2012年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、第1頁（共 22頁）2012 年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科 )一、選擇題共 8 小題.每小題分。共40 分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中,選出符合勝目要求的一項(xiàng)。1已知集合320 ,130axxbxxxrr,則 b=（）a., 1 .21,3c.2,33d 3,2.設(shè)不等式組0202xy，表示的平面區(qū)域?yàn)?,在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于的概率是（)4b22c 6.443設(shè),a br “0a” 是“ 復(fù)數(shù) abi 是純虛數(shù) 的（）a.充分而不必要條件b必要而不充分條件c.充分必要條件 .既不充分也不必要條件4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（)a.b.c d5如圖，,90acb

2、cdab于點(diǎn),以 bd 為直徑的圓與 bc交于點(diǎn)則 ( ）第2頁（共 22頁）a. ce cbad db ce cbad abc.2ad abcdd.2ce ebcd6.從 0,2中選一個數(shù)字 .從、 、中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)其中奇數(shù)的個數(shù)為（） .c.7某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是 ( )a286 5b306 5?5612 5.6012 5.某棵果樹前年的總產(chǎn)量與之間的關(guān)系如圖所示從目前記錄的結(jié)果看,前年的年平均產(chǎn)量最高 ,則的值為（）abc二.填空題共小題每小題分 .共分.9.直線21xtyt（為參數(shù)）與曲線3cos3sinxy(為參數(shù)）的交點(diǎn)個數(shù)為第3頁（共

3、 22頁）1已知na是等差數(shù)列 ,為其前項(xiàng)和若1231,2asa ,則=.11在abc中,若12,7,cos4abcb,則=1在直角坐標(biāo)系xoy中直線過拋物線24yx的焦點(diǎn) .且與該拋物線相交于、兩點(diǎn).其中點(diǎn)在軸上方若直線的傾斜角為60則oaf 的面積為1己知正方形abcd的邊長為 ,點(diǎn)是 ab邊上的動點(diǎn)則 de cb 的值為1.已知23 , ( )22xfxm xmxmg x,若同時滿足條件 :,( )0 xf xr或( )0g x；, 4 ,( ) ( )0 xf x g x.則的取值范圍是 .三、解答題公 6 小題,共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15.已知函數(shù)sinc

4、ossin2( )sinxxxf xx。（）求 fx 的定義域及最小正周期 ;（）求 fx 的單調(diào)遞增區(qū)間 .16.如圖,在 rt abc 中，90c,3,6bcac，,d e 分別是,ac ab 上的點(diǎn) ,且de,2bc de,將ade沿de折起到1a de的位置 ,使1a ccd，如圖 .（1)求證：1ac平面 bcde ;(2)若是1a d的中點(diǎn)，求 cm 與平面1a be所成角的大??；(3）線段 bc上是否存在點(diǎn)，使平面1a dp與平面1a be垂直?說明理由 .第4頁（共 22頁）1.近年來 ,某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了

5、相應(yīng)的垃圾箱,為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況 ,先隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱總計1000噸生活垃圾 ,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下 (單位:噸)；“ 廚余垃圾 ” 箱“ 可回收物 ” 箱“ 其他垃圾 箱廚余垃圾400100100可回收物3020其他垃圾0(1）試估計廚余垃圾投放正確的概率;(2）試估計生活垃圾投放錯誤的概率;(3）假設(shè)廚余垃圾在 “ 廚余垃圾 箱、 “ 可回收物 箱、 “ 其他垃圾 箱的投放量分別為, ,a b c,其中0,600aabc.當(dāng)數(shù)據(jù), ,a b c的方差最大時，寫出, ,a b c 的值（結(jié)論不要求證明） ,并求此時的值(求：2222121nsxxxxxxn，其中為數(shù)據(jù)12,nx

