高中數(shù)學(xué)講義微專題60三視圖——幾何體的面積問題

1、- 1 - / 6 微專題 60 三視圖幾何體的面積問題 一、基礎(chǔ)知識： 1、常見幾何體的表面積計算： （1）三角形面積：設(shè)abc的底為a，高為h，則12abcsa h= （2）圓形面積：設(shè)圓的半徑為r，則2sr= （3）圓柱的側(cè)面積：設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則側(cè)面積為2sr h= （4）圓錐的側(cè)面積：設(shè)圓錐底面半徑為 r，母線長為l，則側(cè)面積為srl= （5）圓臺的側(cè)面積：設(shè)圓臺上下底面半徑分別為, r r，母線長為l，則側(cè)面積為()srr l=+ （6）棱柱（棱錐，棱臺）的側(cè)面積：只需求出每個側(cè)面的面積并加在一起 （7）球的面積：設(shè)球的半徑為r，則球的表面積為24sr= 2、軸截面：對

2、于旋轉(zhuǎn)體（圓柱，圓錐，圓臺），用軸所在的平面去截幾何體，得到的截面稱為軸截面，軸截面的邊角關(guān)系與幾何體的一些要素向?qū)?yīng)。 （1）圓柱：軸截面為矩形，其中矩形的長對應(yīng)圓柱的底面直徑，矩形的高對應(yīng)橢圓的高 （2）圓錐：軸截面為等腰三角形，其中等腰三角形的底對應(yīng)圓錐的底面直徑，高對應(yīng)圓錐的高，腰對應(yīng)圓錐的母線長 （3）圓臺：軸截面為等腰梯形，其中上底對應(yīng)圓臺上底面直徑，下底對應(yīng)下底面直徑，高對應(yīng)圓臺的高，腰對應(yīng)圓臺的母線 3、三視圖解面積的步驟： （1）分析出所圍成的幾何體的特征（柱，錐，臺還是組合體） （2）確定所求幾何體由哪些面組成 （3）根據(jù)圍成的面的特點，尋找可求出面積的要素，進而求出面積

3、（4）將各部分面積求和即可得到幾何體的表面積 4、求表面積要注意的幾點： （1）三視圖中側(cè)面的高通常與某個視圖的邊相對應(yīng)。 （2）圓錐和圓柱可利用軸截面的特點求出相關(guān)要素，例如已知圓錐的高和底面半徑，通過軸截面可求出圓錐的母線長 （3）當幾何體被切割時，要注意截面也算在表面積之列。 - 2 - / 6 （4）如果幾何體是由多個簡單幾何體拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在幾何體之中，進而在求表面積時不予考慮。 二、典型例題： 例 1：一個幾何體的三視圖及其尺寸(單位：cm) ，如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積為 _ cm 思路：通過三視圖可判斷出該幾何體為正四棱錐，所以只需計算出一個側(cè)面三角形的面積

4、，乘 4 即為側(cè)面積。通過三視圖可得側(cè)面三角形的底為 8（由俯視圖可得），高為5（左側(cè)面的高即為正視圖中三角形左腰的長度），所以面積為115 8202s =，所以側(cè)面積為1480sscm= 答案：80 例 2：一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 思路：由三視圖可得該幾何體由一個半球和一個圓錐組成，其表面積為半球面積和圓錐側(cè)面積的和。球的半徑為 3，所以半球的面積21143182s=，圓錐的底面半徑為 3，母線長為 5，所以圓錐的側(cè)面積為23 515srl= =，所以表面積為1233sss=+= 答案：33 例 3：已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于_ 思路：可初

5、步判斷出該幾何體可由正方體截得一部分而構(gòu)成。從三視圖中可得去掉的一角為側(cè)棱長為 1，且兩兩垂直的三棱錐（如圖所示），可得abc為邊長是2的等邊三角形。所以()233242abcs=，其余的面中有三個面是正方形的面積減去一個邊長為 1 的等腰直角三角形的面積，即221172122s =，另外三個面為完整的正方形，即2224s =，所以表面積12453332abcssss+=+= - 3 - / 6 答案：4532+ 例 4：某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（ ） a. 82 2+ b. 112 2+ c. 142 2+ d. 15 思路：由三視圖可判斷出該幾何體為一個正四棱柱，所

