高中數(shù)學(xué)講義微專題76存在性問題

1、- 1 - / 24 微專題 76 圓錐曲線中的存在性問題 一、基礎(chǔ)知識 1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時，通常先假定所求的要素（點，線，圖形或是參數(shù)）存在，并用代數(shù)形式進(jìn)行表示。再結(jié)合題目條件進(jìn)行分析，若能求出相應(yīng)的要素，則假設(shè)成立；否則即判定不存在 2、存在性問題常見要素的代數(shù)形式：未知要素用字母代替 （1）點：坐標(biāo)()00,xy （2）直線：斜截式或點斜式（通常以斜率為未知量） （3）曲線：含有未知參數(shù)的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 3、解決存在性問題的一些技巧： （1）特殊值（點）法：對于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。 （2）

2、核心變量的選取：因為解決存在性問題的核心在于求出未知要素，所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時候消去。 （3）核心變量的求法： 直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進(jìn)行求解 間接法：若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關(guān)于該變量與輔助變量的方程（組），運用方程思想求解。 二、典型例題： 例 1：已知橢圓()2222:10 xycabab+=的離心率為33，過右焦點f的直線l與c相交于,a b兩點，當(dāng)l的斜率為1時，坐標(biāo)原點o到l的距離為22。 （1）求, a b的值 （2）c上是否存在點p，使得當(dāng)l繞f旋轉(zhuǎn)到某一位置時，有opoaob=+成立

3、？若存在，求出所有的p的坐標(biāo)和l的方程，若不存在，說明理由 解：（1）3:3:2 :13cea b ca= - 2 - / 24 則3 ,2ac bc=，依題意可得：(),0f c，當(dāng)l的斜率為1時 :0lyxcxyc= 222o lcd= 解得：1c = 3,2ab= 橢圓方程為：22132xy+= （2）設(shè)()00,p xy，()()1122,a x yb xy 當(dāng)l斜率存在時，設(shè)():1lyk x= opoaob=+ 012012xxxyyy=+=+ 聯(lián)立直線與橢圓方程：()221236yk xxy=+= 消去y可得：()2222316xkx+=，整理可得： ()2222326360kx

4、k xk+= 2122632kxxk+=+ ()312122264223232kkyyk xxkkkk+=+= + 22264,3232kkpkk+ 因為p在橢圓上 22222642363232kkkk +=+ ()()()2242222272486 3224326 32kkkkkk+=+=+ ()22246 322kkk=+= 當(dāng)2k =時，():21l yx=，32,22p 當(dāng)2k = 時，():21l yx= ，32,22p 當(dāng)斜率不存在時，可知:1l x = ，2 32 31,1,33ab，則()2,0p不在橢圓上 - 3 - / 24 綜上所述：():21l yx=，32,22p或(

5、):21l yx= ，32,22p 例 2：過橢圓()2222:10 xyabab+=的右焦點2f的直線交橢圓于,a b兩點，1f為其左焦點，已知1afb的周長為 8，橢圓的離心率為32 （1）求橢圓的方程 （2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點,p q，且opoq？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由 解：（1）由1afb的周長可得：482aa= 332ceca = 2221bac= 橢圓22:14xy+= （2）假設(shè)滿足條件的圓為222xyr+=，依題意，若切線與橢圓相交，則圓應(yīng)含在橢圓內(nèi) 01r 若直線pq斜率存在，設(shè):pq ykxm=+，()()

6、1122,p x yq xy pq與圓相切 ()222211o lmdrmrkk=+ 0opoqop oq= 即12120 x xy y+= 聯(lián)立方程：2244ykxmxy=+=()222148440kxkmxm+= 2121222844,4141kmmxxx xkk+= =+ ()()()2212121212y ykxmkxmk x xkm xxm=+=+ ()()22121212121x xy ykx xkm xxm+=+ - 4 - / 24 ()2222244814141mkmkkmmkk=+ + 22254441mkk=+ 225440mk=對任意的,m k均成立 將()2221mr

