解析幾何_柱面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面-文檔資料

1、1觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程: 定義定義4.1.14.1.1 平行于定直線并沿定曲線移動平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為的直線所形成的曲面稱為柱面柱面. .這條定曲線叫這條定曲線叫柱面的柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線叫柱面動直線叫柱面的的母線母線.柱面柱面母線母線準(zhǔn)準(zhǔn)線線2柱面柱面定義定義平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 C 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 L 叫叫柱面的柱面的母線母線.設(shè)柱面的準(zhǔn)線為設(shè)柱面的準(zhǔn)線為) 1 (0),(0),(21zyxFzyxF母

2、線的方向數(shù)為母線的方向數(shù)為X,Y,Z。如果。如果M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則過點(diǎn)上一點(diǎn)，則過點(diǎn)M1的母線方程為的母線方程為)2(111ZzzYyyXxx3且有且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)從（從（2）（）（3）中消去）中消去x1,y1,z1得得F(x,y,z)=0這就是以這就是以（1 1）為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的的柱面的方程。柱面的方程。4柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面5從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類推）（其他類推）實(shí)實(shí) 例例12222 c

3、zby橢圓柱面橢圓柱面 母線母線/ 軸軸x12222 byax雙曲柱面母線雙曲柱面母線/ 軸軸zpzx22 拋物柱面母線拋物柱面母線/ 軸軸y 只含只含yx,而缺而缺z的方程的方程0),( yxF，在，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱軸的柱面，其準(zhǔn)線為面，其準(zhǔn)線為xoy面上曲線面上曲線C.61. 橢圓柱面橢圓柱面12222 byaxxyzO2. 雙曲柱面雙曲柱面12222 byaxxozy7例例1、柱面的準(zhǔn)線方程為、柱面的準(zhǔn)線方程為2221222222zyxzyx而母線的方向數(shù)為而母線的方向數(shù)為-1-1，0 0，1 1，求這柱面的方程。，求這柱面的方程。例

4、例2、已知圓柱面的軸為、已知圓柱面的軸為21211zyx點(diǎn)點(diǎn)（1,-2,1)1,-2,1)在此在此圓柱面上，求這個柱面的方程圓柱面上，求這個柱面的方程。8（2）母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程）母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程 、 F(x , y ) = 0 準(zhǔn)線準(zhǔn)線C: xOy 平面上的曲線平面上的曲線F(x, y) = 0 母線母線L與與z 軸平行；軸平行；、G(x , z) = 0 準(zhǔn)線準(zhǔn)線C: xOz 平面上的曲線平面上的曲線G(x, z) = 0 母線母線L與與y 軸平行；軸平行；、H( y , z) = 0 準(zhǔn)線準(zhǔn)線C: yOz 平面上的曲線平面上的曲線H(y, z) = 0 母線母線L與與x

5、 軸平行軸平行.9例如拋物柱面例如拋物柱面 y - x2 = 0C: xOy 平面上的平面上的拋物拋物線線 y - x2 = 0L:平行于平行于z 軸軸圓柱面圓柱面 x2 +z2= 1C: xOz 平面上的圓平面上的圓 x2 +z2= 1L:平行于平行于y 軸軸oxyzoxyz10空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 1、概念、概念 C：空間曲線：空間曲線 投影柱面投影柱面S：以：以C為準(zhǔn)線，為準(zhǔn)線，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面。母線平行于坐標(biāo)軸的柱面。 投影投影C：投影柱面與投影坐標(biāo)面的交線。：投影柱面與投影坐標(biāo)面的交線。oxyzCSC11 2、求解步驟、求解步驟 空間曲線空間曲線C的

6、一般方程的一般方程 (1) 投影柱面方程投影柱面方程 (2) 投影曲線方程投影曲線方程 0,0,zyxGzyxF0),(0),(0,zxTzyRyxH或或00,00,00,yzxTxzyRzyxH或或12 例例 已知兩球面的方程為已知兩球面的方程為 求它們的交線求它們的交線C在在xOy面上的投影方程面上的投影方程 解解 消去變量消去變量z，得投影柱面方程，得投影柱面方程于是投影方程為于是投影方程為 1111222222zyxzyx及02222yyx002222zyyx13 例例 設(shè)一個立體由上半球面設(shè)一個立體由上半球面 與錐面與錐面 所圍成，求它在所圍成，求它在xOy面上的投影面上的投影 解解

7、 半球面與錐面的交線半球面與錐面的交線C:224yxz)( 322yxz)( 342222yxzyxz14消去變量，得投影柱面方程消去變量，得投影柱面方程投影曲線方程投影曲線方程所求立體在所求立體在xOy面上的投影就是該圓在面上的投影就是該圓在xOy面上面上所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 122 yx0122zyx0122zyx15旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面一、一、. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1、 定義定義: 以一條平面曲線以一條平面曲線C繞其平面上的一繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸.曲線曲線C稱為放置曲面的稱

