高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)(五十三)　圓錐曲線中的證明、定值及定點(diǎn)問題

1、1 / 7 課時(shí)作業(yè)(五十三) 圓錐曲線中的證明、定值及定點(diǎn)問題 1(2020 武昌區(qū)高三調(diào)研)已知直線 l 與拋物線 y26x 交于不同的兩點(diǎn) a，b，直線oa，ob(o 為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為 k1，k2，且 k1k2 3 ，則直線 l 恒過定點(diǎn)( ) a(6 3 ，0) b(3 3 ，0) c(2 3 ，0) d( 3 ，0) c 依題意知直線 l 的斜率不為 0，設(shè)直線 l 的方程為 xmya，與拋物線方程 y26x 聯(lián)立，消去 x，得 y26my6a0，設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 y1y26a，y1y26m.所以 k1k2y1x1 y2x2 y1y2y21 6y22

2、 6 36y1y2 366a 3 ，解得 a2 3 ，所以直線 l 的方程為 xmy2 3 ，則直線 l 恒過定點(diǎn)(2 3 ，0)，故選 c. 2(多選)如圖，已知橢圓 c1：x24 y21，過拋物線 c2：x24y 焦點(diǎn) f 的直線交拋物線于 m，n 兩點(diǎn)，連接 no，mo 并延長(zhǎng)分別交 c1于 a，b 兩點(diǎn)，連接 ab，omn 與oab的面積分別記為 somn，soab.則在下列命題中，正確的是( ) a若記直線 no，mo的斜率分別為 k1，k2，則 k1k2的大小是定值為14 boab的面積 soab是定值 1 c線段 oa，ob 長(zhǎng)度的平方和|oa|2|ob|2是定值 5 d設(shè) so

3、mnsoab ，則 2 abcd f(0，1)，設(shè)直線 mn 的方程為 ykx1，m(x1，y1)，n(x2，y2). 聯(lián)立方程組ykx1x24y ，消元得：x24kx40， x1x24k，x1x24， y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)11， k1k2y2x2 y1x1 y1y2x1x2 14 ，故 a正確； 設(shè)直線 oa 的方程為 ymx(m0)，則直線 ob 的方程為 y14m x， 2 / 7 聯(lián)立方程組ymxx24y21 ，解得 x2414m2 ， 不妨設(shè) a 在第三象限，則 a214m2，2m14m2 ， 用14m 替換 m可得 b2114m2，12m114

4、m2 ， a 到 ob 的距離 d214m28m214m2116m2 28m214m2116m2 ， 又|ob| 4114m214m2114m2 16m214m21 ， soab12 |ob|d 12 16m214m21 28m214m2116m2 1，故 b 正確； 又|oa|2414m2 4m214m2 44m214m2 ， |ob|216m214m21 ， |oa|2|ob|2520m214m2 5，故 c 正確； 聯(lián)立方程組ymxx24y ，可得 x(x4m)0，故 n(4m，4m2)， |on|4mm21 ，14m 替換 m可得 m1m，14m2 ， m 到直線 oa 的距離 h11

5、4m2m21 114m21m2 ， somn12 |on|h2m114m2 2m12m 2， 當(dāng)且僅當(dāng) 2m12m 即 m12 時(shí)取等號(hào) somnsoab somn2，故 d正確 3 / 7 3經(jīng)過橢圓x22 y21 的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為 45的直線 l，交橢圓于 a，b 兩點(diǎn)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則oa ob _ 解析： 依題意，當(dāng)直線 l 經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)(1，0)時(shí)，其方程為 y0tan 45(x1)，即 yx1，代入橢圓方程x22 y21 并整理得 3x24x0，解得 x0 或 x43 ，所以兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，1)，43，13 . 所以oa ob 13 ， 同理，直線 l經(jīng)過橢圓的左焦

6、點(diǎn)時(shí)， 也可得oa ob 13 . 答案： 13 4如圖，雙曲線的中心為原點(diǎn) o，a，c 分別是雙曲線虛軸的上、下端點(diǎn)，b 是雙曲線的左頂點(diǎn)，f 為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線 ab 與 fc 相交于點(diǎn) d.若雙曲線的離心率為 2，則bdf的余弦值是_ 解析： 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2 y2b2 1(a0，b0)，由 eca 2 知，c2a，又 c2a2b2，則 b 3 a，所以 a(0， 3 a)，c(0， 3 a)，b(a，0)，f(2a，0)，則ba (a，3 a)，cf (2a，3 a)，結(jié)合圖象可知，cos bdfcos ba ，cf bacf|ba|cf| 2a23a22a 7a 71

7、4 . 答案： 714 5(2020 西安模擬)設(shè) f1，f2為橢圓 c：x24 y2b2 1(b0)的左、右焦點(diǎn)，m 為橢圓上一點(diǎn)，滿足 mf1mf2，已知mf1f2的面積為 1. (1)求橢圓 c 的方程； (2)設(shè) c 的上頂點(diǎn)為 h，過點(diǎn)(2，1)的直線與橢圓交于 r，s 兩點(diǎn)(異于 h)，求證：直線 hr 和 hs 的斜率之和為定值，并求出這個(gè)定值 4 / 7 解析： (1)由橢圓定義得|mf1|mf2|4， 由 mf1mf2得 |mf1|2|mf2|2|f1f2|24(4b2)， 由題意得 smf1f212 |mf1|mf2|1， 由，可得 b21， 所以橢圓 c 的方程為x24