7、k=+代入可得：()()22251410rkk+= ()()225410rk+= 245r= 存在符合條件的圓，其方程為：2245xy+= 當(dāng)pq斜率不存在時，可知切線pq為255x = 若2:55pq x =，則2 5 2 52 52 5,5555pq 0op oq= 2:55pq x=符合題意 若2:55pq x = ，同理可得也符合條件 綜上所述，圓的方程為：2245xy+= 例 3：已知橢圓()222210 xyabab+=的左右焦點分別為12,f f，短軸兩個端點為,a b，且四邊形12f af b是邊長為 2 的正方形 （1）求橢圓的方程 （2）若,c d分別是橢圓長軸的左，右端點

8、，動點m滿足mdcd，連接cm，交橢圓于點p，證明om op是定值 （3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存在異于點c的定點q，使得以mp為直徑的圓恒過直線,dp mq的交點。若存在，求出點q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 解：（1）四邊形12f af b是邊長為 2 的正方形 - 5 - / 24 可得：2bc= 2224abc=+= 橢圓方程為22142xy+= （2）由橢圓方程可得：()()2,0 ,2,0cd，由mdcd可設(shè)()02,my，()11,p x y ()000224cmyyk= ()0:24ycmyx=+，與橢圓方程聯(lián)立可得： ()2222220000241114082224

9、xyyxy xyyyx+=+=+ 由韋達(dá)定理可知：()220011220014282818cyyx xxyy= + 代入直線cm可得：012088yyy=+ ()2002200288,88yypyy+ ()22000022220000288482,8888yyyydpyyyy= = + 設(shè)(),0q m ()02,mqmy= 若以mp為直徑的圓恒過直線,dp mq的交點，則0dp mq= () ()2002200482088yymyyy+ =+ 2020408y my=+恒成立， 0m = 存在定點()0,0q - 6 - / 24 例 4：設(shè)f為橢圓()2222:10 xyeabab+=的右

10、焦點，點31,2p在橢圓e上，直線0:34100lxy=與以原點為圓心，以橢圓e的長半軸長為半徑的圓相切 （1）求橢圓e的方程 （2）過點f的直線l與橢圓相交于,a b兩點，過點p且平行于ab的直線與橢圓交于另一點q，問是否存在直線l，使得四邊形pabq的對角線互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由 解：（1）0l與圓相切 1025o ldr= 2a= 將31,2p代入橢圓方程22214xyb+=可得：3b = 橢圓方程為：22143xy+= （2）由橢圓方程可得：()1,0f 設(shè)直線():1l yk x=，則()3:12pq yk x= 聯(lián)立直線l與橢圓方程： ()2213412

11、yk xxy=+=消去y可得：()22224384120kxk xk+= ()()()22222184 43412144144kkkk =+=+ ()21221222121114343kabkxxkkk+=+=+=+ 同理： 聯(lián)立直線pq與橢圓方程： ()223123412yk xxy=+=消去y可得：()()22224381241230kxkk xkk+= - 7 - / 24 ()()()22222218124 4123431444kkkkkkk =+=+ 22222211444114343kkpqkkkk+=+=+ 因為四邊形pabq的對角線互相平分 四邊形pabq為平行四邊形 abpq

12、= ()222221144121414343kkkkkk+=+ 解得：34k = 存在直線:3430lxy=時，四邊形pabq的對角線互相平分 例 5：橢圓()2222:10 xycabab+=的左右焦點分別為12,f f，右頂點為a，p為橢圓1c上任意一點，且12pf pf的最大值的取值范圍是22,3cc，其中22cab= （1）求橢圓1c的離心率e的取值范圍 （2）設(shè)雙曲線2c以橢圓1c的焦點為頂點，頂點為焦點，b是雙曲線2c在第一象限上任意一點，當(dāng)e取得最小值時，試問是否存在常數(shù)()0 ，使得11bafbf a= 恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由 解：（1）設(shè)()()()1

