鐵路客流量預(yù)測

1、鐵路客流量預(yù)測鐵路客流量預(yù)測目錄一、 摘要 2二、 選題背景與意義 3三、模型建立與求解 53.1、ARIMA 模型 53.1.1、自回歸移動平均模型 .63.1.2、季節(jié)性預(yù)測法 63.1.3、模型求解 73.2、灰色預(yù)測模型 123.2.1、gm(1,1模型 63.2.2、模型檢驗 83.2.3、模型求解 9四、模型分析與結(jié)論 114.1、方法分析 114.2、模型缺點 12五、附錄 12一、摘要摘要：文章以鐵路客流量的短期預(yù)測作為切入 點，采用定量的時間序列分析方法，建立季節(jié)自回歸綜合移動平均（季節(jié)性ARIMA模型）模型對時 間序列進行量化分析。首先闡述基于該模型的預(yù) 測的一般過程，即：

2、平穩(wěn)化處理、差分變換的階 數(shù)辨識、參數(shù)估計，時間序列模型的構(gòu)建，然后 利用標(biāo)準(zhǔn)BIC值，確定較適合的季節(jié)自回歸綜合 移動平均模型，取得了較為理想的預(yù)測效果。同 時運用灰色預(yù)測模型建立鐵路客流預(yù)測模型，對 我國鐵路客運量進行預(yù)測，灰色模型的方法簡 單，適合在數(shù)據(jù)少的情況下預(yù)測短期客流量，對未來的結(jié)果有很好的預(yù)測效果。關(guān)鍵詞：季節(jié)性ARIMA灰色預(yù)測鐵路客流量預(yù)測二、選題背景與意義宏觀上來講鐵路客流預(yù)測是鐵路客運系統(tǒng) 合理規(guī)劃的基礎(chǔ)，只有在對規(guī)劃年度客流的流 量、流向、流徑進行合理預(yù)測與分析的基礎(chǔ)之上， 才能合理規(guī)劃未來鐵路客運系統(tǒng)的設(shè)施設(shè)備，合 理安排運量，合理確定系統(tǒng)各階段的發(fā)展目標(biāo)使 整個鐵

3、路客運系統(tǒng)與社會經(jīng)濟發(fā)展、生產(chǎn)力布局 相適應(yīng)，確保國民經(jīng)濟的正常發(fā)展。微觀層上來講主要有以下三方面。一是鐵路客流量預(yù)測是鐵路設(shè)備建設(shè)投資 的重要依據(jù)。通過對各項客流預(yù)測結(jié)果分析，可 以合理確定研究線路近期、中期、遠(yuǎn)期在路網(wǎng)中 的功能和作用，從而為新線建設(shè)、舊線改造和相 關(guān)客運場站技術(shù)設(shè)備修建與改造提供客觀的依 據(jù)。二是鐵路客流預(yù)測是編制鐵路客流計劃的 基礎(chǔ)。由于我國目前整體運能不足，再加上鐵路 運輸自身的特點，在日常的客流運輸組織中需要 定期編制相應(yīng)的客流計劃，而準(zhǔn)確的客流資料就 是該項工作的基礎(chǔ)，如果客流資料不完備就會造 成運力資源分配的不平衡，從而致使客流滯塞及 運力虛糜。三是鐵路客流預(yù)測

4、是項目評價及投資估算 的依據(jù)。鐵路客運建設(shè)項目是否值得的投資，什 么時候投資，投資規(guī)模如何，必須依據(jù)未來運量 來確定。系統(tǒng)建成后，其壽命期內(nèi)獲利多少，也 需要借助于逐年的未來運量才能估量和計算。如 果沒有科學(xué)、合理的運量為基礎(chǔ)，就必然不能正 確衡量和估算系統(tǒng)的經(jīng)濟成本和經(jīng)濟效益，致使 經(jīng)濟評估失去真實性，導(dǎo)致投資決策的失誤。由以上分析可以看出鐵路客流的預(yù)測對于系 統(tǒng)的規(guī)劃與建設(shè)、項目的投資與估算有著重要的依據(jù)三、模型建立與求解3.1、ARIMA 模型隨機時間序列分析模型可劃分為3種不同類別：自回歸模型(ar)1、滑動平均模型(ma)2 以及自回歸滑動平均模型(arma)。而自回歸滑動 平均模型

