2021年中考代數(shù)綜合第10講：以二次函數(shù)為主導(dǎo)的面積問(wèn)題

1、2021年中考代數(shù)綜合第10講：以二次函數(shù)為主導(dǎo)的面積問(wèn)題【案例賞析】1. 閱讀材料：如圖1,過(guò)厶ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫 ABC的“水平寬 (a),中間的這條直線在 ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫 ABC的“鉛垂高(h) 我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：$ abcah 即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半解答以下問(wèn)題：如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C (1, 4),交x軸于點(diǎn) A (3, 0),交y軸于點(diǎn) B.(1) 求拋物線和直線 AB的解析式;(2)求厶CAB的鉛垂高 CD及Sa cab;(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使S PAB=Sa CA

2、B?假設(shè)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(-2, 0),連接0A,將線段OA繞原點(diǎn)0順時(shí) 針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段 0B.(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過(guò)A、0、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3) 在(2)中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)。，使厶B0C的周長(zhǎng)最??？假設(shè)存在，求出 點(diǎn)C的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4) 如果點(diǎn)P是(2)中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么 PAB是否有最大 面積？假設(shè)有，求出此時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo)及 PAB的最大面積；假設(shè)沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.A (- 4, 0)、B (2, 0),與 y 軸交于點(diǎn)C,

3、頂點(diǎn)為D. E (1, 2)為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于 F、G.(1) 求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2) 在直線EF上求一點(diǎn)H，使 CDH的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)及H點(diǎn)的坐標(biāo)；(3) 假設(shè)點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， EFK的面積最大?【專(zhuān)題突破】4. 如圖：直線y=- x+3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,拋物線y= ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、 C (1, 0)三點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式；(2) 假設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1, 0),在直線y=- x+3上有一點(diǎn) 卩，使厶ABO與厶ADP相 似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) 在(2

4、)的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)丘，使厶ADE的面積等于 四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn) E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5. 如圖，拋物線 y= ax2+bx+c 經(jīng)過(guò) A (- 3, 0), B (1, 0), C (0, 3)三點(diǎn).(1) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2) 如圖1, P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，假設(shè)PAC面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) 如圖2, D為拋物線的頂點(diǎn)，在線段 AD上是否存在點(diǎn) M，使得以M, A, O為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似？假設(shè)存在，求點(diǎn) M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.£1 26. 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y

5、=- 5x+5與x軸，y軸分別交于A, C兩點(diǎn)，拋物線y = *+bx+c經(jīng)過(guò)A, C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為 B.(1) 求拋物線解析式及 B點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 假設(shè)點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形 AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)及四邊形 AMBC的面積;(3) 如圖2，假設(shè)P點(diǎn)是半徑為2的O B上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由.置時(shí),PC+ 土P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).A, B (- 3, 0), C (1 , 0),點(diǎn)(1) 求拋物線解析式；(2) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，

6、PAB的面積最大？(3) 過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段 AB于點(diǎn)D，再過(guò)點(diǎn)P作PE/ x軸交拋物線于點(diǎn)E,連接DE，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn) P使厶PDE為等腰直角三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；假設(shè)8.如圖，拋物線y= ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A (- 1, 0),點(diǎn)B (3, 0),與y軸交于點(diǎn)C,且過(guò)點(diǎn)D (2, - 3) 點(diǎn)P、Q是拋物線y= ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式；(2) 當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求 POD面積的最大值.(3) 直線OQ與線段BC相交于點(diǎn) 丘，當(dāng)厶O(píng)BE與厶ABC相似時(shí)，求點(diǎn) Q的坐標(biāo).的拋物線y=- x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C (3, 0),交y軸

7、于點(diǎn)E ( 0, 3),動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上.(1) 求拋物線解析式；(2) 假設(shè)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AtB方向以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B停止，設(shè) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作PD丄AB交AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D平行于y軸的直線I交拋物線 于點(diǎn)Q,連接AQ, CQ,當(dāng)t為何值時(shí)， ACQ的面積最大？最大值是多少？(3) 假設(shè)點(diǎn)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，在 x軸上方是否存在點(diǎn) P,使得以點(diǎn)P, M , E, C 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明 理由.丿/AQ71、1 6A An°31/備用圖10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y= ax2+b

