高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四 培優(yōu)點(diǎn)15 空間幾何體的外接球

1、 培優(yōu)點(diǎn)培優(yōu)點(diǎn) 15 空間幾何體的外接球空間幾何體的外接球 空間幾何體的外接球是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)我們可以通過對幾何體的割補(bǔ)或?qū)で髱缀误w外接球的球心兩大策略求解此類問題 例 1 半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為( ) a. 56 b. 62 c2 d512 答案 b 解析 將半球補(bǔ)成球，同時(shí)把原半球的內(nèi)接正方體再補(bǔ)接一個(gè)同樣的正方體，構(gòu)成的長方體恰好是球的內(nèi)接長方體，那么這個(gè)長方體的對角線就是它的外接球的直徑設(shè)正方體的棱長為 a，球體的半徑為 r，則(2r)2a2a2(2a)2，即 r62a，v半球1243r32362a362a3，v正方體a3，v半球v正方體62a3

2、a3 62，故選 b. 例 2 已知在三棱錐 sabc 中，abbc，abbc2，sasc2 2，二面角 bacs的大小為23，則三棱錐 sabc 的外接球的表面積為( ) a.1249 b.1054 c.1059 d.1049 答案 d 解析 如圖，取 ac 的中點(diǎn) d，連接 bd，sd，則bds23，ac2 2，bd 2，sd6.過點(diǎn) d 作與平面 abc 垂直的直線，則球心 o 在該直線上，設(shè)球的半徑為 r，連接 ob，os，可得 od2r2( 2)2，在osd中，ods6，利用余弦定理可得 r2r22( 6)22 r22 632，解得 r2269，所以其外接球的表面積為 4r21049

3、. 例 3 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上若該棱錐的高為 4，底面邊長為 2，則該球的表面積為( ) a.814 b16 c9 d.274 答案 a 解析 如圖，正四棱錐 pabcd的底面中心為 h. 在底面正方形 abcd中，ah 2， 又 ph4， 故在 rtpah中， pa ph2ah2 42( 2)23 2. 則由正四棱錐的性質(zhì)可得，其外接球的球心 o 在 ph 所在的直線上，設(shè)其外接球的直徑為pq2r. 又 a 在正四棱錐外接球的球面上，所以 apaq. 又 ahph，由射影定理可得 pa2phpq， 故 2rpqpa2ph(3 2)2492，所以 r94. 故該球的表面積為 s4r2

4、4942814. 解決此類問題的關(guān)鍵在于利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球的球心，利用球的截面的性質(zhì)，球心和球的截面的中心連線垂直于截面結(jié)合相關(guān)幾何量之間的數(shù)量關(guān)系可確定球心 1已知圓柱的高為 1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為 2 的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為( ) a b.34 c.2 d.4 答案 b 解析 球心到圓柱的底面的距離為圓柱高的12，球的半徑為 1，則圓柱底面圓的半徑 r112232，故該圓柱的體積為 v322134. 2在三棱錐 pabc 中，abc 為等邊三角形，papbpc3，papb，則三棱錐 pabc的外接球的體積為( ) a.272 b.27 32 c27 3 d27

5、 答案 b 解析 因?yàn)?papbpc，abc 是正三角形，所以pabpacpbc，由 papb知，papc，pbpc，以 pa，pb，pc 為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(圖略)，則三棱錐pabc 的外接球可看成正方體的外接球，因?yàn)檎襟w的體對角線長為 3 3，所以其外接球的半徑為 r3 32，外接球的體積為 v43r327 32.故選 b. 3已知三棱錐 sabc 的所有頂點(diǎn)都在球 o 的球面上，sc 是球 o 的直徑，若平面 sca平面 scb，saac，sbbc，三棱錐 sabc的體積為 9，則球 o的表面積為_ 答案 36 解析 如圖，sc為球 o的直徑，o為球心， 因?yàn)?saac，所以

6、 aosc， 同理 sbbc，所以 bosc，boaoo，所以 sc平面 abo. 又平面 sca平面 scb，平面 sca平面 scbsc，aosc，ao平面 sac， 所以 ao平面 sbc，所以 aobo. 設(shè)球的半徑為 r，則 aobosocor， 所以 v三棱錐sabc213saboso21312aoboso13r39，所以 r3， 所以球 o 的表面積為 s4r236. 4類比圓的內(nèi)接四邊形的概念，可得球的內(nèi)接四面體的概念，已知球 o 的一個(gè)內(nèi)接四面體abcd中，abbc，bd過球心 o，若該四面體的體積為 1，且 abbc2，則球 o的表面積的最小值為_ 答案 38 解析 在 rtabc中，由 abbc，且 abbc2， 得 2abbc2 ab bc，得 ab bc1， 當(dāng)且僅當(dāng) abbc1時(shí)，ab bc 取最大值 1， bd過球心 o，且四面體 abcd的體積為 1， 三棱錐 oabc的體