湍流的數(shù)值模擬方法進展

1、高等計算流體力學(xué)課程作業(yè)湍流的數(shù)值模擬方法進展 1概述自然環(huán)境和工程裝置中的流動常常是湍流，模擬任何實際過程首先遇到的就是湍流問題，而湍流問題本身又是流體力學(xué)理論上的難題。對于某些簡單的均勻時均流場，如果湍流脈動是各向均勻及各向同性的，可以用經(jīng)典的統(tǒng)計理論來分析，但實際上的湍流往往是不均勻的，給理論分析帶來了極大困難。湍流是空間上不規(guī)則和時間上無秩序的一種非線性的流體運動，表現(xiàn)出非常復(fù)雜的流動狀態(tài)，主要表現(xiàn)在湍流流動的隨機性、有旋性、統(tǒng)計性。傳統(tǒng)計算流體力學(xué)中描述湍流的基礎(chǔ)是Navier-Stokes（N-S）方程，根據(jù)N-S方程中對湍流處理尺度的不同，湍流數(shù)值模擬方法主要分為：直接數(shù)值模擬（

2、DNS）、雷諾平均方法（RANS）和大渦模擬（LES）。直接數(shù)值模擬可以獲得湍流場的精確信息，是研究湍流機理的有效手段，但現(xiàn)有的計算資源往往難以滿足對高雷諾數(shù)流動模擬的需要，從而限制了它的應(yīng)用范圍。雷諾平均方法可以計算高雷諾數(shù)的復(fù)雜流動，但給出的是平均運動結(jié)果，不能反映流場脈動的細節(jié)信息。大渦模擬基于湍動能傳輸機制，直接計算大尺度渦的運動，小尺度渦運動對大尺度渦的影響則通過建立模型體現(xiàn)出來，既可以得到比雷諾平均方法更多的諸如大尺度渦結(jié)構(gòu)和性質(zhì)等的動態(tài)信息，又比直接數(shù)值模擬節(jié)省計算量，從而得到了越來越廣泛的發(fā)展和應(yīng)用。2 雷諾平均方法(RANS) 雷諾平均模擬（RANS）即應(yīng)用湍流統(tǒng)計理論， 將

3、非定常的N - S方程對時間作平均，求解工程中需要的時均量。利用湍流模式理論，對Reynolds應(yīng)力做出各種假設(shè)，即假設(shè)各種經(jīng)驗的和半經(jīng)驗的本構(gòu)關(guān)系，從而使湍流的平均Reynolds方程封閉。2.1 控制方程對非定常的N - S 方程作時間演算， 并采用Boussinesp 假設(shè)，得到Reynolds 方程式中，附加應(yīng)力可記為，稱為雷諾應(yīng)力。這種方法只計算大尺度平均流動，而所有湍流脈動對平均流動的影響，體現(xiàn)到雷諾應(yīng)力中。由于雷諾應(yīng)力在控制方程中的出現(xiàn)，造成了方程不封閉，為使方程組封閉，必須建立湍流模型。2.2 湍流模型目前工程計算中常用的湍流模型從對模式處理的出發(fā)點不同，可以將湍流模式理論分類

4、成兩大類：一類引入二階脈動項的控制方程而形成二階矩封閉模型，或稱為雷諾應(yīng)力模型，另一類是基于Boussinesq 的渦粘性假設(shè)的渦粘性封閉模式，如零方程模型，一方程模型和二方程模型。2.2.1雷諾應(yīng)力模型雷諾應(yīng)力模型(RSM)從Reynolds應(yīng)力滿足的方程出發(fā)，直接建立以為因變量的偏微分方程， 將方程右端未知的項（生成項，擴散項，耗散項等）用平均流動的物理量和湍流的特征尺度表示出來，并通過?；忾]。封閉目標(biāo)是雷諾應(yīng)力輸運方程: （7）式中 是雷諾應(yīng)力再分配項， 是雷諾應(yīng)力擴散項， 是雷諾應(yīng)力耗散項。典型的平均流動的變量是平均速度和平均溫度的空間導(dǎo)數(shù)。這種模式理論，由于保留了Reynolds應(yīng)

