334,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為 50 的樣本,則應(yīng)從高二年級抽取 名學(xué)生. 15 根據(jù)分層抽樣的特點,可得高二年級學(xué)生人數(shù)占學(xué)生總?cè)藬?shù)的310,因此在樣本中,高二年級的學(xué)生所占比例也應(yīng)該為310,故應(yīng)從高二年級抽取 50310=15(名)學(xué)生. 3.(2012 江蘇,3)設(shè) a,br,a+bi=11 712ii(i為

2、虛數(shù)單位),則 a+b的值為 . 8 a+bi=11 712ii,a+bi=(11 7 )(1 2 )(1 2 )(1 2 )iiii+=5+3i.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得 a=5,b=3,故 a+b=8. 4.(2012 江蘇,4)下圖是一個算法流程圖,則輸出的 k的值是 . 5 初始 k1,則 12-5 1+4=0.第一次循環(huán):k2,22-5 2+40; 第二次循環(huán):k3,32-5 3+40,經(jīng)判斷此時跳出循環(huán),輸出的 k 的值是 5. 5.(2012 江蘇,5)函數(shù) f(x)=61 2xlog的定義域為 . (0,6 要使函數(shù) f(x)=61 2xlog有意義,則需61 2x0,x0,

3、log解得 0 x6,故 f(x)的定義域為(0,6. 6.(2012 江蘇,6)現(xiàn)有 10 個數(shù),它們能構(gòu)成一個以 1為首項,-3 為公比的等比數(shù)列,若從這 10 個數(shù)中隨機抽取一個數(shù),則它小于 8的概率是 . 35 由題意可知,這 10 個數(shù)分別為 1,-3,9,-27,81,-35,36,-37,38,-39,在這 10 個數(shù)中,比 8 小的有 5個負數(shù)和 1個正數(shù),故由古典概型的概率公式得所求概率 p=610=35. 7.(2012 江蘇,7)如圖,在長方體 abcd-a1b1c1d1中,ab=ad=3 cm,aa1=2 cm,則四棱錐 a-bb1d1d 的體積為 cm3. 2 / 1

4、1 6 由已知可得,11a bb d dv=111a d badb2v3=231111a b c dabcd1v2=2312 3 3 2=6(cm3). 8.(2012 江蘇,8)在平面直角坐標系 xoy中,若雙曲線2xm-22ym4+=1 的離心率為5,則 m的值為 . 2 根據(jù)雙曲線方程的結(jié)構(gòu)形式可知,此雙曲線的焦點在 x軸上,且 a2=m,b2=m2+4,故 c2=m2+m+4,于是e2=22ca=2mm4m+=(5)2,解得 m=2,經(jīng)檢驗符合題意. 9.(2012 江蘇,9)如圖,在矩形 abcd 中,ab=2,bc=2,點 e為 bc的中點,點 f在邊 cd 上,若abaf=2,則

5、aebf的值是 . 2 由abaf=2得,ab (ad+df)=2, 即abad+abdf=2,又abad,abad=0, abdf=2, 故aebf=(ab+be) (bc+cf)=abbc+abcf+bebc+becf=0+ab (df-dc)+12|bc|2+0=abdf-abdc+2=2-|ab|2+2=2-2+2=2. 10.(2012 江蘇,10)設(shè) f(x)是定義在 r 上且周期為 2 的函數(shù),在區(qū)間-1,1上,f(x)=ax1,-1x0,bx2,0 x1,x1+其中a,br.若 f12=f32,則 a+3b的值為 . -10 根據(jù)題意,可得 f(-1)f(1),1331fff2

6、f,2222= = 即b21 a,21b212a1,322+=+= +解得a2,b4,= 故 a+3b=-10. 3 / 11 11.(2012 江蘇,11)設(shè) 為銳角,若 cos6+=45,則 sin212+的值為 . 17250 為銳角,cos6+=45,sin6+=35,sin2 6+=2sin6+cos6+=23545=2425, 且 0+64,故 012, 26+=2+,33 2 , cos2 6+=725, sin212+=sin234+ =sin23+cos4-cos23+sin4 =sin2 6+cos4-cos2 6+sin4 =242522-72522=17250. 12.