13、2,0 ,0p x yfcf c ()()12,pfcxypfcxy= = 22212pf pfxyc=+ 由22221xyab+=可得：22222bybxa=代入可得： - 8 - / 24 2222222222212221bcpf pfxycxbcxbcaa=+=+=+ ,xa a ()212maxpf pfb= 222222222222334cacbccaccca 211124222ee （2）當(dāng)12e =時，可得：2 ,3ac bc= 雙曲線方程為222213xycc=，()()12 ,0 ,0acfc，設(shè)()00,b x y，000,0 xy 當(dāng)abx軸時，002 ,3xc yc=

14、13tan13cbf ac= 14bf a= 因為12baf= 112bafbf a= 所以2=，下面證明2=對任意b點均使得11bafbf a= 成立 考慮1001100tan,tan2abbfyybafkbf akxcxc= = =+ ()()000101222210000222tantan21tan1yyxcbf axcbf abf axcyyxc+=+ 由雙曲線方程222213xycc=，可得：2220033yxc= ()()()()2222222000000003322422xcyxcxcxcxcxccx+=+= +=+ ()()()000110002tan2tan222yxcybf

15、 abafxccxcx+=+ 112bafbf a= 結(jié)論得證 - 9 - / 24 2=時，11bafbf a= 恒成立 例 6：如圖，橢圓()2222:10 xyeabab+=的離心率是22，過點()0,1p的動直線l與橢圓相交于,a b兩點，當(dāng)直線l平行于x軸時，直線l被橢圓e截得的線段長為2 2 （1）求橢圓e的方程 （2）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，是否存在與點p不同的定點q，使得對于任意直線l，qapaqbpb=恒成立？若存在，求出點q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 解：（1）22cea= :2 :1:1a b c= 橢圓方程為222212xybb+= 由直線l被橢圓e截得的線段長為2

16、 2及橢圓的對稱性可得： 點()2,1在橢圓上 22221122bbb+= = 24a= 橢圓方程為22142xy+= （2）當(dāng)l與x軸平行時，由對稱性可得：papb= 1qapaqbpb=即qaqb= q在ab的中垂線上，即q位于y軸上，設(shè)()00,qy 當(dāng)l與x軸垂直時，則()()0, 2 ,0,2ab 21,21papb=+ 002 ,2qayqby=+ 00221212yqapaqbpby=+可解得01y =或02y = - 10 - / 24 ,p q不重合 02y= ()0,2q 下面判斷()0,2q能否對任意直線均成立 若 直 線l的 斜 率 存 在 ， 設(shè):1l ykx=+，(

17、)()1122,a x yb xy 聯(lián)立方程可得：()222224124201xykxkxykx+=+=+ 由qapaqbpb=可想到角平分線公式，即只需證明qp平分bqa 只需證明0qaqbqaqbkkkk= += ()()1122,a x yb xy 121222,qaqbyykkxx= ()()()21122112121212121222222qaqbxyxyx yx yxxyykkxxx xx x+=+= 因為()()1122,a x yb xy在直線1ykx=+上，112211ykxykx=+=+代入可得： ()()()()211212121212121122qaqbxkxx kxx

18、xkx xxxkkx xx x+= 聯(lián)立方程可得：()222224124201xykxkxykx+=+=+ 12122242,1212kxxx xkk+= = + 22224212120212qaqbkkkkkkk+=+ 0qaqbkk+=成立 - 11 - / 24 qp平分bqa 由角平分線公式可得：qapaqbpb= 例 7：橢圓()2222:10 xycabab+=的上頂點為a，4,3 3bp是c上的一點，以ap為直徑的圓經(jīng)過橢圓c的右焦點f （1）求橢圓c的方程 （2）動直線l與橢圓c有且只有一個公共點，問：在x軸上是否存在兩個定點，它們到直線l的距離之積等于 1？若存在，求出這兩個