8、x+2 (0)與x軸交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) D (-2, - 3)和點(diǎn)E (3, 2),點(diǎn)P是第 一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1) 求直線DE和拋物線的表達(dá)式;(2) 在y軸上取點(diǎn)F ( 0, 1),連接PF, PB，當(dāng)四邊形OBPF的面積是7時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) 在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn) P在拋物線對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，直線DE上存在兩點(diǎn)M , N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方)，且MN = 2 爲(wèi)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿PtM宀A的路線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程最短時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).【參考答案】1. 閱讀材料：如圖1,過(guò)厶ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與

9、水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫 ABC的“水平寬 (a),中間的這條直線在 ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫厶ABC的“鉛垂高(h).我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：ABC4ah, 即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半解答以下問(wèn)題：如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C (1, 4),交x軸于點(diǎn) A (3, 0),交y軸于點(diǎn) B.(1) 求拋物線和直線 AB的解析式;(2)求厶CAB的鉛垂高 CD及Sa cab；(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使 Spab=一-Sacab?假設(shè)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)可求出二次函數(shù)的解析式然后根據(jù)求出的二次函數(shù)的解析式，

10、求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可用待定系數(shù)法用B、A的坐標(biāo)求出AB所在直線的解析式；(2) 要求三角形CAB的面積，根據(jù)題中給出的求三角形面積的求法，那么要先求出水平寬和鉛垂高，求鉛垂高就要求出C, D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)，C點(diǎn)的坐標(biāo)，可用(1)中的一次函數(shù)求出D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么C, D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值就是三角形CAB的鉛垂高，而水平寬是 A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這樣可根據(jù)題中給出的求三角形的面積的方法得出 三角形CAB的面積；(3) 可先根據(jù)(2)中三角形CAB的面積得出三角形 PAB的面積，三角形 PAB中，水平寬是A的橫坐標(biāo)為定值，因此根據(jù)三角形PAB的面積可得出此時(shí)的鉛垂高，然后用拋物線的解析式以及一次函數(shù)

11、的解析式，先表示出鉛垂高，然后根據(jù)由三角形PAB的面積求出的鉛垂高可得出關(guān)于 x的方程，即可得出 x的值，然后代入二次函數(shù)式中即可得出【解答】解(1)設(shè)拋物線的解析式為：yi= a (x- 1) 2+4 把A (3, 0)代入解析式求得 a=- 1 所以 yi =-( x - 1) 2+4 =- x2+2x+3 設(shè)直線AB的解析式為：y2= kx+b由y1=- x2+2x+3求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 3)把 A (3, 0), B (0, 3)代入 y2 = kx+b 中解得：k=- 1, b = 3所以 y2 =- x+3 ；(2) 因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 4)所以當(dāng) x= 1 時(shí)，y1 = 4

12、, y2= 2所以 CD = 4 - 2= 2S CAB =X 3X 2= 3 (平方單位)；(3) - SPAB= Sa CAB= X 3=8 8P (m,- m2+2m+3)過(guò)點(diǎn)P作PE丄x軸交AB于F那么 F ( m，- m+3)當(dāng)P在AB上方時(shí),2718 -S pab=x 3X(-2m2+2m+3+m - 3)m1 = m2= I二 P1 (315當(dāng)P在AB下方時(shí)2712 c。、Spab= 一伙 3X( - m+3+m2 - 2m- 3). 3+32, 3-3V2 36迥、P2 ( ) P3 ()(，.，)，P (r,)【點(diǎn)評(píng)】此題結(jié)合三角形面積的求法考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)

13、用，讀懂題意，弄清水平寬和鉛垂高的意義是解題的關(guān)鍵.2. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(-2, 0),連接0A,將線段OA繞原點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段 0B .(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過(guò)A、0、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3) 在(2)中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)。，使厶B0C的周長(zhǎng)最小？假設(shè)存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4) 如果點(diǎn)P是(2)中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在 x軸的下方，那么 PAB是否有最大 面積？假設(shè)有，求出此時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo)及 PAB的最大面積；假設(shè)沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.0A繞原點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，貝U 0B與x軸的正方向夾角為

