高中數(shù)學(xué)必修二期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè) (2)

1、1 / 17 期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè) 山東省濱州市 20192020 學(xué)年度 第二學(xué)期高一期末測(cè)試 一、選擇題(本題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.已知復(fù)數(shù) z=(1-i)+m(1+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù) m=( ) a.-2 b.-1 c.0 d.1 2.幸福感指數(shù)是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo),常用區(qū)間0,10內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示,該數(shù)越接近 10表示滿意程度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取 6 位小區(qū)居民,他們的幸福感指數(shù)分別為 5,6,7,8,9,5,則這組數(shù)據(jù)的第 80百分位數(shù)是( ) a.7 b.7.5 c.8 d

2、.9 3.已知 為平面,a,b為兩條不同的直線,則下列結(jié)論正確的是( ) a.若 a,b,則 ab b.若 a,ab,則 b c.若 a,ab,則 b d.若 a,ab,則 b 4.已知在平行四邊形 abcd 中,m,n分別是 bc,cd的中點(diǎn),如果 =a, =b,那么 =( ) 2 / 17 a.12a-12b b.-12a+12b c.a+12b d.-12a-12b 5.已知圓錐的表面積為 3,且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,則該圓錐的體積為( ) a.33 b.3 c.23 d.2 6.慶祝中華人民共和國(guó)成立 70 周年的閱兵式彰顯了中華民族從站起來(lái)、富起來(lái)邁向強(qiáng)起來(lái)的雄心壯志.閱兵式規(guī)模

3、之大、類型之全均創(chuàng)歷史之最,編組之新、要素之全彰顯強(qiáng)軍成就,裝備方陣堪稱“強(qiáng)軍利刃”“強(qiáng)國(guó)之盾”,見(jiàn)證著人民軍隊(duì)邁向世界一流軍隊(duì)的堅(jiān)定步伐.此次大閱兵不僅得到了全中國(guó)人的關(guān)注,還得到了無(wú)數(shù)外國(guó)人的關(guān)注.某單位有 6 位外國(guó)人,其中關(guān)注此次大閱兵的有 5 位,若從這 6 位外國(guó)人中任意選取 2 位進(jìn)行一次采訪,則被采訪者都關(guān)注了此次大閱兵的概率為( ) a.13 b.25 c.23 d.35 7.如圖,有四座城市 a、b、c、d,其中 b在 a 的正東方向,且與 a 相距 120 km,d在 a 的北偏東 30 方向,且與 a相距 60 km,c在 b的北偏東 30 方向,且與 b相距6013

4、km.一架飛機(jī)從城市 d 出發(fā),以 360 km/h 的速度向城市 c飛行,飛行了 15 min 后,接到命令改變航向,飛向城市 b,此時(shí)飛機(jī)距離城市 b的距離為( ) a.120 km b.606 km 3 / 17 c.605 km d.603 km 8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xoy中,原點(diǎn) o 為正八邊形 p1p2p3p4p5p6p7p8的中心,p1p8x 軸,若坐標(biāo)軸上的點(diǎn) m(異于原點(diǎn))滿足 2 + + =0(其中1i8,1j8,且 i,jn*),則滿足以上條件的點(diǎn) m的個(gè)數(shù)為( ) a.2 b.4 c.6 d.8 二、選擇題(本題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分.在每小

5、題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得 5 分,有選錯(cuò)的得 0 分,部分選對(duì)的得 3 分) 9.已知復(fù)數(shù) z滿足(1-i)z=2i,則下列關(guān)于復(fù)數(shù) z的結(jié)論正確的是( ) a.|z|=2 b.復(fù)數(shù) z的共軛復(fù)數(shù)=-1-i c.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) z的點(diǎn)位于第二象限 d.復(fù)數(shù) z是方程 x2+2x+2=0 的一個(gè)根 10.某市教體局對(duì)全市高一年級(jí)學(xué)生的身高進(jìn)行抽樣調(diào)查,隨機(jī)抽取了 100 名學(xué)生,他們的身高都處在 a,b,c,d,e 五個(gè)層次內(nèi),根據(jù)抽樣結(jié)果得到如下統(tǒng)計(jì)圖,則下列結(jié)論正確的是( ) 4 / 17 a.樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù) b.樣本中 b層次人數(shù)最多 c.樣本中 e