5、研究的僅為平穩(wěn)時間序列，而對于非平 穩(wěn)時間序列則通常采用自回歸綜合移動平均模 型ARIMA o ARIMA模型亦可分為帶趨勢性的模型 ARIMA p,d,q ,和既帶有趨勢又有季節(jié)性趨勢的模型 ARIMA p,d,q (P,D,Q)s。自回歸移動平均過程是由自回歸和移動平 均兩部分組成的隨機過程，形式化表示為 ARMA( p, q)，其中p和q分別為自回歸和移動平均部 分的最大階數(shù)。ARMA(p,q)的數(shù)學(xué)表達式為：Xt 1 Xt 1 2X p 2 LpXt p t 1 t 1 1 t 2 Lq t q提取公因式，得到如下式子：(1 丄 2L2 L pLp)Xt (1 丄 2L2 LqLq)

6、t將其中的乘積項替換，亦可表示為：(L)Xt (L) t其中，(L)和(L)分別表示自變量L的p，q階33特征多項式3.11、自回歸移動平均模型ARMA即自回歸綜合移動平均模型，它滿足 如下條件，X為自回歸整和移動平均序列，記為 ARIMA p,d,q，其中，d為整和階數(shù)，p為自回歸系 數(shù)，q為移動平均系數(shù)。在一般的自回歸移動平 均模型中，無季節(jié)性，僅有趨勢性。假設(shè) 人表示 隨機序列，并假定：Xt 1Lxt其中L是滯后算子LOdXt如果存在非負(fù)整數(shù)d，滿足:L式中函數(shù)表示為：LLdL2 L LL2 LLLpp1-Lpp1-3.1且|L存在E( t) 0，1，(L)與(L)互質(zhì),E( t2)。是

7、白噪音序列，2、季節(jié)性預(yù)測法3某些不平穩(wěn)的時間序列既具有趨勢演化 性，又會隨進行周期性的演化，通常若一個序列 的演化周期為S，那么該序列將每隔S個時間間隔 均呈類似的變化。假定有整數(shù)D 0，以及隨機序列 Xt,t 0, 1,.，滿足式：s dsL sXtL t則時間序列x表示季節(jié)性arima p,d,q過程，其中1 LS，為季節(jié)差分算子，S為季節(jié)性周期，則:SsXt 1 L Xt Xt Xt sD, S D D 1s Xt 1 L Xt Xt Xt其中，D為季節(jié)性差分階數(shù)。且：Ls 11Ls 2 呼 L LLs 11Ls 2L2s L L丄，n為季節(jié)性其中P為季節(jié)性自回歸階數(shù)，自回歸部分的參數(shù)

8、，Q為季節(jié)性滑動平均階數(shù)，1, 2,L , p為季節(jié)性移動平均階數(shù)部分的參數(shù)。將 兩式融合，變?yōu)橐话愕募竟?jié)arima模型，即：s D dsp L P LXt q L Q L t這里，p、d、q、P、D和Q的不同是為了調(diào)整不 同算子的階數(shù)，可稱得到的季節(jié)ARIMA模型為ARIMA p,d,q (P,D,Q)s。3.1.3、模型求解我們從國家統(tǒng)計局得到的2008.1-2016.9鐵 路客流量月數(shù)據(jù)作為時間序列數(shù)據(jù)，用上述模型 進行分析，并通過建立的模型來預(yù)測未來一年鐵路客流量的變化情況昇圻;:胖忖訂杠躬樣赭罪畔汀2ii罪盯*的舸鴨鶉整聽取鶉?yán)碡M從上面的時間序列圖可以看出，在每年快春 節(jié)的時候和