5、力所滿足的方程，如果模擬的好，可以較好地反映Reynolds應(yīng)力隨空間和時間的變化規(guī)律，因而可以較好地反映湍流運動規(guī)律。因此，二階矩模式是一種較高級的模式，但是，由于保留了Reynolds應(yīng)力的方程，加上平均運動的方程整個方程組總計15個方程，應(yīng)用這樣一個龐大的方程組來解決實際工程問題，計算量很大，極大地限制了二階矩模式的應(yīng)用。2.2.2渦粘性模型渦粘性模型在工程湍流問題中得到廣泛應(yīng)用。這是由Boussinesq仿照分子粘性的思路提出的，即設(shè)Reynolds應(yīng)力為， 這里是湍動能，稱為渦粘性系數(shù)，這是最早提出的基準(zhǔn)渦粘性模式，即假設(shè)雷諾應(yīng)力與平均速度應(yīng)變率成線性關(guān)系，當(dāng)平均速度應(yīng)變率確定后，六

6、個雷諾應(yīng)力只需要通過確定一個渦粘性系數(shù)就可完全確定，且渦粘性系數(shù)各向同性，可以通過附加的湍流量來?；热缤膭幽躪，耗散率，比耗散率w以及其它湍流量，根據(jù)引入的湍流量的不同，可以得到不同的渦粘性模式，比如常見的，k-w模式，以及后來不斷得到發(fā)展的，q-w，k-l等模式，渦粘性系數(shù)可以分別表示為雷諾平均方法的優(yōu)點為(1) 對計算機的要求較低，同時可以得到符合工程要求的計算結(jié)果。(2)一旦給定合理的Reynolds應(yīng)力模型，可以很容易地從RANS方程解出湍流的統(tǒng)計量，所需要的計算資源小。(3)幾乎能對所有雷諾數(shù)范圍的工程問題求解，并得出一些有用的結(jié)果。其不足之處在于：(1) 對不同類型的湍流，需要

7、采用不同的Reynolds應(yīng)力模型，甚至對于同一類型的問題，對應(yīng)于不同的邊界條件需要修改模型的常數(shù)。(2) 由于不區(qū)分旋渦的大小和方向性，對旋渦的運動學(xué)和動力學(xué)問題考慮不足，不能用來對流體流動的機理進行描述。(3) 對于非定常流動、大分離流動、逆壓力梯度數(shù)值模擬等問題，受湍流模型條件的限制，很難得到滿意的計算結(jié)果。(4)嚴(yán)重依賴流場形狀和邊界條件，普適性差，計算很大程度上依賴于經(jīng)驗。2.3 常用的湍流模型常用的湍流模型有： 零方程模型：C-S模型，由Cebeci-Smith給出；B-L模型，由Baldwin-Lomax給出。 一方程模型：來源由兩種，一種從經(jīng)驗和量綱分析出發(fā)，針對簡單流動逐步發(fā)

8、展起來，如Spalart-Allmaras(S-A)模型；另一種由二方程模型簡化而來，如Baldwin-Barth(B-B)模型。 二方程模型：應(yīng)用比較廣泛的兩方程模型有Jones與Launder提出的標(biāo)準(zhǔn)k-e模型，以及k-omega模型。1、零方程模型 上世紀(jì)30年代發(fā)展的一系列湍流的半經(jīng)驗理論，如Prandtl的混合長度理論、Taylor的渦量輸運理論、von Karman的相似性理論等，本質(zhì)上即是零方程湍流模型。零方程模型直接建立雷諾應(yīng)力與平均速度之間的代數(shù)關(guān)系，由于不涉及代數(shù)關(guān)系故稱為零方程模型： 其中稱為渦粘系數(shù)，與分子的運動粘性系數(shù)有相同的量級。對于一般的三維的情況，上式可寫為：