14、60°,過(guò)點(diǎn)B作BD丄x軸于點(diǎn)D，解直角三角形可得 0D、BD的長(zhǎng)，可表示B點(diǎn)的坐標(biāo);(2) 直接將A、0、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式的一般式，可求解析式；(3) 因?yàn)辄c(diǎn)A, 0關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，連接 AB交對(duì)稱(chēng)軸于C點(diǎn)，C點(diǎn)即為所求，求直線 AB的解析式，再根據(jù) C點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，求縱坐標(biāo)；(4) 設(shè)P (x, y) (- 2<xv 0, yv 0),用割補(bǔ)法可表示厶PAB的面積，根據(jù)面積表達(dá)式 再求取最大值時(shí)，x的值.【解答】 解：(1)過(guò)點(diǎn)B作BD丄x軸于點(diǎn)D，由可得： 0B = 0A= 2,Z B0D = 60在 Rt 0BD 中，/ 0DB = 90°,/ 0B

15、D = 30 0D = 1, DB = y'L;點(diǎn)B的坐標(biāo)是1 ,.'：.設(shè)所求拋物線的解析式為y=第+頁(yè)+共瑟),由可得:c=0-H -.,4a*2b+c=0所求拋物線解析式為y=(3)存在，由 y = x2+ - x 配方后得：y=(x+1)-333拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為 x=-1(也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出)點(diǎn) C在對(duì)稱(chēng)軸 x=- 1上， BOC的周長(zhǎng)=OB+BC+CO;/ OB= 2,要使 BOC的周長(zhǎng)最小，必須 BC+CO最小，點(diǎn) O與點(diǎn) A關(guān)于直線 x=- 1對(duì)稱(chēng)，有 CO= CA BOC 的周長(zhǎng)=OB+BC+CO = OB + BC+CA當(dāng)A、C、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C為直線A

16、B與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)時(shí), 時(shí)厶BOC的周長(zhǎng)最小.BC+CA最小，此設(shè)直線AB的解析式為y= kx+b，那么有:孝b普解得：k=直線AB的解析式為y =當(dāng) x = - 1 時(shí)，y =所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-(4)設(shè) P (x, y) (- 2v xv0, yv 0),那么y 亠x2+ 寧x過(guò)點(diǎn)P作PQ丄y軸于點(diǎn) Q, PG丄x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)A作AF丄PQ軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BE丄PQ軸于點(diǎn) E,那么 PQ=- x, PG =- y,由題意可得：PAB= S 梯形 AFEB - SAFP - SBEP(AF+BE)?FE二AF?FP-丄PE?BE叨 2.當(dāng)訂 y)(x+2)-y ( 1 - X)(血-

17、y)時(shí)， PAB得面積有最大值，最大面積為拋物線解析式的求法，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求線段和最小的問(wèn)題，也考查了在坐標(biāo)系里表示面積及求面積最大值等問(wèn)題;解答此題4也可以將直線 AB向下平移至與拋物線相切的位置，聯(lián)立此時(shí)的直線解析式與拋物線解析式，可求唯一交點(diǎn)p的坐標(biāo).3. 如圖，拋物線y= ax2+bx+4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為 A (- 4, 0)、B (2, 0),與y軸交 于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D. E (1, 2)為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交 于 F、G.(1) 求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn) D的坐標(biāo)；(2) 在直線EF上求一點(diǎn)H，使 CDH的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)及H點(diǎn)的坐