9、的時候，客流量是明顯高于其他 每月的，這也正與實際相吻合，受到春節(jié)，假日 的影響；同時從圖中可以很直觀的看出整個客流 量呈現(xiàn)出穩(wěn)定的上升趨勢，所以說鐵路客流量具 有明顯的周期性和趨勢性，所以我們采用季節(jié)性 ARIMA模型，即求出p、d、q、P、D和Q的值則確 定了模型。由于時間序列明顯有上升趨勢，所以該時間 序列是非平穩(wěn)的，所以我們先進行一階差分處 理，消除其顯著的趨勢性，得到下圖。""J I H LT''7i ' r |l Inl"!-IB-從一階差分序列圖可以發(fā)現(xiàn)序列圖圍繞值上下波動，其方差明顯有界，所以時間序列的 趨勢性有所消除，而一

10、階處理后的鐵路客流量自 相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)值如下所示。如圖所示，ACF與PACF均呈拖尾形態(tài)在零 值鄰域波動，而且1，2，10，12階相關(guān)函數(shù)大 于0,與春節(jié)，國慶等假日很有關(guān)。為了取得更 好的效果，使時間序列更加合理，我們再比對二 階非季節(jié)性差分處理的結(jié)果，以求得更恰當(dāng)?shù)膮?數(shù)。由二階差分序列圖可以看出效果并沒有很 大的改善，在2012年12月之前的序列是更加平 穩(wěn)了，但后面時間的并不理想，所以我們還是先 采用一階差分處理，即選取d i，從圖 取得拖 尾階數(shù)選擇p 2，q 2。下圖為一階季節(jié)性差分和一階非季節(jié)性差 分的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖。由于在實際情況中，p,d,q,P,D,Q (0,1,

11、2)且不全為0,所以也驗證了上面選取P,q也是合理的。由于一般情況下，季節(jié)性差分 階數(shù)D 1，由于季節(jié)自回歸階數(shù)P，季節(jié)移動平均 階數(shù)Q難以確定，為精確起見，我們同時建立多 個模型，在系數(shù)顯著的情況下使用了BIC準(zhǔn)則來進行比較。我們考慮對P,d,q,P,D,Q取不同的值共有9種組合，來算BIC與考察序列殘差是否是白 噪聲。在這9種不同的組合中我們選取 BIC的值 最小的組合。下面是我們得到的表。pdqPDQ平穩(wěn)的R方標(biāo)準(zhǔn)化BIC15.012120100.72112120110.72515.3115.052120120.799415.322121100.722015.302121110.7419

12、15.122121120.797515.202122100.767515.482122110.710515.132122120.8084由該表，我們得到了 p 2,d 1,q 2,P 0,D 1,Q 0的 組合，此時BIC=15.011最小。因此我們選用參 數(shù)定階對客流量進行預(yù)測，經(jīng)SPSS處理后得到未來一年鐵路客流量的變化以及與原數(shù)據(jù)比較 得到的殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖。為 hy kHEILfl -D曼mgw-u frID 口 "Hs «hhs 吉3M -MEDD &船 n -Hs由預(yù)測時序圖可以看出整個趨勢以及每月的變化預(yù)測的還是較為合理二才二羋-1-15 二二

13、卜殘差序列的樣本自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函 數(shù)基本可控制數(shù)均可控制95%勺置信區(qū)間之內(nèi)， 因此，殘差序列為白噪聲過程（隨機變化過程） 在季節(jié)性ARIMA預(yù)測法在短期內(nèi)能輸出較理想的 預(yù)測結(jié)果，但隨預(yù)測時間的增加，預(yù)測的誤差將 逐漸增大，因為預(yù)測時間的增加使得預(yù)測置信區(qū) 間的寬度也變大，所以該模型更適用于短期預(yù) 測。3.2、灰色預(yù)測模型灰色系統(tǒng)預(yù)測理論的基本思路是按某種規(guī) 則將已知的數(shù)據(jù)序列構(gòu)成非動態(tài)的或動態(tài)的白色模塊，然后按照某種變換解決來求解未來的灰 色模型。在灰色系統(tǒng)理論中，常用的模型是微分 方程所描述的動態(tài)方程，最簡單的是基于灰色系 統(tǒng)理論模型GM(1,1模型的預(yù)測分析?；疑A(yù)測分析 可分為

