西南交《線性代數(shù)》離線作業(yè)春季學(xué)期

1、西南交線性代數(shù)離線作業(yè)1一、單項選擇題(只有一個選項正確，共8道小題)1. 下列矩陣中， B 不是初等矩陣。  (A)   (B)   (C)   (D) 2. 則 D 。  (A)   (B)   (C)   (D) 3. A、B為 n階方陣,且A、B等價,| A |=0 ，則R(B)  A 。   (A)

2、 小于n  (B) 等于n  (C) 小于等于n  (D) 大于等于n4. 若A為5階方陣且|A|=2，則|2A|= C 。  (A) 4  (B) 4  (C) 64  (D) 645. 線性方程組 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a

3、m2 x 2 + a mn x n = b m 的系數(shù)矩陣為 A,增廣矩陣為 A ¯ ,則它有無窮多個解的充要條件為 。 A   (A) R(A)=R( A ¯ )<n  (B) R(A)=R( A ¯ )<m  (C) R(A)<R( A ¯ )<m  (D) R(A)=R( A ¯ )=m6. 一個 n維向量組 1 , 2 , s (s>1) 線性相關(guān)的充要條件是： C   

4、;(A) 有兩個向量的對應(yīng)坐標成比例  (B) 含有零向量  (C) 有一個向量是其余向量的線性組合  (D) 每一個向量都是其余向量的線性組合7. 設(shè)3階矩陣 A的特征值為 1 , 1 , 2 ，則下列矩陣中可逆矩陣是： D   (A) EA  (B) E+A  (C) 2EA  (D) 2E+A8. 設(shè) 1 , 2 , 3 是齊次方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系，則下列向量組中

5、也可作為 Ax=0 的基礎(chǔ)解系的是： C   (A)  1 + 2 , 2 + 3 , 1 +2 2 + 3   (B)  1 + 2 , 2 + 3 , 3 1   (C)  1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 1   (D)  1 2 ,0, 2 3 三、判斷題(判斷正誤，共6道小題)9. 如果行列式有兩行元素完全相同，則行列式為零。 正確10. A,B 是同階方陣，且 | AB |0 ，則 ( AB ) 1 = B 1 A 1。 正確11.

6、60;A 是 n階方陣， R ，則有 | A |=| | A | 。 錯誤12. 設(shè) A是一個 n階方陣且方程組 Ax=0 有非零解，則 |A|=0 。 錯誤13. 設(shè) A是 n階方陣( n2 ), R ,則 | A |=| A | 。 錯誤14. 若向量組 1 , 2 , 3 , 4 線性相關(guān)，則 1 , 2 , 3 也線性相關(guān)。錯誤四、主觀題(共13道小題)15. | 0 1 2 n1 n 0 | 。16. 行列式 | 1 2 3 12, 4 1 2 5 | = 4 。17.則t= 3 18. |AB|= 0 19. 

7、-3 20.k= 3 21.  3 22. 23. 答：題目等價為討論線性無關(guān)的條件。因為是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，則齊次方程組只有零解，故系數(shù)行列式不為零。所以，時，是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系24. 設(shè)A是反對稱矩陣,E+A是可逆矩陣。        是正交矩陣。證明：因為AT=-A,故(E-A)(E+A)-1T(E-A)(E+A)-1=(E+AT)-1（E-A）T（E-A)(E+A)-1=(E-A)-1（E+A）（E-A)(E+A)-1（E+A）與（E-A)可交 =(E-A)-1（E

8、+A） (E+A)-1（E-A)=E所以，(EA) (E+A) 1是正交矩陣。25. 已知3階方陣A可逆且求A的伴隨矩陣的逆矩陣.解：26. 解：此題即為線性方程組的可解性問題，增廣矩陣為：所以，時有唯一的線性表示，a=-1且b=1時有多種線性表示當時，解方程得唯一的線性表示為：a=-1且b=1時，線性表示為：或線性表示的系數(shù)滿足27.解：對矩陣所以向量組的秩為2，是其一個最大線性無關(guān)西南交線性代數(shù)離線作業(yè)2一、單項選擇題(只有一個選項正確，共8道小題)1. 設(shè)向量組 1，2，3 線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是 ( B)。  (A)  1

9、 2 ， 2 3 ， 3 1  (B)  1 ， 2 ， 3 + 1  (C)  1 ， 2 ，2 1 3 2  (D)  2 ， 3 ，2 2 + 32. C   (A) 必有一列元素全為0；  (B) 必有兩列元素對應(yīng)成比例；  (C) 必有一列向量是其余列向量的線性組合；  (D) 任一列向量是其余列向量的線性組合。3. 矩陣 ( 0 1 1 1 2 ,0 1 1 1 0 ,0 1

10、 3 1 4 ,1 1 0 1 1 ) 的秩為( C)。  (A) 1   (B) 2   (C) 3  (D) 44. 若矩陣 ( 1 a 1 2, 1 1 a 2 ,1 0 1 2 ) 的秩為2,則 a的值為 B 。  (A) 0  (B) 0或-1  (C) -1  (D) -1或15. 二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2