18、標(biāo)；(3) 假設(shè)點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， EFK的面積最大? 并求出最大面積.DZA >r0V【分析】(1)將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而可用配方法求出其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)根據(jù)拋物線的解析式可求出 C點(diǎn)的坐標(biāo)，由于CD是定長(zhǎng)，假設(shè) CDH的周長(zhǎng)最小， 那么CH + DH的值最小，由于 EF垂直平分線段 BC，那么B、C關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，所以 BD與EF的交點(diǎn)即為所求的 H點(diǎn)；易求得直線 BC的解析式，關(guān)鍵是求出直線 EF的解 析式；由于E是BC的中點(diǎn)，根據(jù) B、C的坐標(biāo)即可求出 E點(diǎn)的坐標(biāo)；可證 CEGs COB，根據(jù)相似三

19、角形所得的比例線段即可求出 CG、OG的長(zhǎng)，由此可求出 G點(diǎn)坐標(biāo)， 進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線 EF的解析式，由此得解；(3)過(guò)K作x軸的垂線，交直線 EF于N;設(shè)出K點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線EF16a-4b+4=0的解析式，即可表示出 K、N的縱坐標(biāo)，也就能得到 KN的長(zhǎng)，以KN為底，F(xiàn)、E橫坐 標(biāo)差的絕對(duì)值為高，可求出厶 KEF的面積，由此可得到關(guān)于 KEF的面積與K點(diǎn)橫坐標(biāo) 的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出其面積的最大值及對(duì)應(yīng)的K點(diǎn)坐標(biāo)【解答】解：(1)由題意，得解得-.- -，b=- 1，所以拋物線的解析式為尸丄 *-"4,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2 設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與

20、x 軸交于點(diǎn) M / EF垂直平分 BC, C關(guān)于直線 EG的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 B，連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn),DH+CH = DH+HB = BD =這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H ,使DH+CH最小， 即最小為於巴代二尋屈而CD彳/ +齊4* 誓 CDH的周長(zhǎng)最小值為 CD + DH+CH =-2設(shè)直線BD的解析式為y= kix+b，那么*g ,-krbi=7所以直線BD的解析式為y=-x+3由于 BC = 2| ： 口，Rt CEGs COB ,得 CE: CO= CG: CB，所以 CG = 2.5, GO = 1.5. G (0,37，同理可求得直線 EF的解析式為y=x+1.5).:-151,g；H所以Sa

21、 EFK = Sa KFN +SaKNE =(t+3)+ kn聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使厶CDH的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)(3)設(shè) K (t,斗4), xfvtv xe.過(guò)K作x軸的垂線交EF于N.那么 KN = yK - yN =十4(亍t+)9ii(1- t)= 2KN =- t2- 3t+5 =-( t+)即當(dāng)t =- 一時(shí)， EFK的面積最大，最大面積為29，此時(shí)K -【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)的綜合類(lèi)試題，考查了二次函數(shù)解析式確實(shí)定、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，難度較大.4. 如圖：直線y=- x+3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,拋物線y= ax

22、2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C (1, 0)三點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式；(2) 假設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1, 0),在直線y=- x+3上有一點(diǎn) 卩，使厶ABO與厶ADP相 似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) 在(2)的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)丘，使厶ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)首先確定 A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式； ABO為等腰直角三角形，假設(shè) ADP與之相似，那么有兩種情形，如答圖 1所示.利用相似三角形的性質(zhì)分別求解，防止遺漏；(3)如答圖2所示，分別計(jì)算 ADE的面積與四邊形

23、APCE的面積，得到面積的表達(dá)式.利用面積的相等關(guān)系得到一元二次方程，將點(diǎn)E是否存在的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根的問(wèn)題，從而解決問(wèn)題需要注意根據(jù)(2)中P點(diǎn)的不同位置分別進(jìn)行計(jì)算，在這兩種情況下，一元二次方程的判別式均小于0,即所求的E點(diǎn)均不存在.【解答】解(1)由題意得，A (3, 0), B (0, 3) 第15頁(yè)(共32頁(yè))拋物線經(jīng)過(guò) A、B、C三點(diǎn)，把 A (3, 0), B (0, 3), C (1, 0)三點(diǎn)分別代入 y = ax2+bx+c.得方程組c3,a+b+c-0解得：;1=1>=4拋物線的解析式為y= x2- 4x+3(2)由題意可得：ABO為等腰三角形，如