9、K為單位質(zhì)量的湍流脈動動能。為了發(fā)展上述方法，需要建立與平均速度之間的關(guān)系。1925年，普朗特提出混合長度理論，認為存在這樣的長度，在此長度內(nèi)流體質(zhì)點運動是自由的，稱為混合長度。由于湍流漩渦的作用，到達新位置后他會低于當(dāng)?shù)刂車钠骄俣?，此即流向脈動速度，顯然，此速度差取決于當(dāng)?shù)氐钠骄俣忍荻扰c微團沿向跳動的距離，即：此表示在此距離內(nèi)微團沿向脈動時基本不喪失其原有速度。實際測量表明，雖然一般情況下流向的脈動速度的均方根值大于法向值，但他們有相同的量級，因此有：所以有：由此可算出渦粘性系數(shù)為：由此可見，若假設(shè)不隨速度變化，則可得出湍流切應(yīng)力與平均速度平方成比例，這與實驗結(jié)果是一致的。 混合長度理

10、論已成功用于研究多種湍流剪切流，如流管、邊界層和各種湍流剪切流。目前應(yīng)用最廣泛的零方程模型是Baldwim-Lomax模型，該模型對湍流邊界層的內(nèi)層和外層采用不同的混合長度假設(shè)，在流體分離不嚴(yán)重的流場計算中結(jié)果較好。但是實際上，零方程湍流模型僅適用于局部平衡狀態(tài)的湍流流動。2，、一方程模型 一方程模型一般求解湍流動能或渦粘性系數(shù)的輸運方程，精度較好，魯棒性也比較好，B-B模型和S-A模型是典型的單方程模型。特別是S-A模型，從經(jīng)驗和量綱分析出發(fā)得出了渦粘性系數(shù)的輸運方程，采用大量的實驗結(jié)果標(biāo)定模型系數(shù)，具有良好的魯棒性和計算準(zhǔn)確性，目前已經(jīng)被集成在各種商業(yè)軟件和科學(xué)計算的代碼中，在航空航天領(lǐng)域

11、的空氣動力學(xué)計算中得到了十分廣泛的應(yīng)用。S-A模型常被認為介于B-L代數(shù)模型和兩方程模型之間。由于其容錯功能好，處理復(fù)雜流動的能力強，已得到廣泛應(yīng)用。與B-L模型相比，其湍流渦粘場是連續(xù)的。且容錯性好，計算量少。該湍流的原理是建立在一個附加的渦粘輸運方程的解決上。方程中包含對流項，擴散項和源項，以非守恒形式建立。S-A模型不同于其他一些單方程模型，是直接根據(jù)經(jīng)驗和量綱分析，從簡單流動開始，直接得到最終的控制方程。該模型具有一些很好的特點，相對于兩方程模型計算量小和穩(wěn)定性好，同時又有較高的精度。由于模型方程的因變量函數(shù)在對數(shù)律區(qū)內(nèi)與到壁面的距離成線性關(guān)系，所以可以使用相對與低雷諾數(shù)模型較粗的網(wǎng)格

12、。另外，模型是非當(dāng)?shù)匦偷模匠讨袥]有諸如y+這類當(dāng)?shù)匦偷捻椩趦?nèi)，所以在有多個物理面的復(fù)雜流場中不需要特殊處理，使用方便。3、兩方程模型上世紀(jì)70年代，Launder發(fā)展的k-模型被稱為標(biāo)準(zhǔn)k-模型，它求解湍流動能k及湍流動能耗散率的輸運方程，能夠反映一定的湍流物理量的輸運特性，是兩方程湍流模型的先驅(qū)性工作。之后研究人員又發(fā)展了重整化群k- (RNG k-)模型、可實現(xiàn)性k-模型等，進一步強化了k-系列模型的計算性能。另外一個系列的兩方程模型為模型系列，其中比較有代表性的有標(biāo)準(zhǔn)模型和SST模型。一般來說，k-模型對高Re數(shù)充分發(fā)展的湍流模擬結(jié)果較好，而模型改進了k-模型對受壁面影響湍流模擬的缺陷

