高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)(七十一)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 (3)

1、1 / 6 課時(shí)作業(yè)(七十一) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)組 一、單項(xiàng)選擇題 1已知離散型隨機(jī)變量 x 的分布列為 x 1 2 3 p 35 310 110 則 x 的數(shù)學(xué)期望 e(x)( ) a32 b2 c52 d3 解析 由數(shù)學(xué)期望公式可得 e(x)1352310311032。故選 a。 答案 a 2某導(dǎo)彈發(fā)射一次的事故率為 0.001，若獨(dú)立發(fā)射 10 次，記出事故的次數(shù)為 ，則 d()( ) a0.099 9 b0.001 c0.01 d0.009 99 解析 由于每次發(fā)射導(dǎo)彈是相互獨(dú)立的，且重復(fù)了 10 次，所以可以認(rèn)為是 10 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故 b(10,0.001)

2、，d()np(1p)100.0010.9990.009 99。故選 d。 答案 d 3隨機(jī)變量 x 的分布列如下表，且 e(x)2，則 d(2x3)( ) x 0 2 a p 16 p 13 a2 b3 c4 d5 解析 因?yàn)?p1161312，所以 e(x)016212a132，解得 a3，所以 d(x)(02)216(22)212(32)2131，所以 d(2x3)22d(x)4。故選 c。 答案 c 4同時(shí)拋擲 2 枚質(zhì)地均勻的硬幣 4 次，設(shè) 2 枚硬幣均正面向上的次數(shù)為 x，則 x的數(shù)學(xué)期望是( ) a1 b32 c2 d52 解析 因?yàn)橐淮瓮瑫r(shí)拋擲 2 枚質(zhì)地均勻的硬幣，恰好出現(xiàn)

3、2 枚正面向上的概率為121214，所以 xb4，14，所以 e(x)4141。故選 a。 答案 a 5(2021 宿州模擬)設(shè) 0p1，隨機(jī)變量 x，y 的分布列為 x 1 2 3 p p2 1p pp2 y 1 2 3 p p3 1p2 p2p3 當(dāng) x 的數(shù)學(xué)期望取得最大值時(shí)，y 的數(shù)學(xué)期望為( ) a2 b3316 c5527 d6532 解析 因?yàn)?e(x)p22(1p)3(pp2)2p2p22p142178，所以當(dāng) p14時(shí)，e(x)取得最大值。此時(shí) e(y)2p3p226532。故選 d。 答案 d 2 / 6 6一次試驗(yàn)田中某種作物一株生長(zhǎng)果實(shí)的個(gè)數(shù) x 服從正態(tài)分布 n(90

4、，2)，且 p(x70)0.2，從試驗(yàn)田中隨機(jī)抽取 10 株，果實(shí)個(gè)數(shù)在90,110內(nèi)的株數(shù)記作 x，且 x 服從二項(xiàng)分布，則 x 的方差為( ) a3 b2.1 c0.3 d0.21 解析 因?yàn)?xn(90，2)，且 p(x110)0.2，所以 p(90 x110)0.50.20.3，所以 xb(10,0.3)，x 的方差為 100.3(10.3)2.1。故選 b。 答案 b 二、多項(xiàng)選擇題 7(2021 山東肥城模擬)已知離散型隨機(jī)變量 x 的分布列為 x 0 1 2 3 4 p q 0.4 0.1 0.2 0.2 若離散型隨機(jī)變量 y 滿足 y2x1，則下列結(jié)果正確的是( ) aq0.1

5、 be(x)2，d(x)1.4 ce(x)2，d(x)1.8 de(y)5，d(y)7.2 解析 由離散型隨機(jī)變量 x 的分布列的性質(zhì)得 q10.40.10.20.20.1，e(x)00.110.420.130.240.22。d(x)(02)20.1(12)20.4(22)20.1(32)20.2(42)20.21.8。因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量 y 滿足 y2x1，所以 e(y)2e(x)15，d(y)4d(x)7.2。故選 acd。 答案 acd 8下列說(shuō)法正確的是( ) a設(shè)隨機(jī)變量 xb6，12，則 p(x3)516 b已知隨機(jī)變量 xn(2，2)且 p(x4)0.9，則 p(0x2)0.4

6、c小趙、小錢、小孫、小李到四個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件 a“4 個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件 b“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則 p(a|b)29 de(2x3)2e(x)3，d(2x3)2d(x)3 解析 設(shè)隨機(jī)變量 xb6，12，則 p(x3)c361231123516，故 a 正確；因?yàn)?xn(2，2)，所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是直線 x2，因?yàn)?p(x4)p(x0)0.1，所以p(0x4 000，所以該農(nóng)戶的人均純收入超過(guò)了國(guó)家脫貧標(biāo)準(zhǔn)。 所以預(yù)測(cè)該農(nóng)戶在 2020 年底可以脫貧。 素養(yǎng)提升組 14(多選)(2020 全國(guó)新高考卷)信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念。設(shè)隨機(jī)變量 x 所有可