11、 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 8 x 2 x 3 ，則 f的矩陣為 C 。  (A) ( 2 4 0 0 5 8 0 0 5 )  (B) ( 2 4 0 0 5 4 0 4 5 )  (C) ( 2 2 0 2 5 4 0 4 5 )  (D) ( 2 4 0 4 5 4 0 4 5 )6. 設(shè) A、 B為 n階方陣，且 A與 B等價， | A |=0 ，則 r(B) A   (A) 小于n  

12、(B) 等于n  (C) 小于等于n  (D) 大于等于n7. 若矩陣 1 2 2 3 ,1 1 3 ,1 0 2 3 的秩為2,則 的取值為 C   (A) 0  (B) -1  (C) 2  (D) -38. 設(shè) 1 , 2 , 3 是齊次方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系，則下列向量組中也可作為 Ax=0 的基礎(chǔ)解系的是 B   (A) 2  (B)

13、0;-2  (C) 1  (D) -1三、判斷題(判斷正誤，共6道小題)9. 設(shè) A,B 是同階方陣，則 AB=BA 。 錯誤10. 若 A是方陣，則 | A |=| A T | 。 正確11. 如果矩陣A與B等價，則A的行向量組與B的行向量組等價。 錯誤12. 非齊次線性方程組 Ax=b 一定有解。 錯誤13. 若 A、 B是 n階非零方陣，且 AB=0 ，則 | A |0 或者 | B |0 。 錯誤14. 設(shè) =0 是 n階方陣 A的特征值，則方程組 Ax=0 有非零解

14、。 正確四、主觀題(共12道小題)15. 設(shè) 1 =( 6 2 0 4 ) , 2 =( 3 1 5 7 ) ，則 3 1 2 2 =（24,-8,-10,-2）16. 設(shè) =( 1 1 0 ) , A=( 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ) , B=( 1 0 0 3 2 2 ) ,則 AB=(0,1,4)17.18. 是線性_相關(guān)_的，它的一個極大線性無關(guān)組。19.   n 時，此方程組只有零解。20. 是分塊對角矩陣，其中|A|=(2n+1)!21. |AB|=-822. a>1/223. 

15、; 為標準形。解: 二次型的矩陣 所以 A 的特征值為 1,2,5.故 X=PY 是正交變換, 滿足f = y12+2y22+5y32.24. 解：25. 26. 用正交變換化二次型為標準型，并求出所用的正交變換及f的標準型。問：這個二次型是否是正定的？為什么？解：二次型的矩陣為:，矩陣A的特征值為特征向量：單位化得正交變換x=Py，二次型的標準形為因為矩陣A的特征值均為正數(shù)，所以此二次型是正定的西南交線性代數(shù)離線作業(yè)3一、單項選擇題(只有一個選項正確，共8道小題)1. 設(shè) A為 n階方陣，且A2+A5E=0,則(A+2E)1=(C )。  (

16、A) AE  (B) A+E  (C) 1 3 ( AE )  (D) 1 3 ( A+E )2. 若 n維向量 1 ， 2 ， , n 線性相關(guān)， 為任一 n維向量，則 (A )。  (A)  1 , 2 , n ,線性相關(guān)；  (B)  1 , 2 , n ,線性無關(guān)；  (C) 一定能由 1 , 2 , n 線性表示；  (D)  1 , 2 , n ,的相關(guān)性無法確定。

17、3. 設(shè)線性方程組 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 3 x 2 2 x 3 =1 則此方程組 （A）。  (A) 有唯一解  (B) 有無窮多解  (C) 無解  (D) 有基礎(chǔ)解系4. 設(shè) n維向量組 1,2,s,若任一 維向量都可由這個向量組線性表出,必須有 D 。  (A) s= n  (B) s< n  

18、(C) s> n  (D) s n5. 設(shè) 1 , 2 , 3 , 都是4維列向量，且4階行列式 | 1 , 2 , 3 , |=a ， | , 1 , 2 , 3 |=b ，則4階行列式 | 1 , 2 , 3 ,+ |= C   (A) a+b  (B) ab  (C) ab  (D) ba6. 設(shè) B,C 為4階矩陣， A=BC , R(B)=4 , R(C)=2 ，且 1 , 2 , 3 是線性方程組 Ax=0 的解，則它

19、們是B   (A) 基礎(chǔ)解系  (B) 線性相關(guān)的  (C) 線性無關(guān)的  (D) A,B,C都不對7. 設(shè) n維列向量 = ( 1 2 ,0,0, 1 2 ) T ，矩陣 A=I T ， B=I+2 T ，則 AB= C   (A) 0  (B) I  (C) I  (D) I+ T8. 設(shè)矩陣 A m×n 的秩 r(A)=m< ，下述結(jié)論中正確的是 D   (A) A的任意m個列向量必線性無關(guān)  (B) A的任意一個m階子式不等于零  (C) 齊次方程組 Ax=0只有零解  (D) 齊次方程組 Ax=0只有零解三、判斷題(判斷正誤，共5道