8、為放置曲面的母線母線oC緯線緯線經(jīng)線經(jīng)線16二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標(biāo)系中，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：)1 (0),(0),(:21zyxFzyxFC旋轉(zhuǎn)直線為：)2(:000ZzzYyyXxxL其中P0(x0,y0,z0)為軸L上一定點(diǎn)，X，Y，Z為旋轉(zhuǎn)軸L的方向數(shù)。設(shè)M1(x1,y1,z1)為母線C上的任意點(diǎn)，則M1的緯圓總可以看成是過M1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸L的平面與以P0為中心，|P0M1|為半徑的球面的交線。17所以過M1的緯圓的方程為()()()()()() 3 (0)()()(zzyyxxzzyyxxzzZyyYxxX 當(dāng)點(diǎn)M1跑遍

9、整個母線C時，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。又由于M1在母線上，所以又有：)4(0),(0),(:11121111zyxFzyxFC從（3）（4）的四個等式中消去參數(shù)x1,y1,z1,得到一個三元方程：F(x,y,z)=0這就是以C為母線，L為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。18例1、求直線0112zyx繞直線x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：設(shè)M1(x1,y1,z1)是母線上的任意點(diǎn)，因?yàn)樾D(zhuǎn)軸通過原點(diǎn)，所以過M1的緯圓方程是：2121212221110)()()(zyxzyxzzyyxx又由于M1在母線上，所以又有：0112111zyx即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z

10、1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。19下面特殊的旋下面特殊的旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面20曲線曲線 C 00),(xzyfCy zo繞繞 z軸軸21曲線曲線 C 00),(xzyfxCy zo繞繞z軸軸.22曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S23曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |1

11、1y1z0),( 22 zyxfS：.繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo S24三、母線在坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面：三、母線在坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面： 已知yoz面上一條曲線C, 方程為f (y, z) = 0, 曲線C繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周就得一個旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)M1(0, y1, z1)是C上任意一點(diǎn), 則有f( y1, z1) = 0當(dāng)C繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而M1隨之轉(zhuǎn)到M (x, y, z)時, 有|1221yyxzz221yxy將z1 = z, 代入方程f( y1, z1) = 0, xozy

12、0),( zyf), 0(111zyM Md25同理：同理：yoz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線0),( zyf繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為 . 0,22 zxyf得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:0) ,(22zyxf即26規(guī)律：規(guī)律： 當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C繞此坐標(biāo)平面的一個坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其它兩個坐標(biāo)平方和的平方根來代替方程中的另一坐標(biāo)。27xozy解解 yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 28例2

13、: 求直線 z = ay 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程.zxyz = ay解: 將 y 用 代入直線方程, 得22yx)(22yxaz平方得:z2 = a2 ( x2 + y2 )該旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面, 其頂點(diǎn)在原點(diǎn).29例例3 3 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面（單葉）（單葉）（雙葉）（雙葉）30繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面yzoxyzox31繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122

14、222 czayx（1）xOz 面面上上雙雙曲曲線線12222 czax分分別別繞繞 x軸軸和和 z軸軸； xyoz xyoz旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面32例4、將圓0)0()(222xabazby繞Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：22222)(azbyx即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面。33yxorR)0()222 rRryRx（ 圓圓繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面345 5z繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圓圓35z繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面22222)

15、(ryRzx 環(huán)面方程環(huán)面方程.生活中見過這個曲面嗎？生活中見過這個曲面嗎？yxo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圓圓36.37繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面（長形）（長形）（短形）（短形）38繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面xyzxyz39（3）yOz 面面上上拋拋物物線線pzy22 繞繞 z軸軸； pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面xyzoxyzo0 p4

16、0第四節(jié)第四節(jié) 二次曲面二次曲面二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程三元二次方程相應(yīng)地平面被稱為相應(yīng)地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面性狀的討論二次曲面性狀的平面截痕法平面截痕法： 用用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用以下用截痕法截痕法討論幾種特殊的二次曲面討論幾種特殊的二次曲面一、基本內(nèi)容、基本內(nèi)容所表示的曲面稱之為二次曲面所表示的曲面稱之為二次曲面ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fy

