04第四講不等式（精編版）

1、第四講不 等 式初中階段已經(jīng)學習了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法高中階段將進一步學習一元二次不等式和分式不等式等知識本講先介紹一些高中新課標中關于不等式的必備知識一、一元二次不等式及其解法1 形如20(0) (0)axbxca或其中的不等式稱為關于x的一元二次不等式【例 1】解不等式260 xx分析： 不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號法則 - 正正 ( 負負 ) 得正、正負得負”的原則，將其轉化為一元一次不等式組解： 原不等式可以化為：(3)(2)0 xx，于是：3020 xx或3020 xx333222xxxxxx或或所以，原不等式的解是32xx或說明： 當把一元二次不等式化為20

2、(0)axbxc或的形式后，只要左邊可以分解為兩個一次因式，即可運用本題的解法【例 2】解下列不等式：(1) (2)(3)6xx(2) (1)(2)(2)(21)xxxx分析： 要先將不等式化為20(0)axbxc或的形式，通常使二次項系數(shù)為正數(shù)解： (1) 原不等式可化為：2120 xx，即(3)(4)0 xx于是：3030344040 xxxxx或所以原不等式的解是34x(2) 原不等式可化為：240 xx，即240(4)0 xxx x于是：00044040 xxxxxx或或所以原不等式的解是04xx或2一元二次不等式20(0)axbxc或與二次函數(shù)2 (0)yaxbxca及一元二次方程2

3、0axbxc的關系 (簡稱：三個二次)以二次函數(shù)26yxx為例：(1) 作出圖象；(2) 根據(jù)圖象容易看到，圖象與x軸的交點是( 3,0),(2,0)，即當32x或時，0y就是說對應的一元二次方程260 xx的兩實根是32x或(3) 當32xx或時，0y，對應圖像位于x軸的上方就是說260 xx的解是32xx或當32x時，0y，對應圖像位于x軸的下方就是說260 xx的解是32x一般地，一元二次不等式可以結合相應的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1) 將二次項系數(shù)先化為正數(shù)；(2) 觀測相應的二次函數(shù)圖象如果圖象與x軸有兩個交點12(,0),(,0)xx，此時對應的一元二次方程有兩個不

4、相等的實數(shù)根12,xx(也可由根的判別式0來判斷 ) 那么 (圖 1)：2120 (0) axbxcaxxxx或2120 (0) axbxcaxxx如果圖象與x軸只有一個交點(,0)2ba，此時對應的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根22xbxxa(也可由根的判別式0來判斷 ) 那么 (圖 2)：20 (0) 2baxbxcaxa20 (0 )a xb xca無解如果圖象與x軸沒有交點， 此時對應的一元二次方程沒有實數(shù)根(也可由根的判別式0來判斷 ) 那么 (圖 3)：20(0 )a xb xcax取一切實數(shù)20 (0 )a xb xca無解如果單純的解一個一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理

5、：(1) 化二次項系數(shù)為正；(2) 若二次三項式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根12,xx那么“0”型的解為12xxxx或(俗稱兩根之外 )；“0”型的解為12xxx(俗稱兩根之間)；(3) 否則，對二次三項式進行配方，變成2224()24bacbaxbxca xaa，結合完全平方式為非負數(shù)的性質(zhì)求解【例 3】解下列不等式：(1) 2280 xx(2) 2440 xx(3) 220 xx解： (1) 不等式可化為(2)(4)0 xx 不等式的解是24x (2) 不等式可化為2(2)0 x 不等式的解是2x (3) 不等式可化為217()024x【例 4】已知對于任意實數(shù)x，22kxxk恒為

6、正數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍解： 顯然0k不合題意，于是：222000111( 2)4010kkkkkkkk或【例 5】已知關于x的不等式22(1)30kxkx的解為13k，求k的值分析： 對應的一元二次方程的根是1和3，且對應的二次函數(shù)的圖象開口向上根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可以求解解： 由題意得：2011313( 1) 3kkkkk說明：本例也可以根據(jù)方程有兩根1和3， 用代入法得：22( 1)(1)( 1)30kk，2233(1)30kk，且注意0k，從而1k二、簡單分式不等式的解法【例 6】解下列不等式：(1) 2301xx(2) 2301xxx分析： (1) 類似于一元二次不等式的解

7、法，運用“符號法則”將之化為兩個一元一次不等式組處理；或者因為兩個數(shù)(式)相除異號，那么這兩個數(shù)(式)相乘也異號，可將分式不等式直接轉化為整式不等式求解(2) 注意到經(jīng)過配方法，分母實際上是一個正數(shù)解： (1) 解法 (一) 原不等式可化為：3323023031221010211xxxxxxxxx或或解法 (二) 原不等式可化為：3(23)(1)012xxx(2) 22131()024xxx原不等式可化為：303xx【例 7】解不等式132x解： 原不等式可化為：(35)(2)013535530002202223xxxxxxxxxx或說明： (1) 轉化為整式不等式時，一定要先將右端變?yōu)?(2

8、) 本例也可以直接去分母，但應注意討論分母的符號：2220201532553(2)13(2)12333xxxxxxxxxxx或或或三、含有字母系數(shù)的一元二次不等式一元一次不等式最終可以化為 (0)axb a的形式(1) 當0a時，不等式的解為：bxa；(2) 當0a時，不等式的解為：bxa；(3) 當0a時，不等式化為：0 xb； 若0b，則不等式的解是全體實數(shù)；若0b，則不等式無解【例 8】求關于x的不等式222m xmxm的解解： 原不等式可化為：(2)2m mxm(1) 當202mm即時，1mx，不等式的解為1xm；(2) 當202mm即時，1mx02m時，不等式的解為1xm；0m時，不

9、等式的解為1xm；0m時，不等式的解為全體實數(shù)(3) 當202mm即時，不等式無解綜上所述：當0m或2m時，不等式的解為1xm；當02m時，不等式的解為1xm；當0m時，不等式的解為全體實數(shù)；當2m時，不等式無解【例 9】已知關于x的不等式22kkxx的解為12x，求實數(shù)k的值分析：將不等式整理成axb的形式， 可以考慮只有當0a時，才有形如bxa的解，從而令12ba解： 原不等式可化為：2(1)2kxk所以依題意：2101332121212kkkkkk或a 組1解下列不等式：(1) 220 xx(2) 23180 xx(3) 231xxx(4) (9)3(3)x xx2解下列不等式：(1)

10、101xx(2) 31221xx(3) 21x(4) 221021xxx3解下列不等式：(1) 22222xxx(2) 21110235xx4已知不等式20 xaxb的解是23x，求,a b的值5解關于x的不等式(2)1mxm6已知關于x的不等式22kxkkx的解是1x，求k的值7已知不等式220 xpxq的解是21x，求不等式220pxqx的解b 組1已知關于x的不等式20mxxm的解是一切實數(shù)，求m的取值范圍2若不等式2231xxkk的解是3x，求k的值3解關于x的不等式2256xaxa4a取何值時，代數(shù)式2(1)2(2)2aa的值不小于0？5 已 知 不 等 式20a xb xc的 解 是x， 其 中0， 求 不 等 式20c xb xa的解練習第四講不等式答案a 組11(1)0 (2)36 (3)1 (4)32xxxx211(1)1