2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(重慶卷)文 (2)

1、1 / 7 12 重慶重慶(文文) 1.(2012 重慶,文 1)命題“若 p 則 q”的逆命題是( ). a.若 q則 p b.若p則q c.若q則p d.若 p則q a 根據(jù)逆命題的定義,命題“若 p則 q”的逆命題為“若 q則 p”,故選 a. 2.(2012 重慶,文 2)不等式12xx+0 的解集為( ). a.(1,+) b.(-,-2) c.(-2,1) d.(-,-2)(1,+) c 不等式12xx+0 可化為(x-1)(x+2)0,解不等式得其解集為(-2,1),故選 c. 3.(2012 重慶,文 3)設(shè) a,b 為直線 y=x與圓 x2+y2=1 的兩個(gè)交點(diǎn),則|ab|=

2、( ). a.1 b.2 c.3 d.2 d 由已知條件可知直線 y=x過圓 x2+y2=1的圓心,所以 ab為圓 x2+y2=1的直徑,|ab|=2,故選 d. 4.(2012 重慶,文 4)(1-3x)5的展開式中 x3的系數(shù)為( ). a.-270 b.-90 c.90 d.270 a (1-3x)5的展開式的通項(xiàng)為 tr+1=5cr(-3)rxr,令 r=3,則 x3的系數(shù)為35c(-3)3=-270,故選 a. 5.(2012 重慶,文 5)sin47sin17 cos30cos17=( ). a.-32 b.-12 c.12 d.32 c 因?yàn)?sin 47=sin(30+17)=

3、sin 30cos 17+sin 17cos 30,所以原式=sin30 cos17sin17 cos30sin17 cos30cos17+=sin 30=12,故選 c. 6.(2012 重慶,文 6)設(shè) xr,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 ab,則|a+b|=( ). a.5 b.10 c.25 d.10 b 因?yàn)?ab,所以 a b=x-2=0,解得 x=2,a=(2,1),a+b=(3,-1),|a+b|=10,故選 b. 7.(2012 重慶,文 7)已知 a=log23+log23,b=log29-log23,c=log32,則 a,b,c的大小關(guān)系是( ). a.a

4、=bc c.abbc b a=log23+log23=log233,b=log29-log23=log233,因此 a=b,而 log233log22=1,log32c,故選 b. 8.(2012 重慶,文 8)設(shè)函數(shù) f(x)在 r 上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為 f(x),且函數(shù) f(x)在 x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf(x)的圖象可能是( ). 2 / 7 c 由題意可得 f(-2)=0,而且當(dāng) x(-,-2)時(shí),f(x)0;當(dāng) x(-2,+)時(shí),f(x)0,此時(shí)若 x(-2,0),xf(x)0,所以函數(shù) y=xf(x)的圖象可能是 c. 9.(2012 重慶,文 9)設(shè)四面體的六條棱的長分

5、別為 1,1,1,1,2和 a,且長為 a的棱與長為2的棱異面,則a 的取值范圍是( ). a.(0,2) b.(0,3) c.(1,2) d.(1,3) a 四面體如圖 1所示. 設(shè) ab=ac=bd=cd=1,ad=2,bc=a,則 a0,當(dāng) a,b,c,d 四點(diǎn)共面時(shí),bc=2(如圖 2所示). 而此時(shí) a,b,c,d 不能構(gòu)成四面體,所以 bc0,n=xr|g(x)0得 x3或 x0 可化為 g(x)3或 g(x)3或 3x-2log35 或 xlog35或 x1,n=xr|3x-22=xr|xlog34,所以 mn=xr|x0,b0)左支的交點(diǎn),f1是左焦點(diǎn),pf1垂直于 x 軸,則

6、雙曲線的離心率 e= . 3 24 因?yàn)?f1為左焦點(diǎn),pf1垂直于 x 軸,所以 p點(diǎn)坐標(biāo)為bcc,-3a.又因?yàn)?p點(diǎn)為直線與雙曲線的交點(diǎn),所以22ca-2222b c9ab=1,即89e2=1,所以 e=3 24. 15.(2012 重慶,文 15)某藝校在一天的 6 節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各 1節(jié),則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔 1 節(jié)藝術(shù)課的概率為 (用數(shù)字作答). 15 基本事件總數(shù)為66a=720,事件“相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔 1節(jié)藝術(shù)課”所包含的基本事件分兩類,一類是相鄰兩節(jié)文化課之間恰好間隔 1節(jié)藝術(shù)課有 23333a a=72,