13、，對壁面附近的湍流模擬精度較高。（1）k-模型k-模型是分別引入關(guān)于湍動能k和耗散率的方程： 其中： 模型中各通用常數(shù)據(jù)計算經(jīng)驗可取為：標(biāo)準(zhǔn)K-模型的特點：可用于邊界層型流動和分離流；近壁需修正或在計算邊界上用壁函數(shù)（半經(jīng)驗公式）作邊界條件；屬于渦粘模型；方程?；淮_定因素多，可靠性差；模型常數(shù)通用性差；不能模擬強各向異性流（如矩形槽道中的二次流）；不能計入渦量的影響。除此之外還有各種改進的模型，比較著名的是RNG模型和帶旋流修正的模型。（2）k-模型 標(biāo)準(zhǔn)模型是基于Wilcox模型，它是為考慮低雷諾數(shù)、可壓縮性和剪切流傳播而修改的。Wilcox模型預(yù)測了自由剪切流傳播速率，像尾流、混合流動、

14、平板繞流、圓柱繞流和放射狀噴射，因而可以應(yīng)用于墻壁束縛流動和自由剪切流動。標(biāo)準(zhǔn)模型的一個變形是SST模型。SST模型由Menter發(fā)展，以便使得在廣泛的領(lǐng)域中可以獨立于模型，使得在近壁自由流中模型有廣泛的應(yīng)用范圍和精度。為了達到此目的，模型變成了公式。SST模型和標(biāo)準(zhǔn)模型相似，但有以下改進：（1）SST模型是由標(biāo)準(zhǔn)的模型和變形的模型分別乘上一個混合函數(shù)相加得到的，在近壁面混合函數(shù)將為1，此時啟用標(biāo)準(zhǔn)模型，在遠壁面，混合函數(shù)將為0，此時啟用變形的模型。（2）SST模型合并了來源于方程中的交叉擴散。（3）湍流粘度考慮到了湍流剪應(yīng)力的傳播。（4）模型常量不同。這些改進使得SST模型比標(biāo)準(zhǔn)模型在在廣泛

15、的流動中有更高的精度和可信性。 SST模型的方程為：式中：由層流速度梯度而產(chǎn)生的湍流動能；K和的擴散率；K和的擴散率； K和的發(fā)散項；正交發(fā)散項。4、其他模型其他形式的湍流模型渦粘系數(shù)輸運（SA）模型(3方程)，雷諾應(yīng)力模型（2階矩模型）、雷諾應(yīng)力模型方程（7方程模型）。一階矩模型在工程湍流計算中獲得了很大的成功，但它們存在一些本質(zhì)上的缺陷，即這些模型均是基于Boussinesq線性各向同性的假設(shè)，導(dǎo)致雷諾正應(yīng)力在三個方向上的分量相等，這與很多實際的湍流流動矛盾。因此，一階矩模型對強逆壓梯度下的流動、強分離流動、二次流、存在旋轉(zhuǎn)和曲率效應(yīng)的復(fù)雜湍流等預(yù)測精度較差，需要進行相應(yīng)的修正。二階矩模型

16、，即雷諾應(yīng)力輸運模型，通過求解雷諾應(yīng)力各個分量的輸運方程來封閉雷諾應(yīng)力項，可以考慮湍流的各向異性及歷史效應(yīng)，理論上具有一階矩所不能及的模擬復(fù)雜流動的能力。我國周培源教授首次建立了雷諾應(yīng)力的輸運方程組，1951年Rotta在這個基礎(chǔ)上發(fā)展了完整的雷諾應(yīng)力模型。他們的工作是最早的奠基性工作。Launder、Reece和Rodi對二階矩模型進行了標(biāo)定，建立了著名的LRR二階矩封閉模型。后來很多研究者又提出了多種形式的二階矩模型。不同二階矩模型之間的區(qū)別在于擴散性、壓力應(yīng)變率關(guān)聯(lián)項和耗散項的具體?；问?，其中最關(guān)鍵的是壓力。應(yīng)變率關(guān)聯(lián)項的?；?，但到目前為止對這一項的模化還是不成熟。盡管二階矩模型模擬復(fù)