6、以表面積由側(cè)面的四個矩形，還有上下兩個底面（直角梯形）的面積組成。由俯視圖可得梯形的上下底分別為1,2，高為 1，所以梯形面積()11312122s =+ =，四個側(cè)面的底分別為2,1,1, 2，高為2，所以側(cè)面面積為()2221 1282 2s =+ + +=+，從而表面積123282 2112 22sss=+=+=+ 答案：b 例 5：如圖，一個空間幾何體的正視圖，側(cè)視圖都是面積為32，一個內(nèi)角為60的菱形，俯視圖為正方形，那么這個幾何體的表面積為（ ） a. 2 3 b. 4 3 c. 8 d. 4 思路：由三視圖可得，該幾何體為兩個正四棱錐上下拼接而成，其表面積為 8 個側(cè)面三角形面積

7、的和。首先計算正視圖中菱形的邊長。圖中的菱形被分成 2 個全等的等邊三角形，設(shè)邊長為a，則有233242sa=，解得2a = 答案：d 例 6：某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為（ ） a. 1522+ b. 12 522+ - 4 - / 6 c. ()215+ d. 2522+ 思路：由正視圖與側(cè)視圖可判斷出幾何體為錐體，再由俯視圖能夠判定該幾何體為圓錐的一半，且底面向上放置。所以表面積由底面半圓，側(cè)面的一半，和軸截面的面積組成。由俯視圖可得底面半圓半徑1r =，所以底面半圓面積21122sr= 幾何體的側(cè)面為圓錐側(cè)面的一半，由正視圖可得圓錐的母線22215l =+=，所以側(cè)面面積2

8、1522srl=，軸截面為三角形，底為 2（側(cè)視圖），高為 2（正視圖）所以可得面積312222s = =，所以該幾何體的表面積為1231522ssss+=+=+ 答案：a 例 7：如圖是一個幾何體的三視圖，則此三視圖所描述幾何體的表面積為（ ） a. ()124 3+ b. 20 c. ()204 3+ d. 28 思路：從三視圖中可判斷出幾何體為一個圓錐和圓柱拼接而成，所圍成的表面積為圓錐的側(cè)面，圓柱的側(cè)面和圓柱的一個底面。圓錐的底面半徑為 2，高為2 3，可由 軸 截 面 求 出 母 線 的 長 度 為4， 所 以 圓 錐 側(cè) 面18srl=，圓柱的高2h =，底面半徑2r =，所以圓

9、柱 的 側(cè) 面 面 積228srh=， 圓 柱 底 面 面 積234sr=，所以幾何體的表面積為12320ssss=+= 答案：b 例 8：某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的表面積為_ 思路：由正視圖和側(cè)視圖可判斷出幾何體為錐體，結(jié)合俯視圖可得該幾何體為圓錐的一部分。其表面積由底面扇形，圓錐側(cè)面的一部分和兩個三角形截面組成，首先通過正視圖線段的長度可得扇形的圓心角為23，所以扇形面積22111 24222 33sr=，由側(cè)視圖可得圓- 5 - / 6 錐的母線長22422 5l =+=，由底面扇形所占底面圓形的13可得圓錐部分側(cè)面面積也是圓錐側(cè)面面積的13，即214 53

10、3srl= 由正視圖可得兩個三角形的底為 2，高為 4，所以三角形面積為312442s = =，所以幾何體的表面積為12344 5283ssss+=+=+ 答案：44 583+ 例 9：一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為_ 思路：由三視圖可知該幾何體為四棱錐，且頂點在底面的投影為底邊的中點，可嘗試作出四棱錐的直觀圖。底面為邊長為 2 的正方形，所以面積224abcds=，pab的底為 2，高為3（正視 圖 的 左 側(cè) 直 角 邊 ） ， 所 以12332pabs= =。,padpbc的底為 2，高為 2（側(cè)視圖的左右邊），所以12 222padpbcss= =，pdc的底為2，高

11、()22327h =+=，所以12772pdcs= =，所以棱錐的表面積837abcdpabpadpbcpdcssssss=+=+ 答案：837+ 小煉有話說：在求棱錐的側(cè)面面積時，底可以考慮底面的邊長，高則可從正視圖與側(cè)視圖三角形的左右兩邊尋找，其邊長分別對應(yīng)側(cè)面三角形的高 例 10：圓柱被過軸一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖與俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為1620+，則r =（ ） a. 1 b. 2 c. 4 d. 8 思路：總體想法是用r表示出幾何體的表面積，在結(jié)合已知列出方程求解。由條件可知該幾何體的表面積由一個半球，圓柱的半個底面，半球截面的一半（半圓），圓柱的半個側(cè)面和abdcp- 6 - / 6 圓柱的軸截面的面積組成。半球的面積為2211422srr=，半球截面的一半2212sr=， 圓 柱 半 個 底 面 面 積 為2312sr=， 圓 柱 半 個 側(cè) 面 面 積 為241222srhr=， 軸 截 面 為 矩 形 ， 底 為2r，