17、z + gx + hy + iz +j = 0411 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo第四節(jié)第四節(jié) 橢球面橢球面42一、性質(zhì)一、性質(zhì) 1. 對稱性對稱性 中心 ： 坐標(biāo)原點(diǎn)（1個）; 主軸 ： x軸、y軸和z軸（3條）; 主平面： xOy面、yOz面和zOx面（3個）. 2. 截距和頂點(diǎn)截距和頂點(diǎn)x=0, y=0 z有解, 則z 軸上兩個頂點(diǎn)； x=0, z=0 則y軸上有兩個頂點(diǎn):z=0, y=0 則x軸上有兩個頂點(diǎn): 1 222222 czbyax43橢球面的方程ozyx1222222 cz

18、byax 橢球面與橢球面與三個坐標(biāo)面三個坐標(biāo)面的交線：的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax橢球面橢球面44橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為的交線為橢圓橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是的交線也是橢圓橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |145zoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得橢圓kzckbyax2222221當(dāng) |k | c 時, |k |越大, 橢圓越小;當(dāng) |k | =

19、 c 時, 橢圓退縮成點(diǎn).二二. 幾種常見二次曲面幾種常見二次曲面.（一） 橢球面1222222Czbyax46橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面 012222yczax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成z旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面與與橢球面橢球面的的區(qū)別區(qū)別：122222 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )| (1cz 47,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫

20、為483 類似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得橢圓:,012222xczby.012222yczax特別: 當(dāng)a=b=c時, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原點(diǎn)o, 半徑為a的球面.49橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為的交線為橢圓橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是的交線也是橢圓橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |150（二）雙曲面（二）雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax（1）用坐標(biāo)面）用

21、坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得中心在原點(diǎn)截得中心在原點(diǎn) 的橢圓的橢圓.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax51與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 當(dāng)當(dāng) 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點(diǎn)的雙曲線截得中心在原點(diǎn)的雙曲線. 012222yczax實(shí)軸與實(shí)軸與 軸相合，軸相合，虛軸與虛軸與 軸相合軸相合.xz52 122122221yybyczax雙曲線的雙曲線的中心中心都在都在 軸上軸上.y與平面與平面 的交線

22、為雙曲線的交線為雙曲線.1yy )(1by ,)1(221by x實(shí)軸與實(shí)軸與 軸平行軸平行,z虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)2(221by z實(shí)軸與實(shí)軸與 軸平行軸平行,x虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)3(1by 截痕為一對相交于點(diǎn)截痕為一對相交于點(diǎn) 的直線的直線.)0 , 0(b53,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕為一對相交于點(diǎn)截痕為一對相交于點(diǎn) 的直線的直線.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得雙曲線均可得雙曲線.54單葉雙曲面圖形單葉雙曲面圖形 xyoz平面平面

23、 的截痕是的截痕是兩對相交直線兩對相交直線.ax 55一、概念一、概念在空間直角坐標(biāo)系中，由方程)0,( 1222222cbaczbyax所表示的曲面，叫做單葉雙曲面, 此方程叫做單葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.方程1222222czbyax與1222222czbyax表示的曲面也是單葉雙曲面.56二、性質(zhì)二、性質(zhì) 1. 對稱性對稱性 中心 ： 坐標(biāo)原點(diǎn)（1個）; 主軸 ： x軸、y軸和z軸（3條）; 主平面： xOy面、yOz面和zOx面（3個）. 2. 截距和頂點(diǎn)截距和頂點(diǎn)x=0, y=0 z無解, 則z 軸上沒有頂點(diǎn)； x=0, z=0 y = b, 則y軸上有頂點(diǎn):z=0, y=0 x = a,

24、 則x軸上有頂點(diǎn): （0，b ，0）（2個）；（a，0，0）（2個）.)0,( 1222222cbaczbyax573.主截線主截線012222xczby(1): 雙曲線實(shí)軸為y軸, 虛軸為z軸;012222yczax: 雙曲線實(shí)軸為x軸, 虛軸為z軸;(2)(3)012222zbyax: (腰橢圓）.)1(222222czbyax584.平行截線平行截線hzchbyax2222221hzchbychax1)1()1(22222222無論h取何值，此方程組總表示在平面:hz 上的橢圓， 它的兩半軸為：221chb與221cha此時橢圓的兩軸端點(diǎn)（ ，0， h）221cha與（0， ， h）221chb分別在兩條主截線 （雙曲線）上， 且所在平面與腰橢圓平行.59結(jié)論：結(jié)論：單葉雙曲面可以看成是由一個橢圓變動其大小和位置而產(chǎn)生的，在變動中這個橢圓始終保持：所在平面平行于xOy面，且兩軸的端點(diǎn)分別沿著yOz和zOx面上的主截線（雙曲線）滑動。三、圖形 根據(jù)以上討論，可畫出單葉雙曲面的圖形如下：60主雙曲線（yoz面） 腰橢圓（xoy面）主雙曲線（xo