7、一類是相鄰兩節(jié)文化課之間間隔1 節(jié)或 2 節(jié)藝術(shù)課有32223322a c a a=72,由古典概型概率公式得 p=15. 16.(2012 重慶,文 16)已知an為等差數(shù)列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求an的通項(xiàng)公式; (2)記an的前 n項(xiàng)和為 sn,若 a1,ak,sk+2成等比數(shù)列,求正整數(shù) k的值. 解:(1)設(shè)數(shù)列an的公差為 d,由題意知 112a2d8,2a4d12.+=+=解得 a1=2,d=2. 所以 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (2)由(1)可得 sn=1nn(aa )2+=n(22n)2+=n(n+1). 因 a1,ak,s

8、k+2成等比數(shù)列,所以2ka=a1sk+2. 從而(2k)2=2(k+2)(k+3),即 k2-5k-6=0. 解得 k=6 或 k=-1(舍去).因此 k=6. 17.(2012 重慶,文 17)已知函數(shù) f(x)=ax3+bx+c 在點(diǎn) x=2處取得極值 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有極大值 28,求 f(x)在-3,3上的最小值. 解:(1)因 f(x)=ax3+bx+c,故 f(x)=3ax2+b, 由于 f(x)在點(diǎn) x=2 處取得極值 c-16, 故有f(2)0,f(2)c 16,= 即12ab0,8a2bcc 16,+=+=化簡得12ab0,4ab8,

9、+=+= 解得 a=1,b=-12. 4 / 7 (2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c; f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令 f(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 當(dāng) x(-,-2)時(shí),f(x)0,故 f(x)在(-,-2)上為增函數(shù); 當(dāng) x(-2,2)時(shí),f(x)0,故 f(x)在(2,+)上為增函數(shù). 由此可知 f(x)在 x1=-2 處取得極大值 f(-2)=16+c,f(x)在 x2=2處取得極小值 f(2)=c-16. 由題設(shè)條件知 16+c=28得 c=12. 此時(shí) f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4, 因此

10、 f(x)在-3,3上的最小值為 f(2)=-4. 18.(2012 重慶,文 18)甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球.約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球 3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為13,乙每次投籃投中的概率為12,且各次投籃互不影響. (1)求乙獲勝的概率; (2)求投籃結(jié)束時(shí)乙只投了 2 個(gè)球的概率. 解:設(shè) ak,bk分別表示甲、乙在第 k次投籃投中,則 p(ak)=13,p(bk)=12(k=1,2,3). (1)記“乙獲勝”為事件 c,由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知 p(c)=p(1ab1)+p(112a b ab

11、2)+p(11223a b a b ab3) =p(1a)p(b1)+p(1a)p(1b)p(2a)p(b2)+p(1a)p(1b)p(2a)p(2b)p(3a)p(b3) =2312+222132 +332132 =1327. (2)記“投籃結(jié)束時(shí)乙只投了 2個(gè)球”為事件 d,則由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知p(d)=p(112a b ab2)+p(1122a b a ba3)=p(1a)p(1b)p(2a)p(b2)+p(1a)p(1b)p(2a)p(2b)p(a3)=222132 +22211323 =427. 19.(2012 重慶,文 19)設(shè)函數(shù)

12、f(x)=asin(x+)(其中 a0,0,-)在 x=6處取得最大值 2,其圖象與 x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2. (1)求 f(x)的解析式; (2)求函數(shù) g(x)=426xx1f x6cossin+的值域. 5 / 7 解:(1)由題設(shè)條件知 f(x)的周期 t=,即2=,解得 =2. 因 f(x)在 x=6處取得最大值 2,所以 a=2. 從而 sin26+=1,所以3+=2+2k,kz. 又由-得 =6. 故 f(x)的解析式為 f(x)=2sin2x6+. (2)g(x)=426xx122x2cossinsin+ =426xx222xcoscoscos+ =222(2x 1)(3