6、xx的平均數(shù)）18.已知函數(shù)23( )10 ,f xaxag xxbx. （1）若曲線 yfx 與曲線 yg x 在它們的交點(diǎn)1,c 處具有公共切線 ,求 , a b的值；(2)當(dāng)24ab時,求函數(shù) fxg x 的單調(diào)區(qū)間 ,并求其在區(qū)間, 1 上的最大第5頁（共 22頁）值. 19已知曲線22: 528cm xmymr(1)若曲線是焦點(diǎn)在軸點(diǎn)上的橢圓,求的取值范圍 ;（2)設(shè)4m，曲線與軸的交點(diǎn)為,a b(點(diǎn)位于點(diǎn)的上方 ),直線4ykx與曲線交于不同的兩點(diǎn),m n ,直線1y與直線 bm 交于點(diǎn)求證 :,a g n 三點(diǎn)共線0.設(shè) a 是由 mn 個實(shí)數(shù)組成的 m 行 n 列的數(shù)表 ,滿足

7、：每個數(shù)的絕對值不大于 1,且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對于 a（m,n）,記i(a)為 a 的第行各數(shù)之和（ m)，（a）為 a 的第 j 列各數(shù)之和 (1 n） ;記 k(a) 為| r1(） ,r2(a） , ， rm(a） ， | c1（a） ， c(a)，, c(a）中的最小值 .(1)如表 a,求 k(a)的值;110.0。1.31（2)設(shè)數(shù)表 as（2,3)形如1b求 k(a)的最大值；（3)給定正整數(shù) t,對于所有的 as（2， +1)，求 (a)的最大值 .2012 年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科 )參考答案與試題解析一、選擇題共8 小題每小題 5

8、 分.共 40 分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中,選出符合勝目要求的一項(xiàng)。第6頁（共 22頁）(2012?北京)已知集合a= rx+2,b= r(x+1）(x3）0 ，則 ab=（）a.(,1）b(,）c,3?.(3，+）【分析】 求出集合，然后直接求解ab【解答】 解:因?yàn)?x| ( )（x)0=x| x3，又集合 a=xr| x+20 | x ,所以 ab=xx xx3 = ,故選:d （02?北京）設(shè)不等式組,表示的平面區(qū)域?yàn)閐,在區(qū)域 d 內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2 的概率是 ()a?.cd.【分析】 本題屬于幾何概型，利用 “ 測度求概率，本例的測度即為區(qū)域的面積，故只

9、要求出題中兩個區(qū)域:由不等式組表示的區(qū)域和到原點(diǎn)的距離大于2 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積后再求它們的比值即可.【解答】 解：其構(gòu)成的區(qū)域如圖所示的邊長為2 的正方形 ,面積為1,滿足到原點(diǎn)的距離大于2 所表示的平面區(qū)域是以原點(diǎn)為圓心,以 2 為半徑的圓外部，面積為=4 ，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2 的概率 =故選： d.第7頁（共 22頁） （212?北京）設(shè)， br“a= ” 是“ 復(fù)數(shù) bi 是純虛數(shù) 的（)a充分而不必要條件 ?b.必要而不充分條件c充分必要條件 ?d.既不充分也不必要條件【分析】 利用前后兩者的因果關(guān)系 ,即可判斷充要條件 .【解答】 解：因?yàn)?a，

10、. “a=” 時“ 復(fù)數(shù) a+b不一定是純虛數(shù) ”.“ 復(fù)數(shù) +bi 是純虛數(shù) ” 則“a=0”一定成立所以 a,b “ =o ” 是“ 復(fù)數(shù) ai 是純虛數(shù) ” 的必要而不充分條件故選 b.4(01?北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的 s值為( )a?bc 8?d16【分析】 列出循環(huán)過程中 s與 k的數(shù)值 ,不滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán).第8頁（共 22頁）【解答】 解:第 1 次判斷后 =1, ,第次判斷后 =2， 2,第 3 次判斷后 =8， 3,第 4 次判斷后 3,不滿足判斷框的條件 ,結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果：故選 c.5(012?北京)如圖， c=90 ,cd b于點(diǎn) d，以 b

11、d為直徑的圓與 bc交于點(diǎn) e則（).e?cb= d?d?b.ce?cb= d?ab ?ad?ab cd2?d.c ?eb cd2【分析】連接 d,以 bd為直徑的圓與 bc交于點(diǎn) e,dbe ，由acb= 0 ，cdab 于點(diǎn)， acd cbd, 由此利用三角形相似和切割線定理，能夠推導(dǎo)出ce? b ?.【解答】 解:連接 de,以 bd為直徑的圓與 bc交于點(diǎn) e,dbe ，acb=90 ，cab于點(diǎn) d，acd cbd ，cd2a?bd.cd2=?c,c ?cb= ?b，故選 .第9頁（共 22頁）6 （20?北京）從、 2 中選一個數(shù)字 .從 1、5 中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位

