最短路徑問(wèn)題(將軍飲馬問(wèn)題)

1、將軍飲馬問(wèn)題及將軍飲馬問(wèn)題及延伸延伸為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒(méi)有路，走的人多綠地里本沒(méi)有路，走的人多了了 禁止踐禁止踐踏踏兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短 在公路l兩側(cè)有兩村莊，現(xiàn)要在公路l旁修建一所候車亭P，要使候車亭到兩村莊的距離之和最短，試確定候車亭P的位置。 ABP 思考：本題運(yùn)用了思考：本題運(yùn)用了 . . 兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短. .l將軍飲馬問(wèn)題：將軍飲馬問(wèn)題： 兩線段之和最短這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就兩線段之和最短這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的有了，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的

2、學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題： 將軍每天騎馬從城堡將軍每天騎馬從城堡A A出發(fā)，到城堡出發(fā)，到城堡B B，途，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問(wèn)怎樣走路程中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問(wèn)怎樣走路程最短？最短？ 這就是被稱為這就是被稱為 將軍飲馬將軍飲馬 而廣為流傳的問(wèn)題。而廣為流傳的問(wèn)題。如圖：一位將軍騎馬從城堡如圖：一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B，途中馬要，途中馬要到河邊飲水一次，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？到河邊飲水一次，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？ ABB

3、ABP作法：作法：（1 1）作點(diǎn)）作點(diǎn)B B關(guān)于直線關(guān)于直線 MN 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) B B（2 2）連結(jié)）連結(jié)BABA，交，交MNMN于點(diǎn)于點(diǎn) P P； 所以所以 點(diǎn)點(diǎn)P P就是所求的點(diǎn)就是所求的點(diǎn)MN BP BP+ +AP AP BPBP+ +APAP，即，即A AP P+B+BP P最小最小NABPBP 直線直線MNMN是點(diǎn)是點(diǎn)B B、B B的對(duì)稱軸，點(diǎn)的對(duì)稱軸，點(diǎn)P P、P P在對(duì)稱軸上，在對(duì)稱軸上，BPBP= =BPBP，BPBP= =BPBP 在在MNMN 上任取另一點(diǎn)上任取另一點(diǎn)P P，連結(jié)連結(jié)BPBP、BPBP、APAP 、BPBP 證明證明：在在ABABPP中，中，ABAB

4、A AP P+BP+BP， BP+AP=BP+AP =BAM BP+AP= BP+AP變式變式1 1：已知：已知：P P、Q Q是是ABCABC的邊的邊ABAB、 ACAC上的點(diǎn)，你能上的點(diǎn)，你能在在BCBC上確定一點(diǎn)上確定一點(diǎn)R R， 使使PQRPQR的周長(zhǎng)最短嗎？的周長(zhǎng)最短嗎？草地草地河邊河邊.駐地駐地A如圖：一位將軍騎馬從駐地如圖：一位將軍騎馬從駐地A A出發(fā)，先牽馬去草地出發(fā)，先牽馬去草地 OM吃草，再牽馬去河邊吃草，再牽馬去河邊ONON喝水，喝水， 最后回到駐地最后回到駐地A A問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？OMN.AA.B.CA.MON如圖如圖: :已知已

5、知 內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)A A MON求作求作:OM:OM上一點(diǎn)上一點(diǎn)B,ONB,ON上上一點(diǎn)一點(diǎn)C,C,使使AB+BC+ACAB+BC+AC最最小小作法作法: :(1)(1)作點(diǎn)作點(diǎn)A A關(guān)于關(guān)于OMOM、 ON ON的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)AA、A A (2)(2)連結(jié)連結(jié)AA和和AA，交，交OMOM于于B,B,交交ONON于于C,C,則點(diǎn)則點(diǎn)B B、C C為所求。為所求。變式變式1 1：已知已知P P是是ABCABC的邊的邊BCBC上的點(diǎn)，你能在上的點(diǎn)，你能在ABAB、ACAC上分別確定一點(diǎn)上分別確定一點(diǎn)Q Q和和R R，使，使PQRPQR的周長(zhǎng)最短嗎？的周長(zhǎng)最短嗎？如圖，如圖，A A為馬廄，為馬廄，B

6、 B為帳篷，將軍某一天要從馬為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助確定這一天的飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助確定這一天的最短路線。最短路線。兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部答案：如圖答案：如圖,A,A是馬廄是馬廄,B,B為帳篷為帳篷, ,牧馬人某一天要從馬廄牧馬人某一天要從馬廄牽出馬牽出馬, ,先到草地邊某一處牧馬先到草地邊某一處牧馬, ,再到河邊飲馬再到河邊飲馬, ,然后然后回到帳篷回到帳篷. .請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線. .ABABMNBAONM變式變式1 1

7、：已知：已知： MONMON內(nèi)兩點(diǎn)內(nèi)兩點(diǎn)A A、B.B.求作：點(diǎn)求作：點(diǎn)C C和點(diǎn)和點(diǎn)D,D,使得點(diǎn)使得點(diǎn)C C在在OMOM上，點(diǎn)上，點(diǎn)D D在在ONON上，且上，且AC+CD+BD+ABAC+CD+BD+AB最短。最短。ABCD變式變式2 2：如圖，：如圖，OMCNOMCN是矩形的臺(tái)球桌面，有是矩形的臺(tái)球桌面，有黑、白兩球分別位于黑、白兩球分別位于B B、A A兩點(diǎn)的位置上，試兩點(diǎn)的位置上，試問(wèn)怎樣撞擊白球，使白球問(wèn)怎樣撞擊白球，使白球A A依次碰撞球臺(tái)邊依次碰撞球臺(tái)邊OMOM、ONON后，反彈擊中黑球？后，反彈擊中黑球？.,.AOMABONB作法:(1)作點(diǎn) 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)(2)ABOMCOND連結(jié) 和 ，交于 ，交于 。則 點(diǎn) C、 D為 所 求 。.AABBCDMON變式2：課堂小結(jié)：課堂小結(jié)： 今天我們學(xué)習(xí)了最短路徑的相關(guān)問(wèn)題，我們應(yīng)今天我們學(xué)習(xí)了最短路徑的相關(guān)問(wèn)題，我們應(yīng)該怎么樣找到它們的最短路徑呢？該怎么樣找到它們的最短路徑呢？1、確定對(duì)稱軸，找出定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。2、連接對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)確定所求位置點(diǎn)（連接各對(duì)稱點(diǎn)確定所求位置點(diǎn)）。本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？把實(shí)際問(wèn)題把實(shí)際問(wèn)題變成變成數(shù)學(xué)問(wèn)題或數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)問(wèn)題或數(shù)學(xué)模型推理推理 猜想