17、雜湍流流動理論上具有較大的優(yōu)勢，但它需要求解6個雷諾應(yīng)力的強非線性方程及附加的湍流動能耗散率的方程，魯棒性較差，計算量較大，而且實際流場中的計算精度并不不盡如意，因此在很大程度上限制了二階矩模型在工程中的應(yīng)用。后來Rodi提出把雷諾應(yīng)力輸運方程簡化為代數(shù)應(yīng)力模型(Algebraic Stress Model，ASM)的思想。假設(shè)雷諾應(yīng)力的輸運正比于湍流動能k的輸運，帶入壓力應(yīng)變率關(guān)聯(lián)項和湍流動能耗散率的模型，從而得到代數(shù)應(yīng)力模型。ASM模型不考慮雷諾應(yīng)力的時間和空間導(dǎo)數(shù)，比較合理地對二階矩模型進行了簡化。介于一般意義上的一階矩和二階矩模型之間，另外重要的一類湍流模型即為非線性渦粘性湍流模型。盡

18、管它的推導(dǎo)過程與代數(shù)應(yīng)力模型不同，但在表達形式上完全相同。Pope指出雖然非線性渦粘性模型和代數(shù)應(yīng)力模型在推導(dǎo)時所基于的出發(fā)點不同，但他們在數(shù)學(xué)上是等價的。非線性渦粘湍流模型的基本思想是改進Bousincsq假設(shè)的線性應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系，采用非線性的多階表達式。早在20世紀(jì)70年代，Lumley和Pope就已經(jīng)給出雷諾應(yīng)力的通用非線性表達形式。非線性模型的二階項可以反映雷諾應(yīng)力的各向異性，三階項可以反映流線彎曲及旋轉(zhuǎn)效應(yīng)等。2.4各種湍流模型的特點各類模型基于粗略的假設(shè)、類比、量綱分析，無可靠物理基礎(chǔ)，因此需引進經(jīng)驗系數(shù)。1、零方程模型不能反映輸運效應(yīng)，計算量最小，一般適用于邊界層型流動，引進各

19、種修正可擴大適用范圍；2、K方程模型特征長度不易確定，應(yīng)用較少；3、方程?；淮_定因素多，可靠性差；4、標(biāo)準(zhǔn)K 模型近壁需修正， 且不能模擬二次流；5、非線性K 模型能反映各向異性，璧面的仍有奇異；6、 渦粘模型不能反應(yīng)各向異性和松弛效應(yīng)；7、二階矩模型適用范圍較廣，計算量較大，模型常數(shù)的通用性仍差；8、SA（3）模型近壁無奇異性，可模擬流場變化較劇烈和曲率較大湍流，但仍具有渦粘模型特點。多數(shù)模型不能完全滿足真實性條件，需要改進。脈動結(jié)構(gòu)信息多的模型，應(yīng)用面較廣，但模擬的對象越多，不確定的因素就越多，計算量越大?，F(xiàn)在還沒有一個模型能滿意預(yù)測所有湍流，所以，選模型時應(yīng)綜合考慮流動類型、計算量與精

20、度等因素。3 大渦模擬（LES）湍流大渦數(shù)值模擬（LES）是有別于直接數(shù)值模擬和雷諾平均模式的一種數(shù)值模擬手段。利用次網(wǎng)格尺度模型模擬小尺度湍流運動對大尺度湍流運動的影響即直接數(shù)值模擬大尺度湍流運動， 將N-S方程在一個小空間域內(nèi)進行平均（或稱之為濾波），以使從流場中去掉小尺度渦，導(dǎo)出大渦所滿足的方程。3.1 基本思想湍流運動是由許多尺度不同的旋渦組成的。那些大旋渦對于平均流動有比較明顯的影響，而那些小旋渦通過非線性作用對大尺度運動產(chǎn)生影響。大量的質(zhì)量、熱量、動量、能量交換是通過大渦實現(xiàn)的，而小渦的作用表現(xiàn)為耗散。流場的形狀，阻礙物的存在，對大旋渦有比較大的影響，使它具有更明顯的各向異性。小旋