8、y21. (2)由題意得，h(0，1)，顯然直線 rs的斜率存在且不為 0， 設(shè)直線 rs 的方程為 ykxm(k0)， 代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得(4k21)x28kmx4m240， 由題意知，16(4k2m21)0， 設(shè) r(x1，y1)，s(x2，y2)，x1x20， 故 x1x28km4k21 ，x1x24m244k21 . khrkhsy11x1 y21x2 kx1m1x1 kx2m1x2 2k(m1)x1x2x1x2 2k(m1)8km4m24 2k2kmm1 2km1 . 直線 rs 過點(diǎn)(2，1)，2km1. khrkhs1. 故 khrkhs為定值1. 6(2019 北京卷)已知拋

9、物線 c：x22py 經(jīng)過點(diǎn)(2，1). (1)求拋物線 c 的方程及其準(zhǔn)線方程； (2)設(shè) o 為原點(diǎn)，過拋物線 c 的焦點(diǎn)作斜率不為 0 的直線 l 交拋物線 c 于兩點(diǎn) m，n，直線 y1分別交直線 om，on 于點(diǎn) a 和點(diǎn) b.求證：以 ab為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的兩個(gè)定點(diǎn) 解析： (1)由拋物線 c：x22py經(jīng)過點(diǎn)(2，1)，得 p2. 所以拋物線 c 的方程為 x24y，其準(zhǔn)線方程為 y1. (2)證明：拋物線 c 的焦點(diǎn)為 f(0，1). 設(shè)直線 l 的方程為 ykx1(k0). 由ykx1，x24y 得 x24kx40. 設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，則 x1x2

10、4. 5 / 7 直線 om 的方程為 yy1x1 x. 令 y1，得點(diǎn) a 的橫坐標(biāo) xax1y1 . 同理得點(diǎn) b 的橫坐標(biāo) xbx2y2 . 設(shè)點(diǎn) d(0，n)，則da x1y1，1n ， db x2y2，1n ， da db x1x2y1y2 (n1)2 x1x2x21 4x22 4 (n1)2 16x1x2 (n1)2 4(n1)2. 令da db 0，即4(n1)20，得 n1 或 n3. 綜上，以 ab 為直徑的圓經(jīng)過 y 軸上的定點(diǎn)(0，1)和(0，3). 7(2020 福州市質(zhì)量檢測(cè))已知圓 o：x2y243 ，橢圓 c：x2a2 y2b2 1(ab0)的短軸長(zhǎng)等于圓 o半徑

11、的 6 倍，c 的離心率為22 . (1)求 c 的方程； (2)若直線 l 與 c 交于 a，b 兩點(diǎn)，且與圓 o相切，證明：aob 為直角三角形 解析： (1)因?yàn)閳A o的半徑為2 33 ， 所以 c：x2a2 y2b2 1(ab0)的短軸長(zhǎng)為 6 2 33 2 2 ， 所以 2b2 2 ，解得 b 2 . 因?yàn)?c 的離心率為22 ，所以ca 22 ， 又 a2c2b2，所以 a2c22， 聯(lián)立，解得 a24. 所以 c 的方程為x24 y22 1. (2)證明：當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)， 6 / 7 直線 l 的方程為 x2 33 或 x2 33 ， 當(dāng)直線 l 的方程為 x2 33

12、 時(shí)， 不妨設(shè) a(2 33 ，2 33 )，b(2 33 ，2 33 )， 則oa ob 43 43 0. 當(dāng)直線 l 的方程為 x2 33 時(shí)，不妨設(shè) a(2 33 ，2 33 )，b(2 33 ，2 33 )，則oa ob 43 43 0， 綜上，oaob. 所以aob為直角三角形 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)， 設(shè)其方程為 ykxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 因?yàn)橹本€ l 與圓 o相切，所以2 33 |m|k21 ， 即 3m24k240， 由ykxm，x24y221， 得(12k2)x24kmx2m240， 所以 16k2m28(12k2)(m22)8(4k2m22)163

13、(4k21)0， 且 x1x24km12k2 ，x1x22m2412k2 ， 所以oa ob x1x2y1y2 x1x2(kx1m)(kx2m) (1k2)x1x2km(x1x2)m2 （1k2）（2m24）4k2m2m2（12k2）12k2 3m24k2412k2 0， 所以 oaob. 綜上所述：oaob，所以aob為直角三角形 8設(shè)橢圓 c：x2a2 y2b2 1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，下頂點(diǎn)為 a，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) o到直線 af2的距離為22 ，af1f2為等腰直角三角形 7 / 7 (1)求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)直線 l 與橢圓 c 分別相交于 m，n

14、兩點(diǎn)，若直線 am 與直線 an 的斜率之和為 2，證明：直線 l 恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 解析： (1)由題意可知，直線 af2的方程為xc yb 1， 即bxcybc0， 則bcb2c2 bca 22 . 因?yàn)閍f1f2為等腰直角三角形，所以 bc， 又 a2b2c2， 可得 a 2 ，b1，c1， 所以橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22 y21. (2)證明：由(1)知 a(0，1)， 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l 的方程為 ykxt(t 1)， 代入x22 y21，得(12k2)x24ktx2t220， 所以 16k2t24(12k2)(2t22)0，即 t22k21. 設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，則 x1x24kt12k2 ，x1x22t2212k2 . 因?yàn)橹本€ am 與直線 an的斜率之和為 2， 所以 kamkany11x1 y21x2 kx1t1x1 kx2t1x2 2k（t1）（x1x2）x1x2 2k（t