13、x2)2(2x 1)coscoscos+ =32cos2x+121x2cos. 因 cos2x0,1,且 cos2x12,故 g(x)的值域?yàn)?7 51,44 2. 20.(2012 重慶,文 20)如圖,在直三棱柱 abc-a1b1c1中,ab=4,ac=bc=3,d 為 ab的中點(diǎn). (1)求異面直線 cc1和 ab的距離; (2)若 ab1a1c,求二面角 a1-cd-b1的平面角的余弦值. 解:(1)如圖所示,因 ac=bc,d 為 ab 的中點(diǎn),故 cdab. 又直三棱柱中,cc1面 abc,故 cc1cd,所以異面直線 cc1和 ab的距離為cd=22bcbd=5. (2)解法一:

14、由 cdab,cdbb1,故 cd面 a1abb1,從而 cdda1,cddb1,故a1db1為所求的二面角 a1-cd-b1的平面角. 6 / 7 因 a1d是 a1c 在面 a1abb1上的射影,又已知 ab1a1c,由三垂線定理的逆定理得 ab1a1d,從而a1ab1,a1da都與b1ab互余,因此a1ab1=a1da,所以 rta1adrtb1a1a.因此1aaad=111a baa,得 a21a=ad a1b1=8. 從而 a1d=221aaad+=23,b1d=a1d=23, 所以在a1db1中,由余弦定理得 cosa1db1=222111111a ddba b2?a d?db+=

15、13. (2)解法二:如圖,過 d 作 dd1aa1交 a1b1于 d1,在直三棱柱中,由(1)知 db,dc,dd1兩兩垂直.以d為原點(diǎn),射線 db,dc,dd1分別為 x軸、y 軸、z 軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 d-xyz. 設(shè)直三棱柱的高為 h,則 a(-2,0,0),a1(-2,0,h),b1(2,0,h),c(0,5,0),從而1ab=(4,0,h),1a c=(2,5,-h). 由11aba c得1ab1a c=0,即 8-h2=0,因此 h=22. 故1da=(-2,0,22),1db=(2,0,22),dc=(0,5,0). 設(shè)平面 a1cd 的法向量為 m=(x1,y1,

16、z1),則 mdc,m1da,即1115y0,2x2 2z0,=+= 取 z1=1,得 m=(2,0,1). 設(shè)平面 b1cd 的法向量為 n=(x2,y2,z2),則 ndc,n1db,即2225y0,2x2 2z0,=+= 取 z2=-1,得 n=(2,0,-1). 所以 cos=m?n|m|?|n |=2 12 1? 2 1+=13. 所以二面角 a1-cd-b1的平面角的余弦值為13. 21.(2012 重慶,文 21)如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn) o,長軸在 x軸上,上頂點(diǎn)為 a,左、右焦點(diǎn)分別為 f1,f2,線段 of1,of2的中點(diǎn)分別為 b1,b2,且ab1b2是面積為 4的直角三

17、角形. (1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過 b1作直線交橢圓于 p,q兩點(diǎn),使 pb2qb2,求pb2q 的面積. 解:(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22xa+22yb=1(ab0),右焦點(diǎn)為 f2(c,0). 7 / 7 因ab1b2是直角三角形且|ab1|=|ab2|,故b1ab2為直角,從而|oa|=|ob2|,即 b=c2. 結(jié)合 c2=a2-b2得 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2,所以離心率 e=ca=255. 在 rtab1b2中,oab1b2,故12ab bs=12 |b1b2| |oa|=|ob2| |oa|=c2 b=b2, 由題設(shè)條件12ab bs=4 得 b2=4,從而 a2=5b2=20. 因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2x20+2y4=1. (2)由(1)知 b1(-2,0),b2(2,0).由題意,直線 pq的傾斜角不為 0,故可設(shè)直線 pq的方程為 x=my-2.代入橢圓方程得 (m2+5)y2-4my-16=0.(*) 設(shè) p(x1,y1),q(x2,y2),則 y1,y2是上面方程的兩根,因此 y1+y2=24mm5+,y1 y2=216m5+. 又2b p=(x1-2,y1),2b q=(x2-2,y2), 所以2b p2b q=(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(m