21、渦則不然，它們有更多的共性，更接近各向同性，因而較易于建立有普遍意義的模型?；谏鲜鑫锢砘A(chǔ)，LES把包括脈動運動在內(nèi)的湍流瞬時運動量通過濾波分解成大尺度運動和小尺度運動兩部分。大尺度通過數(shù)值求解運動微分方程直接計算出來，小尺度運動對大尺度運動的影響在運動方程中表現(xiàn)為類似于雷諾應(yīng)力一樣的應(yīng)力項，該應(yīng)力稱為亞格子雷諾應(yīng)力，通過建立模型來模擬。即實現(xiàn)大渦數(shù)值模擬，首先要把小尺度脈動過濾掉，然后再導(dǎo)出大尺度運動的控制方程和小尺度運動的封閉方程。3.2 濾波函數(shù)大渦模擬首先要流動變量劃分成大尺度量和小尺度量，這一過程稱之為濾波。濾波運算相當(dāng)于在一定區(qū)間內(nèi)按一定條件對函數(shù)進行加權(quán)平均，其目的是濾掉高波數(shù)

22、而只保留低波數(shù)，截斷波數(shù)的最大波長由濾波函數(shù)的特征尺度決定。目前較為常用的濾波函數(shù)主要有以下三種：Deardorff 的盒式(BOX)濾波函數(shù)、富氏截斷濾波函數(shù)和高斯(Gauss)濾波函數(shù)。不可壓常粘性系數(shù)的湍流運動控制方程為N-S 方程: 式中：S 拉伸率張量，表達式為：；分子粘性系數(shù)；流體密度。設(shè)將變量分解為方程(11)中和次網(wǎng)格變量(模化變量)，即，可以采用Leonard提出的算式表示為:（11）式中稱為過濾函數(shù)，顯然G(x)滿足 3.3 控制方程將過濾函數(shù)作用與N-S方程的各項，得到過濾后的湍流控制方程組： 由于無法同時求解出變量和，所以將分解成，即稱為次網(wǎng)格剪切應(yīng)力張量(亦稱為亞格子

23、應(yīng)力)。由此動量方程又可寫成：式中代表了小渦對大渦的影響。3.4 常用的亞格子模型目前，在大渦模擬中經(jīng)常廣泛采用的亞格子模型有標(biāo)準(zhǔn)的Smagorinsky模型、動態(tài)渦粘性模型、動態(tài)混合模型、尺度相似模型、梯度模型、選擇函數(shù)模型等。其中Smagorinsky模型被廣泛應(yīng)用。3.4.1亞格子渦粘和渦擴散模型不可壓縮湍流的亞格子渦粘和渦擴散模型采用分子粘性和分子熱擴散形式，即 以上公式中和分別稱為亞格子渦粘系數(shù)和亞格子渦擴散系數(shù)；是可接尺度的變形率張量。式(14)第2項是為了滿足不可壓縮的連續(xù)方程，當(dāng)收縮時(=0)等式兩邊可以相等。將亞格子應(yīng)力的渦粘模型公式(14)代入到(13)式中，變形得3.4.