19、定點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由 解：由橢圓可知：()()0,0abf c ap為直徑的圓經(jīng)過f fafp 0fa fp= ()4,33bfac bfpc= = 22244003333bbcccc+=+= 由4,3 3bp在橢圓上，代入橢圓方程可得： 222211611299baab+= = 22222401332bccbcbca+=+= 橢圓方程為2212xy+= （2）假設(shè)存在x軸上兩定點()()1122,0 ,0mm，()12 設(shè)直線: l ykxm=+ 121222,11mlmlkmkmddkk+=+ 所以依題意： ()12221212122221111mlmlkmkmkkmmddk

20、kk+=+ - 12 - / 24 因為直線l與橢圓相切，聯(lián)立方程： ()2222221422022ykxmkxkmxmxy=+=+= 由直線l與橢圓相切可知()()()22244 21 220kmkm =+= 化簡可得：2221mk=+，代入可得： ()()221212222121222112111kkmkkkmkkk+= + =+ ()()2121210kkm+=，依題意可得：無論, k m為何值，等式均成立 121122121101= = += 所以存在兩定點：()()121,0 ,1,0mm 例 8：已知橢圓221:41cxy+=的左右焦點分別為12,f f，點p是1c上任意一點，o是

21、坐標(biāo)原點，12oqpfpf=+，設(shè)點q的軌跡為2c （1）求點q的軌跡2c的方程 （2）若點t滿足：2otmnomon=+，其中,m n是2c上的點，且直線,om on的斜率之積等于14，是否存在兩定點，使得tatb+為定值？若存在，求出定點,a b的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 （1）設(shè)點q的坐標(biāo)為(), x y，點p的坐標(biāo)為()00,xy，則220041xy+= 由橢圓方程可得：1233,0 ,022ff 12oqpfpf=+ 且10020033,22pfxypfxy= = ()002, 2qxy 00002222xxxxyyyy= = = = 代入到220041xy+=可得： - 13 -

22、 / 24 2214xy+= （2）設(shè)點(),t x y，()()1122,m x yn xy 2otmnomon=+ ()()()()12121122,2,x yxxyyx yxy=+ 212122xxxyyy=+=+ 設(shè)直線,om on的斜率分別為,omonkk，由已知可得：212 114omony ykkx x= 121240 x xy y+= 考慮()()22222121424 2xyxxyy+=+()()222211221212444416xyxyx xy y=+ ,m n是2c上的點 221122224444xyxy+=+= 22444420 xy+=+= 即t的軌跡方程為2212

23、05xy+=，由定義可知，t到橢圓221205xy+=焦點的距離和為定值 ,a b為橢圓的焦點 ()()15,0 ,15,0ab 所以存在定點,a b 例 9：橢圓()2222:10 xyeabab+=的焦點到直線30 xy=的距離為105，離心率為2 55，拋物線()2:20g ypx p=的焦點與橢圓e的焦點重合，斜率為k的直線l過g的焦點與e交于,a b，與g交于,c d （1）求橢圓e及拋物線g的方程 （2）是否存在常數(shù)，使得1abcd+為常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由 - 14 - / 24 解：（1）設(shè),e g的公共焦點為(),0f c 102510f lcdc= 2

24、 555ceaa = 2221bac= 22:15xey+= 28yx= （2）設(shè)直線():2l yk x=，()()()()11223344,a x yb xyc x yd xy 與橢圓聯(lián)立方程：()()22222225120205055yk xkxk xkxy=+=+= 2212122220205,1515kkxxx xkk+=+ ()()222121222 511415kabkxxx xk+=+=+ 直線與拋物線聯(lián)立方程：()()22222248408yk xk xkxkyx=+= 234248kxxk+= cd是焦點弦 ()2342814kcdxxk+=+= ()()()()()222