6、層次的男生人數(shù)為 6 d.樣本中 d 層次的男生人數(shù)多于女生人數(shù) 11.已知事件 a,b,且 p(a)=0.5,p(b)=0.2,則下列結(jié)論正確的是( ) a.如果 ba,那么 p(ab)=0.2,p(ab)=0.5 b.如果 a 與 b互斥,那么 p(ab)=0.7,p(ab)=0 c.如果 a 與 b相互獨(dú)立,那么 p(ab)=0.7,p(ab)=0 d.如果 a與 b相互獨(dú)立,那么 p()=0.4,p(a)=0.4 5 / 17 12.如圖,正方體 abcd-abcd的棱長(zhǎng)為 1,則下列命題中正確的是( ) a.若點(diǎn) m,n分別是線段 aa,ad的中點(diǎn),則 mnbc b.點(diǎn) c到平面 a

7、bcd的距離為2 c.直線 bc與平面 abcd所成的角等于4 d.三棱柱 aad-bbc的外接球的表面積為 3 三、填空題(本題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分) 13.已知 a,b,c分別為abc的三個(gè)內(nèi)角 a,b,c的對(duì)邊,且 bcos c+ccos b=asin a,則 a= . 14.已知數(shù)據(jù) x1,x2,x3,xm的平均數(shù)為 10,方差為 2,則數(shù)據(jù) 2x1-1,2x2-1,2x3-1,2xm-1 的平均數(shù)為 ,方差為 . 15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)(a-3b)=-18,則 a與 b 的夾角為 . 16.如圖,在三棱錐 v-abc中,ab=22,va=

8、vb,ac=bc,vc=1,且 avbv,acbc,則二面角 v-ab-c的余弦值是 . 6 / 17 四、解答題(本題共 6 小題,共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17.(10分)已知向量 a=(1,2),b=(4,-3). (1)若向量 ca,且|c|=25,求 c的坐標(biāo); (2)若向量 b+ka與 b-ka互相垂直,求實(shí)數(shù) k 的值. 18.(12分)已知 a,b,c分別為abc的三個(gè)內(nèi)角 a,b,c的對(duì)邊,且 a=7,c=1,a=23. (1)求 b及abc的面積 s; (2)若 d為 bc邊上一點(diǎn),且 ,求adb的正弦值. 7 / 17 從ad=1,cad=6

9、這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中,并解答. 注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分. 19.(12分)在四面體 a-bcd 中,e,f,m分別是 ab,bc,cd 的中點(diǎn),且bd=ac=2,em=1. (1)求證:ef平面 acd; (2)求異面直線 ac與 bd 所成的角. 8 / 17 20.(12分)溺水、校園欺凌等與學(xué)生安全有關(guān)的問(wèn)題越來(lái)越受到社會(huì)的關(guān)注和重視,為了普及安全教育,某市組織了一次學(xué)生安全知識(shí)競(jìng)賽,規(guī)定每隊(duì) 3 人,每人回答一個(gè)問(wèn)題,答對(duì)得 1 分,答錯(cuò)得 0 分.在競(jìng)賽中,甲、乙兩個(gè)中學(xué)代表隊(duì)狹路相逢,假設(shè)甲隊(duì)每人回答問(wèn)題正確的概率均為23,乙隊(duì)每人回答問(wèn)

10、題正確的概率分別為12,23,34,且每人回答問(wèn)題正確與否相互之間沒(méi)有影響. (1)分別求甲隊(duì)總得分為 3 分與 1 分的概率; (2)求甲隊(duì)總得分為 2 分且乙隊(duì)總得分為 1 分的概率. 9 / 17 21.(12分)如圖,在三棱錐 p-abc中,pa底面 abc,abbc,pa=ab=bc=2,點(diǎn) d為線段 ac的中點(diǎn),點(diǎn) e 為線段 pc上一點(diǎn). (1)求證:平面 bde平面 pac; (2)當(dāng) pa平面 bde 時(shí),求三棱錐 p-bde 的體積. 10 / 17 22.(12分)2020 年開(kāi)始,山東推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為