12、數(shù)其中奇數(shù)的個數(shù)為（)2b.18 c.1 6【分析】 分類討論 :從 0、2 中選一個數(shù)字 ,則只能排在十位 ;從、中選一個數(shù)字 2,則 2 排在十位或百位，由此可得結(jié)論.【解答】 解:從 0、2 中選一個數(shù)字 0，則只能排在十位，從1、3、5 中選兩個數(shù)字排在個位與百位，共有=6種;從 0、2 中選一個數(shù)字 ,則排在十位，從 1、3、5 中選兩個數(shù)字排在個位與百位，共有6 種;2 排在百位 ,從 1、 5 中選兩個數(shù)字排在個位與十位，共有6 種；故共有 3種故選 b.(21?北京)某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是 ( )a.28+6 b.0+?c.5 +12?d0+2【分析】通過

13、三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的表面積即可 .【解答】 解:三視圖復(fù)原的幾何體是底面為直角邊長為和的三角形，第10頁（共 22頁）一個側(cè)面垂直底面的等腰三角形,高為 4,底邊長為 5,如圖,所以 s底=10,后，s右1,s左=6幾何體的表面積為 :底+s后+s右s左=0+6故選:b.8 (212?北京)某棵果樹前 n 年的總產(chǎn)量n與 n 之間的關(guān)系如圖所示 .從目前記錄的結(jié)果看，前 m 年的年平均產(chǎn)量最高 ,則 m 的值為（)a.5?b.c9 d1【分析】由已知中圖象表示某棵果樹前n 年的總產(chǎn)量 s與之間的關(guān)系， 可分析出平均產(chǎn)量的幾何意義為原點(diǎn)與該點(diǎn)邊線的斜率,結(jié)合圖象

14、可得答案【解答】 解:若果樹前 n 年的總產(chǎn)量 s與 n 在圖中對應(yīng) p（s,n）點(diǎn)則前年的年平均產(chǎn)量即為直線op的斜率由圖易得當(dāng) n=9 時，直線 o的斜率最大第11頁（共 22頁）即前年的年平均產(chǎn)量最高，故選 c二。填空題共小題 .每小題 5 分.共 30 分.9.（201?北京)直線（t 為參數(shù) )與曲線（為參數(shù)）的交點(diǎn)個數(shù)為 2【分析】將參數(shù)方程化為普通方程， 利用圓心到直線的距離與半徑比較，即可得到結(jié)論 .【解答】 解:直線(t 為參數(shù)）化為普通方程為x+y1=曲線（為參數(shù)）化為普通方程為+y2=9圓心（ ,0）到直線 +y=0 的距離為 d=直線與圓有兩個交點(diǎn)故答案為 :210.(

15、201?北京)已知 an是等差數(shù)列 ,sn為其前項(xiàng)和 若,s2=a3，則=1【分析】 由an是等差數(shù)列 ,a= ，s2=a，知=,解得 d=,由此能求出 a2【解答】 解： a是等差數(shù)列， a1=，s2a，=，解得 d=,2=1故答案為： 1第12頁（共 22頁）1.（201?北京)在abc中,若 a=，b+c=7，cosb ,則 b=4.【 分 析 】 根 據(jù) 2,b+c=7,cosb= , 利 用 余 弦 定 理 可 得,即可求得 b 的值.【解答】 解：由題意， a=2,b+c=7,cosb ，b=故答案為 :12 （0?北京）在直角坐標(biāo)系 oy中.直線過拋物線 y2=4x的焦點(diǎn) f.且