7、(2012 江蘇,12)在平面直角坐標系 xoy 中,圓 c的方程為 x2+y2-8x+15=0,若直線 y=kx-2 上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓 c 有公共點,則 k 的最大值是 . 43 圓 c的方程可化為(x-4)2+y2=1,直線 y=kx-2 是過定點(0,-2)的動直線.圓心 c 到直線 y=kx-2的距離 d=2|4k2|k1+,要使其滿足已知條件,則需 d1+1,即2|4k2|k1+1+1,解得 0k43. 故 k的最大值為43. 13.(2012 江蘇,13)已知函數(shù) f(x)=x2+ax+b(a,br)的值域為0,+),若關(guān)于 x 的不等式 f(x)

8、c 的解集為(m,m+6),則實數(shù) c 的值為 . 9 f(x)=x2+ax+b的值域為0,+), =a2-4b=0. 又f(x)c的解集為(m,m+6),即 x2+ax+b-c0的解集為(m,m+6),m,m+6是對應(yīng)方程 x2+ax+b-c=0 的兩個根, m(m6)a,?m(m6)bc,+= += 由得,a2=4m2+24m+36, 由得,4b-4c=4m2+24m, 4 / 11 由可得,4m2+24m+36=4m2+24m+4c, 解得 c=9. 14.(2012 江蘇,14)已知正數(shù) a,b,c滿足:5c-3ab4c-a,cln ba+cln c,則ba的取值范圍是 . e,7 由

9、 cln ba+cln c,得 ln bac+ln c,即 bcace,所以,原問題可化為滿足約束條件acb3a5c,ba4c,bc? e+的線性規(guī)劃問題,如圖所示,可行域為陰影部分. 故可求得 ac 7c,22.目標函數(shù)ba可視為可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率.下面求曲線 b=cace過原點的切線,b=ace,設(shè)切點為(a0,b0),則有00ba=0ac0c?ae=0ace,可得00c,c.abe=將 a0=c代入兩條直線b+a=4c,b+3a=5c,可知切點在點 b,c 之間. 所以目標函數(shù)線過 a 點取得最大值,bamax=7c2c2=7,過切點(c,ec)取得最小值bamin=cce=e

10、,故ba的取值范圍為e,7. 15.(2012 江蘇,15)在abc 中,已知abac=3babc. (1)求證:tan b=3tan a; (2)若 cos c=55,求 a的值. 解:(1)證明:因為abac=3babc, 所以 ab ac cos a=3ba bc cos b, 即 ac cos a=3bc cos b,由正弦定理知acbsin=bcasin, 從而 sin bcos a=3sin acos b, 又因為 0a+b0,cos b0, 所以 tan b=3tan a. (2)因為 cos c=55,0c0,故 tan a=1,所以 a=4. 16.(2012 江蘇,16)如

11、圖,在直三棱柱 abc-a1b1c1中,a1b1=a1c1,d,e分別是棱 bc,cc1上的點(點 d不同于點 c),且 adde,f為 b1c1的中點. 求證:(1)平面 ade平面 bcc1b1; (2)直線 a1f平面 ade. 證明:(1)因為 abc-a1b1c1是直三棱柱,所以 cc1平面 abc.又 ad平面 abc,所以 cc1ad. 又因為 adde,cc1,de平面 bcc1b1,cc1de=e, 所以 ad平面 bcc1b1.又 ad平面 ade, 所以平面 ade平面 bcc1b1. (2)因為 a1b1=a1c1,f 為 b1c1的中點,所以 a1fb1c1. 因為

12、cc1平面 a1b1c1,且 a1f平面 a1b1c1, 所以 cc1a1f. 又因為 cc1,b1c1平面 bcc1b1,cc1b1c1=c1, 所以 a1f平面 bcc1b1. 由(1)知 ad平面 bcc1b1,所以 a1fad. 又 ad平面 ade,a1f平面 ade,所以 a1f平面 ade. 17.(2012 江蘇,17)如圖,建立平面直角坐標系 xoy,x 軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為 1千米,某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程 y=kx-120(1+k2)x2(k0)表示的曲線上,其中 k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標. (1)求炮的最

13、大射程; (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為 3.2千米,試問它的橫坐標 a 不超過多少時,炮彈可以擊中它?請說明理由. 解:(1)令 y=0,得 kx-120(1+k2)x2=0,由實際意義和題設(shè)條件知 x0,k0, 6 / 11 故 x=220k1k+=202012kk+=10,當(dāng)且僅當(dāng) k=1時取等號. 所以炮的最大射程為 10 千米. (2)因為 a0,所以炮彈可擊中目標存在 k0,使 3.2=ka-120(1+k2)a2成立關(guān)于 k的方程 a2k2-20ak+a2+64=0有正根判別式 =(-20a)2-4a2(a2+64)0a6. 所以當(dāng) a不超過 6(千米)

