基本不等式公開課教案

1、1 / 4 基本不等式 :2abab授課人 :祁玉瑞授課類型：新授課一、知識(shí)與技能：使學(xué)生了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景， 學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；學(xué)會(huì)應(yīng)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題。過程與方法：通過探索基本不等式的過程， 讓學(xué)生體會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的基本思想方法，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)探究。情感態(tài)度與價(jià)值觀：在探索過程中，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，大膽猜想，并能對(duì)猜想進(jìn)行證明，增強(qiáng)學(xué)生的信心， 獲得探索問題的成功情感體驗(yàn)。 逐步養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度與良好的思維習(xí)慣。 同時(shí)通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)， 讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生

2、活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。二、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式， 并從不同角度探索不等式2abab的證明過程。難點(diǎn)： 基本不等式2abab等號(hào)成立條件。三、教學(xué)過程1.課題導(dǎo)入基本不等式2abab的幾何背景：2 / 4 如圖是在召開的第24 界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)， 會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的， 顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。2. 講授新課1探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車” 抽象成如圖，在正方形abcd 中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角

3、邊長(zhǎng)為a,b 那么正方形的邊長(zhǎng)為22ab。這樣，4 個(gè)直角三角形的面積的和是2ab ，正方形的面積為22ab。由于 4 個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：222abab。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b 時(shí)，正方形 efgh 縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有222abab。2得到結(jié)論：一般的，如果)(2r,22號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)那么baabbaba3思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因?yàn)?22)(2baabba當(dāng)22,()0,()0,abababab時(shí)當(dāng)時(shí)所以，0)(2ba，即.2)(22abba41）從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識(shí)基本不等式2abab特別的，如果 a0,b0, 我

4、們用分別代替 a、b ，可得2abab，通常我們把上式寫作：(a0,b0)2abab2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式2abab3 / 4 用分析法證明：3）理解基本不等式2abab的幾何意義探究：課本第 98 頁(yè)的“探究”在右圖中， ab 是圓的直徑，點(diǎn) c 是 ab 上的一點(diǎn)， ac=a,bc=b 。過點(diǎn) c作垂直于ab 的弦 de ，連接ad 、bd 。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式2abab的幾何解釋嗎？易證 tadtdb，那么 d2 ab 即dab. 這個(gè)圓的半徑為2ba，顯然，它大于或等于cd ，即abba2，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) c 與圓心重合，即 ab 時(shí)，等號(hào)成立 . 因此：基本不等式2abab幾何意義是“半徑不小于半弦”.在數(shù)學(xué)中，我們稱2ba為 a、b 的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為 a、b 的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 四、x 例講解課本 p99 頁(yè)，例 1 五、課時(shí)小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2b22ab ；兩正數(shù) a、b 的算術(shù)平均數(shù)（2ba） ，幾何平均數(shù)（ab）與它們的關(guān)系（2baab）.它們成立的條4 / 4 件不同，前者只要求a、b 都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b 都是正數(shù) .它們既是不等式變形的基本工具， 又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)