16、與該拋物線相交于 a、b兩點(diǎn).其中點(diǎn) a 在 x 軸上方若直線 l 的傾斜角為 60 .則oaf的面積為 .【分析】 確定直線 l 的方程 ,代入拋物線方程 ,確定 a 的坐標(biāo) ,從而可求 a的面積【解答】 解：拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1,0)直線 l 過 f, 傾斜角為 60直線 l 的方程為 :，即代入拋物線方程 ,化簡可得=2，或 y=在軸上方 af的面積為=故答案為：3 （01?北京)己知正方形 ac 的邊長為 1，點(diǎn) e是b 邊上的動點(diǎn)則的值為 .【分析】 直接利用向量轉(zhuǎn)化，求出數(shù)量積即可.【解答】 解:因?yàn)?.第13頁（共 22頁）故答案為： 114 （202?北京)

17、已知 f(x）=m（ 2m）(x+） ,g(x)2x2，若同時滿足條件:? r,f（） 0 或 g(） ;? x（， 4)，(x)（x)0則 m 的取值范圍是(4，2）【分析】 由于 g()=2時，x， 根據(jù)題意有 f （x） m(x2m)(x+m+3）在 x時成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求由于 x（ ,4） ，f(x）（)0,而 g()=x20 在（ ,4）時成立 ,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求【解答】 解:對于 g(x）=,當(dāng) x1 時,g()0,又 ? r，f（x）0 或()0(）=(x2m)（x+m+)0 在 x1 時恒成立則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下,且二次函數(shù)與軸交點(diǎn)都在 （1,）的

18、左面則40 即成立的范圍為 4m0又 (， 4)，f(x)（x）0此時 g（） =2在 (， 4）有成立的可能，則只要4 比 x1,x2中的較小的根大即可 ,（i)當(dāng) m4,不成立，(ii）當(dāng) 40，+bc=00.當(dāng)數(shù)據(jù) ,b，c 的方差 s最大時，寫出a,的值 (結(jié)論不要求證明 ),并求此時2的值.(求：s2=+ +,其中為數(shù)據(jù)x1,x2, ，xn的平均數(shù)）【分析】 （1)廚余垃圾 60 噸,投放到 “ 廚余垃圾 箱 400 噸,故可求廚余垃圾投放正確的概率；(2）生活垃圾投放錯誤有200+60+2020300,故可求生活垃圾投放錯誤的概率;（3)計算方差可得=，因此有當(dāng) a=600，b=0

19、,c=0時，有=0000【解答】 解:(1)由題意可知：廚余垃圾600 噸,投放到 “ 廚余垃圾 ” 箱 40噸，故廚余垃圾投放正確的概率為；(2）由題意可知 :生活垃圾投放錯誤有20+20+20=00,故生活垃圾投放錯誤的概率為；（)由題意可知： a+c=600， ,b,c的平均數(shù)為 20=,（a+b+c)2a2+b2+c2+2ab2b+2aca2+b22,因此有當(dāng) a=0,b=0，c=0時,有 s800018 （201?北京）已知函數(shù) f(x）ax21(a0）,（x)3+x第18頁（共 22頁）（)若曲線 y=f(x）與曲線 g（)在它們的交點(diǎn)（， )處具有公共切線，求 a、b 的值;()

20、當(dāng) a2=4時，求函數(shù) ()+g(x)的單調(diào)區(qū)間 ,并求其在區(qū)間（ ,1)上的最大值【分析】 （)根據(jù)曲線 f（x)與曲線 =g(x）在它們的交點(diǎn) (1，c）處具有公共切線,可知切點(diǎn)處的函數(shù)值相等,切點(diǎn)處的斜率相等 ,故可求、的值；(2)根據(jù) a2=b，構(gòu)建函數(shù),求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù) ,可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ,進(jìn)而分類討論， 確定函數(shù)在區(qū)間 (,1)上的最大值【解答】解： （1）f(）ax2+1(a0),則 f (x)=2x,=2a，g(x）x3+bx,則 g(）=32+，k2=3+b,由(1，c）為公共切點(diǎn) ,可得： 2a3+又 f（)=+1，（ 1)=1+b，a 1+b,即 a=b,代入式可得：(2）由題設(shè) a24b,設(shè)則,令 h(x ） ,解得:，;a0,x（ ,）)h （x）+（x）極大值極小值原函數(shù)在（ ,)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在）上單調(diào)遞增若,即a2 時,最大值為；若，即 2a1,