11、必考科目,滿分各 150 分,另外考生還需要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)要求,結(jié)合自己的興趣愛(ài)好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物 6 門科目中自選 3門參加考試(6 選 3),每科滿分 100分.2020年初受疫情影響,全國(guó)各地推遲開(kāi)學(xué),開(kāi)展線上教學(xué).為了了解高一學(xué)生的選科意向,某學(xué)校對(duì)學(xué)生所選科目進(jìn)行檢測(cè),下面是 100 名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī),以 20為組距分成 7組:160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300,畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示. (1)求頻率分布直方圖中 a的值; (2)(i

12、)求物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的中位數(shù); (ii)估計(jì)這 100 名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表); (3)為了進(jìn)一步了解選科情況,在物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)?cè)?20,240)和260,280)的兩組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取 7 名學(xué)生,再?gòu)倪@ 7名學(xué)生中隨機(jī)抽取 2 名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,求抽取的這 2名學(xué)生來(lái)自不同組的概率. 11 / 17 答案全解全析答案全解全析 1.b 復(fù)數(shù) z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i, 因?yàn)?z 是純虛數(shù),所以 + 1 = 0,-10,解得 m=-1. 2.c 將 6 個(gè)

13、數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為 5,5,6,7,8,9,因?yàn)?6 80%=4.8,所以第 5 個(gè)數(shù)據(jù)即為這組數(shù)據(jù)的第 80 百分位數(shù),故選 c. 3.b 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面,因此 b 選項(xiàng)正確,易知 a、c、d 錯(cuò)誤. 4.b = - = + -( + )= +12 - -12 =-12 +12 =-12a+12b. 5.a 設(shè)圓錐的底面半徑為 r,母線長(zhǎng)為 l,依題意有 2r=122l,所以 l=2r,又圓錐的表面積為 3,所以 r2+rl=3,解得r=1,因此圓錐的高 h=2-2=3,于是體積 v=13r2h=1312 3=33. 6.c

14、這 6 位外國(guó)人分別記為 a,a,b,c,d,e,其中 a 未關(guān)注此次大閱兵,a,b,cd,e 關(guān)注了此次大閱兵, 則樣本點(diǎn)有(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共 15 個(gè), 其中被采訪者都關(guān)注了此次大閱兵的樣本點(diǎn)有 10 個(gè),故所求概率為1015=23.故選 c. 7.d 取 ab 的中點(diǎn) e,連接 de,bd.設(shè)飛機(jī)飛行了 15 min 后到達(dá) f 點(diǎn),連接 bf,如圖所示,則 bf 即為所求. 因?yàn)?e 為 ab 的中點(diǎn),且 ab=120 km

15、, 所以 ae=eb=60 km, 又dae=60 ,ad=60 km, 12 / 17 所以三角形 dae 為等邊三角形, 所以 de=60 km,ade=60 , 在等腰三角形 edb 中,deb=120 , 所以edb=ebd=30 , 所以adb=90 , 所以 bd2=ab2-ad2=1202-602=10 800, 所以 bd=603 km, 因?yàn)閏be=90 +30 =120 ,ebd=30 ,所以cbd=90 , 所以 cd=2+ b2=10 800 + (6013)2=240 km, 所以 cosbdc=603240=34, 因?yàn)?df=36014=90 km, 所以在三角形

16、 bdf 中, bf2=bd2+df2-2 bd df cosbdf =(603)2+902-2 603 9034=10 800, 所以 bf=603 km, 即此時(shí)飛機(jī)距離城市 b 的距離為 603 km. 8.d 取線段 pipj的中點(diǎn) qk,因?yàn)?2 + + =0,所以 + =-2 ,即 2 =-2 ,所以 =- ,于是 qk,o,m共線,因?yàn)辄c(diǎn) m 在坐標(biāo)軸上,所以 qk也在坐標(biāo)軸上,于是滿足條件的(i,j)的情況有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即滿足條件的點(diǎn) m 有 8 個(gè). 9.abcd 由(1-i)z=2i 得 z

17、=2i1i=-1+i,于是|z|=2,其共軛復(fù)數(shù)=-1-i,復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(-1,1),位于第二象限.因?yàn)?-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以復(fù)數(shù) z 是方程 x2+2x+2=0 的一個(gè)根,故選項(xiàng) a、b、c、d 均正確. 10.abc 樣本中女生人數(shù)為 9+24+15+9+3=60,則男生人數(shù)為 40,故 a 選項(xiàng)正確;樣本中 b 層次人數(shù)為24+40 30%=36,并且 b 層次占女生和男生的比例均最大,故 b 層次人數(shù)最多,b 選項(xiàng)正確;e 層次中的男生人數(shù)為40 (1-10%-30%-25%-20%)=6,故 c 選項(xiàng)正確;d 層次中,男生人數(shù)為 40 20%=