14、幾類，即數(shù)列預(yù)測，災(zāi)變預(yù)測，季節(jié)性災(zāi) 變預(yù)測，拓?fù)漕A(yù)測及系統(tǒng)綜合預(yù)測。,GM(1,1)模型 4灰色理論的微分方程模型稱為 GM模型， GM (1,1)表示一階、單個變量的微分方程。GM(1,1)是 一階單序列的線性動態(tài)模型，用于時間t序列預(yù)測的是其離散形式的微分方程模型，具體形式為 dx ax udt由上式可知，這是一個單變量 x對時間的一 階微分方程，是連續(xù)的，實際使用的是其離散的 單個數(shù)據(jù)形式。設(shè)有數(shù)列x(0)共有n個觀察值x(0)(1), x(0) (2)， x(0»(3), L,x(0)(n)，對x(0)作一次累加生成，得到新的數(shù)列x(1)， 表達式為ix(1)(i)x(1)

15、(m), i 1,2,L ,nm 1対一階生成數(shù)列X建立預(yù)測模型，其方程為 式中：a , u為待估參數(shù)，分別稱為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi) 生控制灰數(shù)。dxdtax將上式的離散形式展開，可得k 1,x(1)(2)a l(x x(2)u ;2k 2,x(3)a l(x(2) x(3) u ;2MMk n,x(1)( n)1a (x(1)( n 1) x( 2)( n)u ;2將兩個待估模型參數(shù)表示為向量形式得aau將上述離散方程組用最小二乘法求解，得T1 Ta> (B B) B y”將$代入上式，解微分方程，得到GM (1,1)的預(yù)測模 型為0”(k 1) x(0)(1) u eak uaa式中yn x

16、(0)(2),x(0)(3) L ,x(0)(n)T ；1(x(1) X)12B扣(1)(2) x(3)1M M如(n 1)心)1模型檢驗灰色預(yù)測模型的檢驗，有關(guān)聯(lián)檢驗、后驗檢 驗和殘差檢驗。殘差檢驗分兩種：一是相對誤差， 二是絕對誤差。檢驗步驟為設(shè)原始序列：X0&0)(1)"0)(2)丄 x(0)(n)灰色預(yù)測模型序列為：護二欲門人兒，兒)計算殘差(0)( n)x(0)( n) x(0)( n)計算相對誤差(0).、x(0) (n)nx(0)(k) X2 n k 1計算x<0)(n)的均值和方差為-1 n (0) 2 1X - x (k),3n k 1n1 (k) -

17、2n k 1計算"(n)的均值和方差為-n (0)(k), s2n k 1稱C I；為均方差比值也叫后驗差比，稱 Sp P（ 0（0） - 0.6745S）為小誤差概率。指標(biāo)C越小越好，P越大越好。一般地，將模型精度等級分為 四級，如下表：模型精度等級cp 0.950.80 p 0.950.70 p 0.80p 0.701 級（好）C a352 級（合格）0.35 C 0.503 級（勉強）O.50 C O.654級（不合格） C O.65如果關(guān)聯(lián)度、方差、小誤差概率和相關(guān)誤差 比都在允許范圍之內(nèi)時，則可用所建模型進行預(yù) 測，否則應(yīng)進行殘差修正。模型求解用20082016年的數(shù)據(jù)來預(yù)

18、測 2016年11 和12月及2017年110月各月客運量，建立鐵 路客流量灰色預(yù)測模型。首先將每年各月的數(shù)據(jù)提取出來，將11月的數(shù)據(jù)提取出來為年份/ 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015年 客 運 量/萬人1321513414780 61158 166 179 194 2122800727131將20082015年各年11月的客流量能夠得 到)x(0)x(0)(1),x(0) (2), x(0) (3),x(0) (4), x(0) (5), x(0) (6), x(0) (7), x(0) (813215,13480,14761,15828,166

19、00,17972,19471,21231求得一次累加生成數(shù)列x(1)13215,26695, 41456,57284,73884,91856,111327,132558經(jīng)MATLANB處理后求得c?0.0735120541995512669534075.514145649370157284655841，yn 7388482870191856101591.51111327121942.51132558即a 0.0735,u 12054所以x(0)(1) 13215,-163910a于是可以得到預(yù)測模型為?(1)(k 1)177125e0.0735k 163910(k0,1,2L )以表格形式列出