14、時,可擊中目標. 18.(2012 江蘇,18)若函數(shù) y=f(x)在 x=x0處取得極大值或極小值,則稱 x0為函數(shù) y=f(x)的極值點.已知a,b 是實數(shù),1和-1是函數(shù) f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點. (1)求 a和 b 的值; (2)設(shè)函數(shù) g(x)的導(dǎo)函數(shù) g(x)=f(x)+2,求 g(x)的極值點; (3)設(shè) h(x)=f(f(x)-c,其中 c-2,2,求函數(shù) y=h(x)的零點個數(shù). 解:(1)由題設(shè)知 f(x)=3x2+2ax+b,且 f(-1)=3-2a+b=0,f(1)=3+2a+b=0, 解得 a=0,b=-3. (2)由(1)知 f(x)=x3-3x.

15、因為 f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以 g(x)=0的根為 x1=x2=1,x3=-2,于是函數(shù) g(x)的極值點只可能是 1或-2. 當(dāng) x-2時,g(x)0;當(dāng)-2x0,故-2 是 g(x)的極值點. 當(dāng)-2x1時,g(x)0,故 1不是 g(x)的極值點. 所以 g(x)的極值點為-2. (3)令 f(x)=t,則 h(x)=f(t)-c.先討論關(guān)于 x的方程 f(x)=d 根的情況,d-2,2. 當(dāng)|d|=2時,由(2)可知,f(x)=-2 的兩個不同的根為 1和-2,注意到 f(x)是奇函數(shù),所以 f(x)=2的兩個不同的根為-1 和 2. 當(dāng)|d|0,f(1)-d=f(-

16、2)-d=-2-d0,于是 f(x)是單調(diào)增函數(shù),從而 f(x)f(2)=2, 此時 f(x)=d無實根.同理,f(x)=d在(-,-2)上無實根. 當(dāng) x(1,2)時,f(x)0,于是 f(x)是單調(diào)增函數(shù),又 f(1)-d0,y=f(x)-d的圖象不間斷,所以f(x)=d在(1,2)內(nèi)有唯一實根.同理,f(x)=d在(-2,-1)內(nèi)有唯一實根. 當(dāng) x(-1,1)時,f(x)0,f(1)-d0,y=f(x)-d的圖象不間斷,所以f(x)=d在(-1,1)內(nèi)有唯一實根. 由上可知:當(dāng)|d|=2 時,f(x)=d有兩個不同的根 x1,x2滿足|x1|=1,|x2|=2; 當(dāng)|d|2時,f(x)

17、=d 有三個不同的根 x3,x4,x5滿足|xi|2,i=3,4,5. 現(xiàn)考慮函數(shù) y=h(x)的零點. 當(dāng)|c|=2 時,f(t)=c有兩個根 t1,t2滿足|t1|=1,|t2|=2,而 f(x)=t1有三個不同的根,f(x)=t2有兩個不同的根,故 y=h(x)有 5個零點. 當(dāng)|c|2 時,f(t)=c有三個不同的根 t3,t4,t5滿足|ti|2,i=3,4,5,而 f(x)=ti(i=3,4,5)有三個不同的根,故y=h(x)有 9個零點. 7 / 11 綜上可知,當(dāng)|c|=2時,函數(shù) y=h(x)有 5個零點;當(dāng)|c|b0)的左、右焦點分別為 f1(-c,0),f2(c,0),已

18、知點(1,e)和3e,2都在橢圓上,其中 e 為橢圓的離心率. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè) a,b 是橢圓上位于 x軸上方的兩點,且直線 af1與直線 bf2平行,af2與 bf1交于點 p. 若 af1-bf2=62,求直線 af1的斜率; 求證:pf1+pf2是定值. 解:(1)由題設(shè)知 a2=b2+c2,e=ca.由點(1,e)在橢圓上,得21a+222ca b=1,解得 b2=1,于是 c2=a2-1,又點3e,2在橢圓上,所以22ea+234b=1,即24a1a+34=1,解得 a2=2. 因此,所求橢圓的方程是2x2+y2=1. (2)由(1)知 f1(-1,0),f2(1,0

19、),又直線 af1與 bf2平行,所以可設(shè)直線 af1的方程為 x+1=my,直線 bf2的方程為 x-1=my.設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2),y10,y20. 由221111xy1,2x1my+=+ =得(m2+2)21y-2my1-1=0,解得 y1=22m2m2m2+, 故 af1=2211(x1)(y0)+=2211(my )y+=2222(m1)m m1m2+. 同理,bf2=2222(m1)-m m1m2+. 由以上兩式可得 af1-bf2=222m m1m2+,解222m m1m2+=62得 m2=2,注意到 m0, 故 m=2. 所以直線 af1的斜率為1m=22.