7、能的取值為 1,2，n，且 p(xi)pi0(i1,2，n)，i1npi1，定義 x 的信息熵 h(x)i1npilog2pi。( ) a若 n1，則 h(x)0 b若 n2，則 h(x)隨著 p1的增大而增大 c若 pi1n(i1,2，n)，則 h(x)隨著 n 的增大而增大 d若 n2m，隨機(jī)變量 y 所有可能的取值為 1,2，m，且 p(yj)pjp2m1j(j1,2，m)，則 h(x)h(y) 解析 h(x)i1npilog2pi，當(dāng) n1 時(shí)，p11，h(x)p1log2p10，故 a 正確。當(dāng) n2 時(shí)，0pi1，log2pi0，p1p21，則 h(x)p1log2p1(1p1)

8、log2(1p1)。 解法一：令 f(p)plog2p(1p)log2(1p)，由 f(p)f(1p)知 f(p)的圖象關(guān)于直線 p12對(duì)稱，則在(0,1)上總能找到兩個(gè)不同的值，使得對(duì)應(yīng)的 h(x)相等，故 b 錯(cuò)誤。 解 法 二 ： 設(shè)f(p) plog2p (1 p)log2(1 p) ， 則f(p) log2pp1p ln 2log2(1p)(1p)1(1p)ln 2log21pp，當(dāng) 0p0；當(dāng) p12時(shí)，f(p)0，pj0，則 h(x)(p1log2p1p2log2p2p2mlog2p2m)，h(y)(p1p2m) log2(p1p2m)(p2p2m1)log2(p2p2m1)(p

9、mpm1)log2(pmpm1)p1log2(p1p2m)p2log2(p2p2m1)p2mlog2(p2m p1) ， 則 h(x) h(y) p1log2p1p2mp1 p2log2p2p2m1p2 p2mlog2p2mp1p2m5 / 6 p1log21p2mp1p2log21p2m1p2p2mlog21p1p2m0，所以 h(x)h(y)，故 d 錯(cuò)誤。故選 ac。 答案 ac 15(2021 河南南陽(yáng)一中等四校聯(lián)考)湖南省會(huì)城市長(zhǎng)沙又稱星城，是楚文明和湘楚文化發(fā)源地，是國(guó)家首批歷史文化名城。城內(nèi)既有岳麓山、橘子洲等人文景觀，又有岳麓書院、馬王堆漢墓等名勝古跡，每年都有大量游客來(lái)長(zhǎng)沙參

10、觀旅游。為合理配置旅游資源，管理部門對(duì)首次來(lái)岳麓山景區(qū)游覽的游客進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中13的人計(jì)劃只游覽岳麓山，另外23的人計(jì)劃既游覽岳麓山又參觀馬王堆。每位游客若只游覽岳麓山，則記 1 分；若既游覽岳麓山又參觀馬王堆，則記 2分。假設(shè)每位首次來(lái)岳麓山景區(qū)游覽的游客計(jì)劃是否參觀馬王堆相互獨(dú)立，視頻率為概率。 (1)從游客中隨機(jī)抽取 3 人，記這 3 人的合計(jì)得分為 x，求 x 的分布列和數(shù)學(xué)期望。 (2)從游客中隨機(jī)抽取 n 人(nn*)，記這 n 人的合計(jì)得分恰為(n1)分的概率為 pn，求 p1p2pn。 (3)從游客中隨機(jī)抽取若干人，記這些人的合計(jì)得分恰為 n 分的概率為 an，隨

11、著抽取人數(shù)的無(wú)限增加，an是否趨近于某個(gè)常數(shù)？若是，求出這個(gè)常數(shù)；若不是，說(shuō)明理由。 解 (1)依題意，每位游客計(jì)劃不參觀馬王堆的概率為13，記 1 分；計(jì)劃參觀馬王堆的概率為23，記 2 分，則 x 的可能取值為 3,4,5,6。 p(x3)133127， p(x4)c132313229， p(x5)c232321349， p(x6)233827。 所以 x 的分布列為 x 3 4 5 6 p 127 29 49 827 e(x)312742954968275。 (2)因?yàn)檫@ n 人的合計(jì)得分為(n1)分，所以其中有且只有 1 人計(jì)劃參觀馬王堆， 所以 pnc1n2313n12n3n。 記 snp1p2p3pn234326332n3n， 則13sn2324332(n1)3n2n3n1。 兩式相減，得23sn2323223323n2n3n1213113n1132n3n112n33n1， 所以 p1p2pnsn3212n33n1。 (3)在隨機(jī)抽取若干人的合計(jì)得分為(n1)分的基礎(chǔ)上再抽取 1 人，則這些人的合計(jì)得分可能為n 分或(n1)分，記“合計(jì)得 n 分”為事件 a，“合計(jì)得(n1)分”為事件 b，則 a 與 b 互為對(duì)立事件。 因?yàn)?p(a)