2006年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷及答案

1、高 考 數(shù) 學(xué) （ 7）1 絕密啟用前006 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江蘇卷) 數(shù)學(xué)參考公式: 一組數(shù)據(jù)的方差)()()(1222212xxxxxxnsn? 其中為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一、選擇題：本大題共10 小題 ,每小題 5 分,共 50 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知ra,函數(shù)rxaxxf|,|sin)(為奇函數(shù)，則a= ? （a)0 ? （ )1 （c)1?()1 （2）圓1)3() 1(22yx的切線方程中有一個(gè)是(a)y0 （b）x+y=0? (c)x0 ? (d) y=0 （3)某人次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘）分別為，y,1， 11,

2、9。已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為 2，則 |x y的值為()1?(b)2 ?(c）3 ?(d)(4)為了得到函數(shù)rxxy),63sin(2的圖像，只需把函數(shù)rxxy,sin2的圖像上所有的點(diǎn)（a)向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度 ,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的31倍(縱坐標(biāo)不變）? (）向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度 ,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的31倍(縱坐標(biāo)不變）(c）向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3 倍（縱坐標(biāo)不變）(d)向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度 ,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3 倍（縱坐標(biāo)不變) (5)10)31(xx的展開式中含x 的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是（） 0 ?(

3、）? (c)4 ? (d)6 （6)已知兩點(diǎn)(-2,0） 、n(， 0)，點(diǎn) p 為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足mpmnmpmn|0,則動(dòng)點(diǎn)p(x，）的軌跡方程為(a ）xy82? （）xy82(c）xy42(d)xy42（7）若、 b、c 為三個(gè)集合 ,cbba，則一定有（a）ca?(）ac(c)ca? （d) a(）設(shè)、是互不相等的正數(shù),則下列等式中不恒成立的是?（a)|cbcaba（ )aaaa1122(c）21|baba(d)aaaa213（ 9)兩相同的正四棱錐組成如圖1 所示的幾何體，可放棱長(zhǎng)為1 的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面abcd 與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上

4、,則這樣的幾何體體積的可能值有（a)1 個(gè)(b) 個(gè)(） 3 個(gè)（d)無(wú)窮多個(gè)(10）右圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器。接收器與信號(hào)源在同一個(gè)串聯(lián)線路中時(shí)，就能接收到信號(hào) ,否則就不能接收到信號(hào)。若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組，將右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接,則這五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是(a)454（b）361?(c）154? （）158二、填空題 :本大題共6 小題 ,每小題分，共30 分。不需要寫出解答過(guò)程,請(qǐng)把答案直接填空在答題卡相應(yīng)位置上。（ 11)在 abc 中,已知 bc=1 ,a=60 ,b4，則ac= （ 1

5、2）設(shè)變量x、y 滿足約束條件1122yxyxyx,則yxz32的最大值為（ 3)今有 2 個(gè)紅球、 3 個(gè)黃球、 4 個(gè)白球 ,同色球不加以區(qū)分,將這 9 個(gè)球排成一列有種不同的方法（用數(shù)字作答）。(14)40cos270tan10sin310cos20cot= (）對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線)1(xxyn在2 處的切線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列1nan的前 n 項(xiàng)和的公式是（ 16）不等式3)61(log2xx的解集為a b c d 信號(hào)源圖 1 高 考 數(shù) 學(xué) （ 7）2 三、解答題 :本大題共 5 小題 ,共 70 分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 .

