高中數(shù)學(xué)必修一 第3章 3.1 3.1.1　函數(shù)的概念

1、1 / 9 3.1 函數(shù)的概念及其表示函數(shù)的概念及其表示 3.1.1 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型能用集合與對應(yīng)的語言刻畫出函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫數(shù)學(xué)概念中的作用(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 2了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域(重點(diǎn)) 3能夠正確使用區(qū)間表示數(shù)集(易混點(diǎn)) 1.通過學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 2借助函數(shù)定義域的求解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng) 3借助 f(x)與 f(a)的關(guān)系，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng). 1函數(shù)的概念 定義 一般地，設(shè) a，b是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合 a中的任意一個(gè)數(shù) x按照某種確

2、定的對應(yīng)關(guān)系 f，在集合 b 中都有唯一確定的數(shù) y和它對應(yīng)，那么就稱 f：ab為從集合 a到集合b的一個(gè)函數(shù) 三要素 對應(yīng)關(guān)系 yf(x)，xa 定義域 自變量 x的取值范圍 值域 與 x的值相對應(yīng)的 y的函數(shù)值的集合f(x)|xa 思考 1：(1)有人認(rèn)為“yf(x)”表示的是“y 等于 f 與 x的乘積”，這種看法對嗎？ (2)f(x)與 f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？ 2 / 9 提示：(1)這種看法不對 符號 yf(x)是“y是 x 的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為 x是自變量，它是關(guān)系所施加的對象；f 是對應(yīng)關(guān)系，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)

3、，當(dāng) x允許取某一具體值時(shí)，相應(yīng)的y值為與該自變量值對應(yīng)的函數(shù)值yf(x)僅僅是函數(shù)符號，不表示“y等于 f與 x的乘積”在研究函數(shù)時(shí)，除用符號 f(x)外，還常用 g(x)，f(x)，g(x)等來表示函數(shù) (2)f(x)與 f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng) xa 時(shí)，函數(shù) f(x)的值，是一個(gè)常量，而 f(x)是自變量 x 的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是 f(x)的一個(gè)特殊值，如一次函數(shù) f(x)3x4，當(dāng) x8 時(shí)，f(8)38428 是一個(gè)常數(shù) 2區(qū)間及有關(guān)概念 (1)一般區(qū)間的表示 設(shè) a，br，且 ab，規(guī)定如下： 定義 名稱 符號 數(shù)軸表示 x|axb 閉區(qū)間 a

4、，b x|axb 開區(qū)間 (a，b) x|axb 半開半閉區(qū)間 a，b) x|a0 得 x1. 所以函數(shù)的定義域?yàn)?1，) 2若 f(x)11x2，則 f(3)_. 18 f(3)11918. 3用區(qū)間表示下列集合： (1)x|10 x100用區(qū)間表示為_； (2)x|x1用區(qū)間表示為_ (1)10,100 (2)(1，) 結(jié)合區(qū)間的定義可知(1)為10,100，(2)為(1，) 函數(shù)的概念 【例 1】 (1)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是( ) f(x)2x3與 g(x)x 2x； f(x)x與 g(x) x2； f(x)x0與 g(x)1x0； f(x)x22x1與 g(t)t22t1. a

5、b c d (2)判斷下列對應(yīng)是不是從集合 a到集合 b的函數(shù) an，bn*，對應(yīng)法則 f：對集合 a中的元素取絕對值與 b 中元素對應(yīng)； a1,1,2，2，b1,4，對應(yīng)法則 f：xyx2，xa，yb； 4 / 9 a1,1,2，2，b1,2,4，對應(yīng)法則 f：xyx2，xa，yb； a三角形，bx|x0，對應(yīng)法則 f：對 a中元素求面積與 b中元素對應(yīng) (1)c f(x)2x3|x| 2x與 g(x)x 2x的對應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù) g(x) x2|x|與 f(x)x 的對應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù) f(x)x0與 g(x)1x0都可化為 y1 且定義域是x|x0，故是同

6、一函數(shù) f(x)x22x1與 g(t)t22t1的定義域都是 r，對應(yīng)法則也相同，而與用什么字母表示無關(guān)，故是同一函數(shù) 由上可知是同一函數(shù)的是. 故選 c. (2)解 對于 a中的元素 0，在 f 的作用下得 0，但 0不屬于 b，即 a中的元素 0在 b中沒有元素與之對應(yīng)，所以不是函數(shù) 對于 a中的元素 1，在 f 的作用下與 b中的 1對應(yīng)，a中的元素 2，在 f的作用下與 b中的 4對應(yīng)，所以滿足 a中的任一元素與 b中唯一元素對應(yīng)，是“多對一”的對應(yīng)，故是函數(shù) 對于 a中的任一元素，在對應(yīng)關(guān)系 f 的作用下，b中都有唯一的元素與之對應(yīng)，如 1 對應(yīng) 1， 2 對應(yīng) 4，所以是函數(shù) 集合

7、 a不是數(shù)集，故不是函數(shù) 1判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的 2 個(gè)條件 (1)a，b必須是非空實(shí)數(shù)集 (2)a中任意一元素在 b 中有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng) 對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或“多對一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對多”的不是函數(shù)關(guān)系 2判斷函數(shù)相等的方法 (1)先看定義域，若定義域不同，則不相等； (2)若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相同 5 / 9 1下列四個(gè)圖象中，不是函數(shù)圖象的是( ) a b c d b 根據(jù)函數(shù)的定義知：y是 x的函數(shù)中，x確定一個(gè)值，y就隨之確定一個(gè)值，體現(xiàn)在圖象上，圖象與平行于 y軸的直線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，對照選項(xiàng)，可知只有 b 不符合此條件故選 b.