18、8,女生人數(shù)為 9,故 d 選項(xiàng)錯(cuò)誤. 11.bd 由于 ba,所以 ab=a,ab=b,于是 p(ab)=p(a)=0.5,p(ab)=p(ab)=p(b)=0.2,故 a 選項(xiàng)錯(cuò)誤;由于 a與 b 互斥,所以 p(ab)=p(a)+p(b)=0.5+0.2=0.7,ab 為不可能事件,因此 p(ab)=0,故 b 選項(xiàng)正確;如果 a 與 b 相互獨(dú)立,那么 p(ab)=p(a)p(b)=0.1,故 c 選項(xiàng)錯(cuò)誤;p()=p()p()=0.5 0.8=0.4,p(a)=p(a)p()=0.5 0.8=0.4,故 d 選項(xiàng)正確. 13 / 17 12.acd 因?yàn)?m,n 分別是線段 aa,a

19、d的中點(diǎn),所以 mnad,又因?yàn)?adbc,所以 mnbc,故 a 選項(xiàng)正確;連接 bc,易證 bc平面 abcd,因此點(diǎn) c 到平面 abcd的距離為12bc=22,故 b 選項(xiàng)錯(cuò)誤;直線 bc 與平面 abcd所成的角為cbc=4,故 c 選項(xiàng)正確;三棱柱 aad-bbc的外接球即正方體的外接球,其半徑 r=32,因此其表面積為4(32)2=3,故 d 選項(xiàng)正確. 13.答案 90 解析 由正弦定理可得 sin bcos c+sin ccos b=sin2a,即 sin(b+c)=sin 2a,所以 sin a=sin2a,易知 sin a0,所以 sin a=1,故 a=90 . 14.

20、答案 19;8 解析 依題意可得 2x1-1,2x2-1,2xm-1 的平均數(shù)為 2 10-1=19,方差為 22 2=8. 15.答案 3 解析 設(shè) a,b 的夾角為 ,依題意有|a|2-ab-6|b|2=-18,所以 32-3 2 cos -6 22=-18,解得 cos =12,由于 0,故 =3. 16.答案 34 解析 取 ab 的中點(diǎn) d,連接 vd,cd,由于 va=vb,ac=bc,所以 vdab,cdab,于是vdc 就是二面角 v-ab-c的平面角.因?yàn)?avbv,acbc,ab=22,所以 vd=2,dc=2,又 vc=1,所以 cosvdc=2+21222=34. 17

21、.解析 (1)解法一:因?yàn)橄蛄?ca,所以設(shè) c=a,(1 分) 則 c2=(a)2, 即(25)2=2a2,(2 分) 所以 20=52,解得 =2.(4 分) 所以 c=2a=(2,4)或 c=-2a=(-2,-4).(5 分) 解法二:設(shè)向量 c=(x,y).(1 分) 14 / 17 因?yàn)?ca,且 a=(1,2),所以 2x=y,(2 分) 因?yàn)閨c|=25,所以2+ 2=25,(3 分) 由2 = ,2+ 2= 25,解得 = 2, = 4,或 = 2, = 4.(4 分) 所以 c=(2,4)或 c=(-2,-4).(5 分) (2)因?yàn)橄蛄?b+ka 與 b-ka 互相垂直,所

22、以(b+ka)(b-ka)=0,(6 分) 即 b2-k2a2=0.(7 分) 因?yàn)?a=(1,2),b=(4,-3),所以 a2=5,b2=25,(8 分) 所以 25-5k2=0,解得 k= 5.(10 分) 18.解析 (1)由余弦定理得,(7)2=b2+12-2bcos 23,(2 分) 整理得 b2+b-6=0,解得 b=2 或 b=-3(舍去).(5 分) 所以abc 的面積 s=12bcsin a=12 2 132=32.(6 分) (2)選擇條件. 在abc 中,由正弦定理sin=sin,得2sin=732,(8 分) 所以 sin b=217.(9 分) 因?yàn)?ad=ab=1