6、 (17）(本小題滿分1分，第一小問(wèn)滿分5 分，第二小問(wèn)滿分分）已知三點(diǎn) p（5,2)、 （ ,0)、(6，0） 。（ )求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)p 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; ()設(shè)點(diǎn) p、 、關(guān)于直線yx 的對(duì)稱點(diǎn)分別為、 、,求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。(8)（本小題滿分14 分）請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為m 的正六棱柱 ,上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m 的正六棱錐 (如右圖所示） 。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)o 到底面中心的距離為多少時(shí),帳篷的體積最大? (1 )(本小題滿分 4 分，第一小問(wèn)滿分4 分，第二小問(wèn)滿分5 分,第三小問(wèn)滿分5 分) 在正三角形abc 中， e、f、分別是ab 、 c

7、、bc 邊上的點(diǎn) ,滿足 ae: = :fac:p 1:2(如圖 1） 。將 ef 沿 ef 折起到efa1的位置 ,使二面角a1ef-b 成直二面角，o1o 高 考 數(shù) 學(xué) （ 7）3 連結(jié) a1、 ap(如圖）(）求證： a1e平面 bp；（ )求直線 a1與平面abp 所成角的大?。?)求二面角ba1pf 的大小 (用反三角函數(shù)表示) (20)（本小題滿分6 分,第一小問(wèn)4 分，第二小問(wèn)滿分6 分,第三小問(wèn)滿分6 分) 設(shè) a 為實(shí)數(shù) ,設(shè)函數(shù)xxxaxf111)(2的最大值為g(a） 。（ )設(shè) t=xx11,求 t 的取值范圍 ,并把（ x）表示為t 的函數(shù)(t) （ )求 g（a)

8、 ()試求滿足)1()(agag的所有實(shí)數(shù)(1)(本小題滿分14 分) apfecba1efcpb圖 1 圖 2 高 考 數(shù) 學(xué) （ 7）4 設(shè)數(shù)列na、nb、nc滿足 :2nnnaab，2132nnnnaaac(n1,， 3， ), 證明na為等差數(shù)列的充分必要條件是nc為等差數(shù)列且1nnbb（ n=1， ,3， ) 高 考 數(shù) 學(xué) （ 7）5 數(shù)學(xué)試題參考答案(1)（2)c ()d （4）c ( )（ )b (7)a (8）c (9）d( 0)d （11)64(12)18 (3) 260 (14）2 （15）2n+1(6）1)223,223(7) 解:（ ) 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.19

9、4522yx()所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.1162022xy(8） 解:設(shè) oo為 x m,則41x設(shè)題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為（單位:m）22228)1(3xxx).1216(231)1(31)28(232)(32xxxxxxv求導(dǎo)數(shù) ,得).312(23)(2xxv令0)(xv,解得2x(不合題意 ,舍去） ,x=2 當(dāng))(,0)(,21xvxvx時(shí)為增函數(shù) ; 當(dāng))(,0)(,42xvxvx時(shí)為減函數(shù)。所以當(dāng) x=2 時(shí),)(xv最大 . (9）()在圖 2 中， a1e 不垂直于a1，e 是平面1bp 的斜線 . 又 a1e平面 p, a1ebp, 從而 p 垂直于1e 在平面 a1

10、bp 內(nèi)的射影（三垂線定理的逆定理). 設(shè) a1e 在平面 a1p內(nèi)的射影為a1,且 a1交 bp 于點(diǎn) q,則ea1q 就是 a1e 與平面1bp 所成的角，且 bp1q. 在 ebp 中, ebp=2， bp=0， ebp 是等邊三角形 , b p 又 a1e平面 bp, b=a1p， q 為 bp 的中點(diǎn) ,且3eq又 a1e=,在 rta1e中 ,3tan11eaeqqea a1q 0（ )在圖 3 中,過(guò) f 作 fmp于 m，連結(jié) qm ，qf。 f= =1， c 0, fcp 是正三角形 , pf1。又121bppq, pf=pq. a1平面 b , ,3efeqa=a1q; f

11、p1qp 從而pf=a1pq 由及mp 為公共邊知 fmp qmp ， qmp= p90，且 m mq, 從而 fmq 為二面角 bap的平面角。在 rtq中，1qa1f=2,pq1, 51pa。mq , 552,55211mfpapqqamq在 fc中 ,fc1， c=2， c=0,由余弦定理得f=。在 fmq 中,872222mqmfqfmqmffmq（ 20）解：(),11xxt要使 t 有意義， 必須11,0101xxx即且0,4,212222txt t 的取值范圍是2,2由得121122tx2 ,2,21)121()(22tatatttatm()由題意知)(ag即為函數(shù)2,2,21)