8、2下列各組函數(shù)中是相等函數(shù)的是( ) ayx1與 yx21x1 byx21 與 st21 cy2x與 y2x(x0) dy(x1)2與 yx2 b a，c 選項(xiàng)中兩函數(shù)的定義域不同，d選項(xiàng)中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，故 a，c，d錯(cuò)誤，選 b. 求函數(shù)值 【例 2】 設(shè) f(x)2x22，g(x)1x2， (1)求 f(2)，f(a3)，g(a)g(0)(a2)，g(f(2) (2)求 g(f(x) 思路點(diǎn)撥 (1)直接把變量的取值代入相應(yīng)函數(shù)解析式，求值即可； (2)把 f(x)直接代入 g(x)中便可得到 g(f(x) 解 (1)因?yàn)?f(x)2x22， 所以 f(2)222210， f(a3

9、)2(a3)222a212a20.因?yàn)?g(x)1x2， 所以 g(a)g(0)1a21021a212(a2) g(f(2)g(10)1102112. 6 / 9 (2)g(f(x)1f(x)212x22212x24. 函數(shù)求值的方法 (1)已知 f(x)的表達(dá)式時(shí)，只需用 a替換表達(dá)式中的 x即得 f(a)的值. (2)求 f(g(a)的值應(yīng)遵循由里往外的原則. 3已知 f(x)x32x3，求 f(1)，f(t)，f(2a1)和 f(f(1)的值 解 f(1)132136； f(t)t32t3； f(2a1)(2a1)32(2a1)38a312a210a； f(f(1)f(1)32(1)3)

10、f(0)3. 求函數(shù)的定義域 探究問題 1已知函數(shù)的解析式，求其定義域時(shí)，能否可以對其先化簡再求定義域？ 提示：不可以如 f(x)x1x21.倘若先化簡，則 f(x)1x1，從而定義域與原函數(shù)不等價(jià) 2若函數(shù) yf(x1)的定義域是1,2，這里的“1,2”是指誰的取值范圍？函數(shù) yf(x)的定義域是什么？ 提示：1,2是自變量 x 的取值范圍 函數(shù) yf(x)的定義域是 x1 的范圍2,3 【例 3】 求下列函數(shù)的定義域： (1)f(x)23x2； (2)f(x)(x1)02x1； (3)f(x) 3x x1； 7 / 9 (4)f(x)(x1)2x1 1x. 思路點(diǎn)撥 要求函數(shù)的定義域，只需

11、分母不為 0，偶次方根中被開方數(shù)大于等于 0即可 解 (1)當(dāng)且僅當(dāng) x20，即 x2 時(shí)， 函數(shù) f(x)23x2有意義， 所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x2 (2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng) x10，2x10，x10， 解得 x1且 x1， 所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x1 且 x1 (3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng) 3x0，x10，解得 1x3， 所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閤|1x3 (4)要使函數(shù)有意義，自變量 x的取值必須滿足 x10，1x0，解得 x1且x1， 即函數(shù)定義域?yàn)閤|x1且 x1 (變結(jié)論)在本例(3)條件不變的前提下，求函數(shù) yf(x1)的定義域 解 由 1x13得 0 x2. 所以函數(shù)

12、yf(x1)的定義域?yàn)?,2 求函數(shù)定義域的常用方法 (1)若 f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零. (2)若 f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零. (3)若 f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合. 8 / 9 (4)若 f(x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集. (5)若 f(x)是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問題，使實(shí)際問題有意義. 1對于用關(guān)系式表示的函數(shù)如果沒有給出定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量取值的集合這也是求某函數(shù)定義域的依據(jù) 2函數(shù)的定義主要包括定義域和定義域到值域的對應(yīng)法則，因此，判定兩個(gè)函

13、數(shù)是否相同時(shí)，就看定義域和對應(yīng)法則是否完全一致，完全一致的兩個(gè)函數(shù)才算相同 3函數(shù)符號 yf(x)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，它是抽象符號之一首先明確符號“yf(x)”為 y是 x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號，不是表示“y等于 f 與 x的乘積”. 1思考辨析 (1)區(qū)間表示數(shù)集，數(shù)集一定能用區(qū)間表示( ) (2)數(shù)集x|x2可用區(qū)間表示為2，( ) (3)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了( ) (4)函數(shù)值域中每一個(gè)數(shù)在定義域中一定只有一個(gè)數(shù)與之對應(yīng)( ) (5)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2下列函數(shù)中，與函數(shù) yx相等的是( ) ay( x)2 by x2 cy|x| dy3x3 d 函數(shù) yx的定義域?yàn)?r；y( x)2的定義域?yàn)?，)；y x2|x|，對應(yīng)關(guān)系不同；y|x|對應(yīng)關(guān)系不同；y3x3x，且定義域?yàn)?r.故選 d. 3將函數(shù) y31 1x的定義域用區(qū)間表示為_ (，