25、22222242051154205812 518 518 51kkkkkabcdkkkk+=+=+ 若1abcd+為常數(shù)，則2054+= 16 55= 例 10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓()2222:10 xycabab+=的離心率為63，直線l與x軸交于點e，與橢圓c交于,a b兩點，當(dāng)直線l垂直于x軸且點e為橢圓- 15 - / 24 c的右焦點時，弦ab的長為2 63 （1）求橢圓c的方程 （2）是否存在點e，使得2211eaeb+為定值？若存在，請求出點e的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請說明理由 解：（1）依題意可得：63cea= :3:1:2a b c= 當(dāng)l與x軸垂直

26、且e為右焦點時，ab為通徑 222 63baba= 6,2ab= 22162xy+= （2）思路：本題若直接用用字母表示,a e b坐標(biāo)并表示,ea eb，則所求式子較為復(fù)雜，不易于計算定值與e的坐標(biāo)。因為e要滿足所有直線，所以考慮先利用特殊情況求出e點及定值，再取判定（或證明）該點在其它直線中能否使得2211eaeb+為定值。 解：（2）假設(shè)存在點e，設(shè)()0,0e x 若直線ab與x軸重合，則()()6,0 ,6,0ab 006 ,6eaxebx=+= ()()()202222220001111212666xeaebxxx+=+=+ 若直線ab與x軸垂直，則,a b關(guān)于x軸對稱 設(shè)()()

27、00,a xyb xy，其中0y ，代入橢圓方程可得： 2220012623xyxy+= = 2023xeaeb= - 16 - / 24 2222001126623xxeaeb+= ()()()()2222200002220021262666666xxxxxx+=+=，可解得： 03x = 222011626xeaeb+= 若存在點e，則()3,0e 。若()3,0e，設(shè)()()1122,a x yb xy 設(shè):3ab xmy=+，與橢圓c聯(lián)立方程可得：22363xyxmy+=+，消去y可得： ()()222233632 330myymymy+=+= 1212222 33,33myyy ym

28、m+= = + ()()2222222211111111113m yymyeaxy=+，同理：()222211,1myeb=+ ()()()()()222121212222222222222121212211111111yyy yyymymymy ymy yeaeb+=+=+ 代入1212222 33,33myyy ymm+= = +可得： ()()()()()()2222222222222222212632 332333111818291913133mmmmmmmmmeaebmmm+ +=+ 所以2211eaeb+為定值，定值為2 若()3,0e ，同理可得2211eaeb+為定值2 綜上所

29、述：存在點()3,0e ，使得2211eaeb+為定值2 - 17 - / 24 三、歷年好題精選 1、已知中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓()2222:10 xyeabab+=過點33,2p，離心率為12，過直線:4l x =上一點m引橢圓e的兩條切線，切點分別是,a b （1）求橢圓e的方程 （ 2 ） 若 在 橢 圓()222210 xyabab+=上 的 任 一 點()00,n xy處 的 切 線 方 程 是00221x xy yab+=，求證：直線ab恒過定點c，并求出定點c的坐標(biāo) （3）是否存在實數(shù)，使得acbcacbc+=恒成立？（點c為直線ab恒過的定點），若存在，求出的值；若

30、不存在，請說明理由 2、已知橢圓()2222:10 xycabab+=的一個焦點與拋物線24yx=的焦點重合，31,2d是橢圓c上的一點 （1）求橢圓c的方程 （2）設(shè),a b分別是橢圓c的左右頂點，,p q是橢圓c上異于,a b的兩個動點，直線,ap aq的斜率之積為14，設(shè)apq與bpq的面積分別為12,s s，請問：是否存在常數(shù)()r ，使得12ss=恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由 3、已知橢圓()222210 xyabab+=經(jīng)過點()0, 3，離心率為12，左，右焦點分別為()1,0fc和()2,0f c （1）求橢圓c的方程 （2）設(shè)橢圓c與x軸負(fù)半軸交點為a，過點