12、(2tatattm的最大值注意到直線at1是拋物線atattm221)(的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論。（1)當(dāng) a,函數(shù)2,2),(ttmy的圖像是開口向上的拋物線的一段，由2,2)(01在知tmat上單調(diào)遞增 .2)2()(amag（2）當(dāng)0 時(shí), (t)=t,2,2t, 2)(ag(3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=m( ） ,2,2t的圖像是開口向下的拋物線的一段。若.2)2()(,22,2,0(1magaat則即若.21)1()(,21,22(,2,2(1aaamagaat則即若.2)2()(),0 ,21(),2(1amagaat則即綜上有2222122,2121,2)(aaaaaaag()解法一

13、:情形 1:當(dāng). 21)1(,2)(,211,2aagagaa此時(shí)時(shí)由212a解得2,221aa與矛盾。情形 :當(dāng),22時(shí)a21122a,此時(shí)2)(ag, 高 考 數(shù) 學(xué) （ 7）6 2,2212,21)1(aaaaaaag與解得由矛盾。情形 3：當(dāng)2212,-222aa時(shí)，此時(shí))1(2)(agag所以222a情形：當(dāng)21,-22122aa時(shí)，此時(shí)aaag21)(22,22221,2)1(aaaaag與解得由矛盾。情形 5：當(dāng)21,021aa時(shí)，此時(shí)2)1(, 2)(agaag由21,2222aaa與解得矛盾。情形 6:當(dāng) a0 時(shí) ,01a,此時(shí)21)1(,2)(aagaag由10, 121

14、2aaaaa知由解得綜上知 ,滿足)1()(agag的所有實(shí)數(shù)為：1222aa或解法二 :當(dāng),21時(shí)a2232)(aag當(dāng) 1 ,22(21),22,21,2122aaa時(shí),所以,21aa2)21()(221)(aaaaag。因此 ,當(dāng),22時(shí)a2)(ag當(dāng)01,0aa時(shí),由1212)1()(aaaagag解得知當(dāng),0時(shí)a2)1(2)(, 111, 11agagaaaa或從而或因此要使)1()(agag，必須有.222,221,22aaa即此時(shí))1(2)(agag。綜上知 ,滿足)1()(agag的所有實(shí)數(shù)a 為：1222aa或(2 )證明：必要性 . 設(shè)na是公差為d的等差數(shù)列，則0)()(

15、)()(112312311ddaaaaaaaabbnnnnnnnnnn所以,3 ,2, 1(1nbbnn)成立。又)(3)(2)(231211nnnnnnnnaaaaaacc1111632dddd(常數(shù)） (n=1,2，3,),所以數(shù)列nc為等差數(shù)列 . 充分性 ,設(shè)數(shù)列nc是公差 d2的等差數(shù)列 ,且1bbn(n=,2,3，） 。證法一：-得)(3)(2)(423122nnnnnnnnaaaaaacc,3221nnnbbb, 221122)()(dccccccnnnnnn221232dbbbnnn, 從而有.2322321dbbbnnn得.0)(3)(2)(23121nnnnnnbbbbbb0,0,023121nnnnnnbbbbbb，由得).,3 ,2, 1(01nbbnn由此不妨設(shè)323),3 ,2, 1(daandbnnn則(常數(shù) ). 由此312132432daaaaacnnnnnn, 從而313211524324daadaacnnnnn，兩式相減得3112)(2daacannnn，因此),3 ,2, 1)(21)(2132311ndddccaannnn常數(shù), 所以數(shù)列na是等差數(shù)列。證法二 :令由,1nnnaaa,3121nnnnnnaaaabb知從而)., 3,2, 1(,2231naaaaaannnnnn即由32112132,32nnnnnnnna