20、預(yù)測值和實際值k123456789曲(k)132152672441263569127375391880111390132390154980x(0)(k)132151350914539156481684218126195092099722598實際值1321513480147611582816600179721947121231計算絕對誤差序列和相對誤差序列分別為(0)0, 29,222,180,242,154,38, 2340,0.22%,1.5%,1.13%,1.46%,0.86%,0.2%,1.1%由程序運行后得到 p=1，C=0.24<0.35，預(yù)測精度好，而且由絕對誤差和相對誤差

21、來看，個預(yù)測結(jié)果誤差都比較小，都可接受。由同樣的方法，可以得到 2016.1020仃.9一年內(nèi)的數(shù)據(jù)，列在下表中:時間2016.102016.112016.122017.12017.22017.3預(yù)測值223782259825374223802327224355時間2017.42017.52017.62017.72017.82017.9預(yù)測值256172485825643270602804126282將前幾年的數(shù)據(jù)和下一年度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計繪制在下圖中I1： "HE-WACour iBuOK-由圖中可以看出，數(shù)據(jù)預(yù)測效果還是符合客 流量整體的趨勢，且還是有相應(yīng)的峰值出現(xiàn)，這 與客流量周期性

22、，季節(jié)性相符合。但是相比12月之前的數(shù)據(jù)，預(yù)測出來的數(shù)值偏大，將 12月 單獨羅列拿出來看可以看出2015年12月的客流量是比較低 的，但是對整個預(yù)測趨勢來說還是呈現(xiàn)出上升態(tài) 勢的，可以說灰色預(yù)測對整體的把握還行，但一 旦出現(xiàn)小幅波動之類的情況，預(yù)測結(jié)果的可信度 就不是很強。四、模型分析與結(jié)論下面是ARIMA預(yù)測法和灰色預(yù)測法對接下來 一年所作預(yù)測的時序圖，可以看出兩種方法的預(yù) 測效果還是比較接近，只是對個別的值灰色預(yù)測 法還有所欠缺，下面是兩種方法的分析總結(jié)。4.1、方法分析1. 由ARIMA模型得到的擬和結(jié)果可知短期 時間序列的預(yù)測精度是比較高的。由此可見， 自回歸時間序列預(yù)測法是一種重要

23、的預(yù)測方 法，其模型比較簡單，對資料的要求比較單一， 只需變量本身的歷史數(shù)據(jù)，在實際中有著廣泛 的適用性。在應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)所須解決的問題 及問題的特性等因素來綜合考量并選擇相對 優(yōu)化的模型。2. 灰色預(yù)測方法簡單，雖然該模型是建立在 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，但計算步驟簡單，可以借助計算機軟件很容易計算出來，計算時間短。3. 灰色預(yù)測模型需要的數(shù)據(jù)少。由于灰色預(yù) 測把隨機過程看作灰色過程，所以預(yù)測只根據(jù) 實際情況選擇適量的數(shù)據(jù)即可。4. 灰色預(yù)測可有效的處理貧信息和數(shù)據(jù)少的情況。在一定時間段內(nèi)預(yù)測的精度較高，但 是隨著信息的增加，不斷進入灰色系統(tǒng)時，會 發(fā)現(xiàn)預(yù)測效果越來越差，灰色系統(tǒng)不適合長期 的預(yù)測，

24、不能用該模型預(yù)測未來的所有值。4.2、模型缺點1. 在選擇參數(shù)時有很強的主觀因素，從自相 關(guān)圖和偏自相關(guān)圖中確定p,d,q,P,D,Q，的值還缺 乏一定的科學(xué)性。并且未進行更多次的實驗選 取，從中選擇出更優(yōu)的方案。2. 在灰色預(yù)測過程中，沒有對異常值處理做 過多的分析說明，對12月數(shù)據(jù)的變化還不能 有效的解釋和說明。五、附錄文獻1 張志雷.自相關(guān)過程的ARIMA控制圖J.統(tǒng)計 與決策，2012，(6)2 張立杰，寇紀(jì)淞，李敏強等.基于自回歸移動 平均及支持向量機的中國棉花價格預(yù)測J.統(tǒng)計與決策，2013，(6)3 肖良，基于季節(jié)性ARIMA模型的居民消費水平預(yù)測A.安徽，宿州，20164 黃召