20、證明:因為直線 af1與 bf2平行,所以1pbpf=21bfaf,于是11pbpfpf+=211bfafaf+, 故 pf1=112afafbf+bf1.由 b點在橢圓上知 bf1+bf2=22, 8 / 11 從而 pf1=112afafbf+(22-bf2).同理 pf2=212bfafbf+(22-af1). 因此,pf1+pf2=112afafbf+(22-bf2)+212bfafbf+(22-af1)=22-12122af?bfafbf+. 又 af1+bf2=222 2(m1)m2+,af1 bf2=22m1m2+, 所以 pf1+pf2=22-22=3 22.因此,pf1+pf

21、2是定值. 20.(2012 江蘇,20)已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列an和bn滿足:an+1=nn22nnabab+,nn*. (1)設(shè) bn+1=1+nnba,nn*,求證:數(shù)列2nnba是等差數(shù)列; (2)設(shè) bn+1=2nnba,nn*,且an是等比數(shù)列,求 a1和 b1的值. 解:(1)證明:由題設(shè)知 an+1=nn22nnabab+=nn2nnb1ab1a+=n 12nnbb1a+, 所以n 1n 1ba+=2nnb1a+,從而2n 1n 1ba+-2nnba=1(nn*), 所以數(shù)列2nnba是以 1 為公差的等差數(shù)列. (2)因為 an0,bn0, 所以22nnn(ab )a2+

22、2nb(an+bn)2, 從而 10知 q0.下證 q=1. 若 q1,則 a1=2aqlogq12a時,an+1=a1qn2,與(*)矛盾; 若 0qa21,故當(dāng) nlogq11a時,an+1=a1qn1,與(*)矛盾. 綜上,q=1,故 an=a1(nn*),所以 11,于是 b1b2b3. 又由 a1=1n221nabab+得 bn=2211121aa2aa1,所以 b1,b2,b3中至少有兩項相同,矛盾.所以 a1=2,從而bn=2211121aa2aa1=2. 所以 a1=b1=2. 21.(2012 江蘇,21)a.(選修 4-1:幾何證明選講)如圖,ab是圓 o的直徑,d,e 為

23、圓 o上位于 ab異側(cè)的兩點,連結(jié) bd并延長至點 c,使 bd=dc,連結(jié) ac,ae,de. 求證:e=c. b.(選修 4-2:矩陣與變換)已知矩陣 a 的逆矩陣 a-1=13441122,求矩陣 a的特征值. c.(選修 4-4:坐標系與參數(shù)方程)在極坐標系中,已知圓 c 經(jīng)過點 p2,4,圓心為直線 sin3=-32與極軸的交點,求圓 c的極坐標方程. d.(選修 4-5:不等式選講)已知實數(shù) x,y 滿足:|x+y|13,|2x-y|16,求證:|y|518. a.證明:如圖,連結(jié) od,因為 bd=dc,o 為 ab的中點, 所以 odac,于是odb=c. 因為 ob=od,所

24、以odb=b. 于是b=c. 因為點 a,e,b,d都在圓 o上,且 d,e為圓 o上位于 ab異側(cè)的兩點,所以e和b 為同弧所對的圓周角, 故e=b.所以e=c. b.解:因為 a-1a=e,所以 a=(a-1)-1. 10 / 11 因為 a-1=1 34 41122, 所以 a=(a-1)-1=2321, 于是矩陣 a的特征多項式為 f()=232 1=2-3-4. 令 f()=0,解得 a 的特征值 1=-1,2=4. c.解:如圖,在 sin3=-32中令 =0,得 =1, 所以圓 c 的圓心坐標為(1,0). 因為圓 c 經(jīng)過點 p2,4,所以圓 c的半徑 pc=22( 2)12 124cos+ =1, 于是圓 c 過極點,所以圓 c的極坐標方程為 =2cos . d.證明:因為 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|2|x+y|+|2x-y|, 由題設(shè)知|x+y|13,|2x-y|16