31、()4,0m 作斜率為()0k k 的直線l，交橢圓c于,b d兩點（b在,m d之間），n為bd中點，并設(shè)直線on的斜率為1k 證明：1k k為定值 - 18 - / 24 是否存在實數(shù)k，使得1fnad？如果存在，求直線l的方程；如果不存在，請說明理由 4、已知圓()22:536mxy+=，定點()5,0n，點p為圓m上的動點，點q在np上，點g在mp上，且滿足2,0npnq gq np= （1）求點g的軌跡c的方程 （2）過點()2,0作直線l，與曲線c交于,a b兩點，o是坐標(biāo)原點，設(shè)osoaob=+，是否存在這樣的直線l，使得四邊形oasb的對角線相等（即osab=）？若存在，求出直

32、線l的方程；若不存在，試說明理由 5、（2014，福建）已知雙曲線()2222:10,0 xyeabab=的兩條漸近線分別為1:2lyx=，2:2lyx= （1）求雙曲線e的離心率 （2）如圖，o為坐標(biāo)原點，動直線l分別交直線12,l l于,a b兩點（,a b分別在第一、四象限），且oab的面積恒為 8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線e？若存在，求出雙曲線e的方程；若不存在請說明理由 習(xí)題答案：習(xí)題答案： - 19 - / 24 1、解析：（1）1:2:3:12cea b ca= 橢圓過點33,2p 223314ab+=，再由:2:3:1a b c =可解得：2,3ab

33、= 橢圓方程為：22143xy+= （2）設(shè)切點坐標(biāo)為()()1122,a x yb xy，直線上一點()4,mt，依題意可得： 兩條切線方程為： 1122143143x xy yx xy y+=+= ，由切線均過m可得：11221313y txy tx+=+= ()()1122,a x yb xy均在直線13txy+=上 因為兩點唯一確定一條直線 :13tab xy+=，即過定點()1,0，即點c的坐標(biāo)為()1,0 （3）11acbcacbcacbcacbcacbc+=+ 聯(lián)立方程：()2222112627033412tyxtytyxy+=+=+= 121222627,1212tyyy yt

34、t+= +，不妨設(shè)120,0yy ()()222222111222991,133ttacxyybcxyy+=+=+= ()221212221212121131133999yyyyacbcyyy yy yttt+= + 222222261081212311449 144427939912ttttttt+= =+ - 20 - / 24 43=，使得acbcacbc+=恒成立 2、解析：（1）拋物線24yx=的焦點為()1,0 1c= 依題意可知：22222221914,341abababc+= 橢圓方程為：22143xy+= （2）由（1）可得：()()2,0 ,2,0ab，若直線pq斜率存在

35、設(shè):pq ykxm=+，()()1122,p x yq xy a到直線pq的距離1221kmdk+=+ b到直線pq的距離2221kmdk+=+ 111222122122pq dkmsdsdkmpq d+=+ 聯(lián)立方程：()2222234841203412ykxmkxkmxmxy=+=+= 21212228412,4343kmmxxx xkk+= =+ ()()1212121214220224apaqyykky yxxxx= +=+ （*） ()()()222212121212231243mky ykxmkxmk x xkm xxmk=+=+=+ ()()()22121212216164222

36、443kkmmxxx xxxk+=+=+ ，代入到（*）可得： 2222216163202043mkmkmkmkk=+ 2mk=或mk= 當(dāng)2mk=時，():22pq ykxkk x=+=+，交點與a重合，不符題意 - 21 - / 24 mk= ，代入到12ss可得： 1122333kssssk=，即3= 3、解：（1）依題意可知：12cea=可得：:2:3:1a b c = 橢圓方程為：2222143xycc+=，代入()0, 3可得：1c = 橢圓方程為：22143xy+= （2） 證明：設(shè)()()1122,b x yd xy，線段bd的中點()00,n xy 設(shè)直線l的方程為：()4yk x=+，聯(lián)立方程： ()2243412yk xxy=+= 化為：()2222343264120kxk xk+= 由0 解得：214k 且22121222326412,4343kkxxx xkk+=+ 2120216243xxkxk+= + ()00212443kyk xk=+=+ 01034ykxk= 13344k kkk= = 假設(shè)存在實數(shù)