25、杰，馮碩.灰色預(yù)測模型在鐵路客流預(yù)測 中的應(yīng)用A.交通科技與經(jīng)濟，第16卷1 期, 2014.02代碼function GM(x0) % 灰色系統(tǒng) GM( 1, 1)預(yù)測13804.1483800000%x0=12794.148380000016480.148380000015508.148380000016631.148380000015310.148380000018143.0 22910.1483800000; %10 月 份16480 15310 16631月數(shù)據(jù)12199.8671300000%x0=12794 13804 1550818143 22910;36.91 %11 %x0

26、=11639.867130000014452.867130000013495.867130000016121.867130000022365.867130000023733.867130000019506.8671300000; %12 月份%x0=11907.690040000013289.690040000012731.690040000015202.690040000016475.690040000018764.690040000019057.6900400000仃857.690040000021168.6900400000;%1 月份%x0=13243.169210000013984.

27、169210000014613.169210000016115.169210000015966.169210000014437.169210000016368.169210000019683.169210000024505.1692100000;%2 月份%x0=12425.804630000012370.804630000014660.804630000014682.804630000015027.8046300000仃424.804630000018624.804630000022124.804630000021812.8046300000;%3 月份%x0=11415.053140000

28、012283.053140000013062.053140000015338.053140000016245.053140000017295.053140000019636.053140000020884.053140000023693.0531400000;%4 月份%x0=11970.553140000013195.553140000014091.553140000015616.553140000015184.553140000016539.553140000019344.553140000021526.553140000023193.5531400000;%5 月份%x0=1 仃32.0

29、94800000011785.094800000013630.094800000015342.094800000016492.094800000018309.094800000019722.094800000020880.094800000023466.0948000000;%6 月份%x0=11511.872330000011905.872330000013718.872330000015877.872330000015701.8723300000仃648.872330000020103.872330000022493.872330000024535.8723300000;%7 月份%x0=

30、11413.012960000012361.012960000013554.012960000015216.012960000015871.012960000017641.012960000020869.012960000022893.012960000025361.0129600000;%8 月份%x0=12139.434830000011822.434830000013462.434830000015781.434830000016557.434830000018840.434830000020629.434830000021445.434830000023561.4348300000;

31、%9 月份x0=36.55 45.46 46.33 45.13 46.33 43.5 44.88 44.17 43.9 43.58 43 42.38 43.1 42.33 42.443.5.42.8841.48 41.68 42.72 41.63 41.93 42.742.4 42.28 42.23 41.22 42.73 42.02 42.2542.3 42.65;%x0=1321513480 14761 15828 16600 1797219471 21231;NUM=32;%31.26 32.0947.86 51.4533.39 35.45 40.52 43.5255.6 60.14 6

32、4.82 68.6573.22 80.2287.69 93.97 99.16 103.38109.46 114.6119.85 124.92 132.04 139.45150.93 165.13 181.93 196.83 212.38 228.07241.45 251.03;T=input('請輸入T: ');%預(yù)測接下來幾年x1=zeros(1,le ngth(x0);B=zeros(le ngth(x0)-1,2);yn=zeros(le ngth(x0)-1,1); hatxO=zeros(1,le ngth(xO)+T); hatxOO=zeros(1,le ngth(xO);hatx 1=zeros(1,le ngth(x0)+T);epsil on=zeros(le ngth(xO),1);omega=zeros(le ngth(xO),1);for i=1:le ngth(xO)for j=1:ix1(i)=x1(i)+x0(j);%累加生成endendx1for i=1:le ngth(x0)-1B(i,1)=(-1/2)*(x1(i)+x1(i+1);B(i,2)=1;yn (i)=x0(i+1);endhatA=(inv(B'*B)*B'*