23、,所以adb=b.(10 分) 所以 sinadb=sin b,所以 sinadb=217.(12 分) 選擇條件. 在abc 中,由余弦定理的推論,得 cos b=(7)2+12-22271=277.(8 分) 因?yàn)?a=23,所以bad=23-6=2,(9 分) 所以 sinadb=cos b,即 sinadb=277.(12 分) 19.解析 (1)證明:因?yàn)?e,f 分別為 ab,bc 的中點(diǎn),所以 efac.(2 分) 因?yàn)?ef平面 acd,ac平面 acd,所以 ef平面 acd.(4 分) (2)易得 efac,fmbd,(5 分) 15 / 17 所以efm 為異面直線 ac

24、 與 bd 所成的角(或其補(bǔ)角).(7 分) 在efm 中,ef=fm=em=1,所以efm 為等邊三角形,(10 分) 所以efm=60 ,即異面直線 ac 與 bd 所成的角為 60 .(12 分) 20.解析 (1)記“甲隊(duì)總得分為 3 分”為事件 a,“甲隊(duì)總得分為 1 分”為事件 b. 甲隊(duì)得 3 分,即三人都答對(duì),其概率 p(a)=232323=827.(2 分) 甲隊(duì)得 1 分,即三人中只有一人答對(duì),其余兩人都答錯(cuò), 其概率 p(b)=23 (1 23) (1 23)+(1 23)23 (1 23)+(1 23) (1 23)23=29.(5 分) 所以甲隊(duì)總得分為 3 分的概率

25、為827,甲隊(duì)總得分為 1 分的概率為29.(6 分) (2)記“甲隊(duì)總得分為 2 分”為事件 c,“乙隊(duì)總得分為 1 分”為事件 d. 甲隊(duì)得 2 分,即三人中有兩人答對(duì),剩余一人答錯(cuò), 則 p(c)=2323 (1 23)+23 (1 23)23+(1 23)2323=49.(8 分) 乙隊(duì)得 1 分,即三人中只有一人答對(duì),其余兩人都答錯(cuò), 則 p(d)=12 (1 23) (1 34)+(1 12)23 (1 34)+(1 12) (1 23)34=14.(11 分) 由題意得,事件 c 與事件 d 相互獨(dú)立. 所以甲隊(duì)總得分為 2 分且乙隊(duì)總得分為 1 分的概率為 p(c)p(d)=4

26、914=19.(12 分) 21.解析 (1)證明:因?yàn)?pa底面 abc,且 bd底面 abc, 所以 pabd.(1 分) 因?yàn)?ab=bc,且點(diǎn) d 為線段 ac 的中點(diǎn),所以 bdac.(2 分) 又 paac=a,所以 bd平面 pac.(3 分) 又 bd平面 bde,所以平面 bde平面 pac.(4 分) (2)因?yàn)?pa平面 bde,pa平面 pac,平面 pac平面 bde=ed,所以 edpa.(5 分) 因?yàn)辄c(diǎn) d 為 ac 的中點(diǎn),所以點(diǎn) e 為 pc 的中點(diǎn).(6 分) 解法一:由題意知 p 到平面 bde 的距離與 a 到平面 bde 的距離相等.(7 分) 所以

27、 vp-bde=va-bde=ve-abd=12ve-abc=14vp-abc=141312 2 2 2=13. 16 / 17 所以三棱錐 p-bde 的體積為13.(12 分) 解法二:由題意知點(diǎn) p 到平面 bde 的距離與點(diǎn) a 到平面 bde 的距離相等.(7 分) 所以 vp-bde=va-bde.(8 分) 由題意得 ac=22,ad=2,bd=2,de=1,(9 分) 由(1)知,adbd,adde,且 bdde=d,所以 ad平面 bde,(10 分) 所以 va-bde=13adsbde=1312 2 1 2=13. 所以三棱錐 p-bde 的體積為13.(12 分) 解法三:由題意得 ac=22,ad=2,bd=2,de=1,(8 分) 由(1)知,bd平面 pde, 且 spde=12dead=12 1 2=22.(10 分) 所以 vp-bde=vb-pde=13bdspde=13 222=13. 所以三棱錐 p-bde 的體積為13.(12 分)