24、2 Smagorinsky模型Smagorinsky模型是由Smagorinsky于1963年提出來的，該模型是第一個亞格子模型。廣泛用于大渦模擬中的渦粘模型認為亞格子應(yīng)力的表達式如下： 式中是可接尺度的變形率張量，是渦粘系數(shù)。1963年Smagorinsky定義了渦粘系數(shù)： )式中是變形率張量的大小，是過濾尺度，CS無量綱參數(shù)，稱為Smagorinsky系數(shù)。3.4.3 動態(tài)亞格子模式1991 年， 提出了動態(tài)亞格子模式，該模式以Smagorinsky 模式為基本模型，但克服了Smagorinsky 模式的部分缺陷。動力模型實際上是動態(tài)確定亞格子渦粘模型的系數(shù)。動力模型需要對湍流場做兩次過濾

25、，一次是細過濾，細過濾后再做一次粗過濾。通過在網(wǎng)格尺度和檢驗濾波器尺度條件下計算得到的應(yīng)力差來確定應(yīng)力模型系數(shù)，使模型系數(shù)成為空間和時間的函數(shù)，從而避免了在模擬過程中對系數(shù)進行調(diào)節(jié)。因此比Smagorinsky 模式所采用的固定系數(shù)值更加合理。3.4.4 相似性模式1980 年Bardina 提出了尺度相似模式。該模式假定從大尺度脈動到小尺度脈動的動量輸運主要由大尺度脈動中的最小尺度脈動來產(chǎn)生，并且過濾后的最小尺度脈度速度和過濾掉的小尺度脈動速度相似。通過二次過濾和相似性假定可以導(dǎo)出亞格子應(yīng)力表達式。采用這種模式能正確預(yù)測墻壁面附近的漸近特性，但預(yù)測各向不均勻的室內(nèi)空氣復(fù)雜流動準(zhǔn)確性較差。3.

26、4.5 混合模式混合模式是將尺度相似模式和Smagorinsky 模式疊加來確定亞格子應(yīng)力。這種模式既有和實際亞格子應(yīng)力良好的相關(guān)性，又有足夠的湍動能耗散。3.5 大渦模擬的特點(1)能夠描述小尺度湍流流動，但是計算量遠小于DNS，在科學(xué)研究和工程應(yīng)用上都顯示出良好的發(fā)展前景。(2)用非均勻網(wǎng)格能夠使網(wǎng)格數(shù)達到最少，節(jié)省計算資源，同時又能夠保證足夠的計算精度。(3)網(wǎng)格尺度比湍流尺度大，可以模擬湍流發(fā)展過程的一些細節(jié)。(4)相較于RANS方法，LES可以模擬更多的湍流大尺度運動，LES所用的湍流亞網(wǎng)格應(yīng)力模型受邊界的幾何形狀和流動類別的影響小，比 RANS方法所用的Reynolds應(yīng)力更具普適

27、性。其不足之處在于：(1)小渦模型網(wǎng)格節(jié)點的劃分極密集，需要龐大的計算機存儲能力;(2) 大量數(shù)據(jù)處理和非線性偏微分方程的求解需要高速數(shù)值處理能力; (3)僅用于比較簡單的剪切流運動及管流。(4) 由于實際湍流極其復(fù)雜， 數(shù)值模擬仍需要非常可觀的計算時間和實驗經(jīng)費。4 直接數(shù)值模擬 (DNS)湍流直接數(shù)值模擬(DNS)就是不用任何湍流模型，直接求解完整的三維非定常的N - S 方程組，計算包括脈動在內(nèi)的湍流所有瞬時運動量在三維流場中的時間演變。4.1 控制方程用非定常的N - S 方程對湍流進行直接計算， 控制方程以張量形式給出:4.2 常用數(shù)值方法由于最小尺度的渦在時間與空間上都變化很快，為

28、能模擬湍流中的小尺度結(jié)構(gòu)，具有非常高精度的數(shù)值方法是必不可少的。4.2.1譜方法或偽譜方法譜方法或偽譜方法是目前直接數(shù)值模擬用得最多的方法，其主要思路為，將所有未知函數(shù)在空間上用特征函數(shù)展開，成為以下形式： （3）其中，與，都是已知的正交完備的特征函數(shù)族。在具有周期性或統(tǒng)計均勻性的空間方向一般都采用Fourier級數(shù)展開，這是精度與效率最高的特征函數(shù)族。在其它情形，較多選用Chebyshev多項式展開，它實質(zhì)上是在非均勻網(wǎng)格上的Fourier展開。此外，也有用Legendre， Jacobi， Hermite或Laguerre等函數(shù)展開，但它們無快速變換算法可用。如將上述展開式代入N-S方程組

29、，就得到一組所滿足的常微分方程組，對時間的微分可用通常的有限差分法求解。在用譜方法計算非線性項例如的Fourier系數(shù)時，常用偽譜法代替直接求卷積。偽譜法實質(zhì)上是譜方法與配置法的結(jié)合，具體做法是先將兩量用Fourier反變換回到物理空間，再在物理空間離散的配置點上計算兩量的乘積，最后又通過離散Fourier變換回到譜空間。在有了快速Fourier變換(FFT)算法以后，偽譜法的計算速度高于直接求兩Fourier級數(shù)的卷積。但出現(xiàn)的新間題是存在“混淆誤差”，即在做兩個量的卷積計算時會將本應(yīng)落在截斷范圍以外的高波數(shù)分量混進來，引起數(shù)值誤差。嚴(yán)重時可使整個計算不正確甚至不穩(wěn)定，但在多數(shù)情形下并不嚴(yán)重

30、，且有一些標(biāo)準(zhǔn)的辦法可用來減少混淆誤差，但這將使計算工作量增加。4.2.2高階有限差分法高階有限差分法的基本思想是利用離散點上函數(shù)值 的線性組合來逼近離散點上的導(dǎo)數(shù)值。設(shè) 為函數(shù)的差分逼近式，則 式中系數(shù) 由差分逼近式的精度確定，將導(dǎo)數(shù)的逼近式代入控制流動的N - S 方程，就得到流動數(shù)值模擬的差分方程。差分離散方程必須滿足相容性和穩(wěn)定性。4.3 直接數(shù)值模擬的特點(1)直接數(shù)值求解N-S方程組，不需要任何湍流模型，因此不包含任何人為假設(shè)或經(jīng)驗常數(shù)。(2)由于直接對N - S方程模擬，故不存在封閉性問題，原則上可以求解所有湍流問題。(3)能提供每一瞬時三維流場內(nèi)任何物理量（如速度和壓力）的時間

31、和空間演變過程，其中包括許多迄今還無法用實驗測量的量。(4)采用數(shù)量巨大的計算網(wǎng)格和高精度流體力學(xué)計算方法，完全模擬湍流流場中從最大尺度到最小尺度的流動結(jié)構(gòu)，描寫湍流中各種尺度的渦結(jié)構(gòu)的時間演變，輔以計算機圖形顯示，可獲得湍流結(jié)構(gòu)的清晰與生動的流動顯示。DNS的主要不足之處在于：要求用非常大的計算機內(nèi)存容量與機時耗費。據(jù)Kim ，Moin &Moser 研究，即使模擬Re僅為3300 的槽流，所用的網(wǎng)點數(shù)N 就約達到了 ，在向量計算機上進行了250 h。5 不同方法的計算效率比較LES， DNS，RANS三種方法中DNS的計算量最大，LES的計算量介于另外兩者之間，而RANS的計算量最小。影響計算量的因素有三個：網(wǎng)格數(shù)量、流場的時間積分長度（與計算時間長度有關(guān)）和最小旋渦的時間積分長度（與時間步長有關(guān)），其中網(wǎng)格數(shù)量是重要因素。直接數(shù)值模擬為了得到湍流問題足夠精確的解，要求能夠數(shù)值求解所有旋渦的運動，因此要求網(wǎng)格的尺度和最小旋渦的尺度相當(dāng)，即使采用子域技術(shù)，其網(wǎng)格規(guī)模也是巨大的。為了求解各個尺度旋渦的運動，要求每個方向上網(wǎng)格節(jié)點的數(shù)量與成比例，考慮一個三維問題，網(wǎng)格節(jié)點的數(shù)量與成比例。一般的估計如下:湍流中包含許多尺度不