24、答圖1所示,假設(shè)厶 ABOAP1D,貝AO OB貝UAD "DPi- DP1 = AD = 4,- p1 (- 1, 4)假設(shè)厶 ABOs ADP2 ,過(guò)點(diǎn)P2作P2 M丄x軸于M,AD = 4, ABO為等腰三角形， ADP2是等腰三角形，由三線合一可得：DM = AM = 2= P2M，即點(diǎn) M與點(diǎn)C重合,- p2 (1 , 2)綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為Pi (- 1 , 4) , P2 (1, 2);(3)不存在.理由：如答圖2,設(shè)點(diǎn)E (x, y),貝U Smde = +|y 1=2 lyl當(dāng)P1 (- 1, 4)時(shí)，S四邊形AP1CE = Sacp1+Saace=2X 4+*

25、X 2Ty I = 4+|y|- 2|y|= 4+|y|, |y|= 4點(diǎn)E在x軸下方， - y=- 4,代入得：x2- 4x+3 =- 4,即卩 x2- 4x+7 = 0,'/=(- 4) 2 - 4X 7 =- 12v 0第16頁(yè)(共32頁(yè))此方程無(wú)解當(dāng)P2 (1, 2)時(shí)，S 四邊形 AP2CE=ACP2+SaACE= £ X 2 X 2+yX2- |y|= 2+|y|,-2|y|= 2+|y|, - |y|= 2點(diǎn)E在x軸下方，y= 2,代入得：x2 4x+3 = 2, 即卩 x2 4x+5 = 0,- 4) 2 4X 5= 4V 0此方程無(wú)解綜上所述，在 x軸下方的

26、拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E.MK1【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、圖形面積的計(jì)算以及一元二次方程根的判別式，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多.注意在2 3問(wèn)中，均有兩種情形,需要分類(lèi)討論計(jì)算，防止漏解；3問(wèn)中是否存在點(diǎn)E的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為一元二次方程實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)的問(wèn)題，需要注意這種解題方法作為中考?jí)狠S題，此題綜合性強(qiáng)，難度較大,利于提高學(xué)生的綜合解題能力，是一道不錯(cuò)的題目.5. 如圖，拋物線 y= ax2+bx+c 經(jīng)過(guò) A (- 3, 0), B (1, 0), C (0, 3)三點(diǎn).(1) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2) 如圖1, P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，假設(shè)PAC面積為3，求點(diǎn)P

27、的坐標(biāo)；(3) 如圖2, D為拋物線的頂點(diǎn)，在線段 AD上是否存在點(diǎn) M，使得以M, A, O為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似？假設(shè)存在，求點(diǎn) M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.iS2)【分析】(1)利用待定系數(shù)法，然后將 A、B、C的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的 解析式；(2) )過(guò)P點(diǎn)作PQ垂直x軸，交AC于0,把厶APC分成兩個(gè)厶APQ與厶CPQ，把PQ作為兩個(gè)三角形的底，通過(guò)點(diǎn)A, C的橫坐標(biāo)表示出兩個(gè)三角形的高即可求得三角形的面積.(3) 通過(guò)三角形函數(shù)計(jì)算可得/ DAO = Z ACB，使得以M , A, O為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相似，那么有兩種情況，/ AOM = Z CAB=

28、 45°，即 0M 為 y=- x,假設(shè)/AOM =Z CBA, 那么OM為y=- 3x+3，然后由直線解析式可求 0M與AD的交點(diǎn)M .【解答】解：(1)把A (- 3, 0), B (1, 0), C (0, 3)代入拋物線解析式y(tǒng) = ax2+bx+c 得r9a_3b+c-0 a+b+c=0,-1解得"二-2,L匕二3所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=- x2- 2x+3.(2)如解(2 )圖1,過(guò)P點(diǎn)作PQ平行y軸，交AC于Q點(diǎn)，A (- 3, 0), C (0 , 3),第19頁(yè)(共32頁(yè))直線 AC解析式為y= x+3,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為x,- x2- 2x+3.,那么Q點(diǎn)

29、坐標(biāo)為x, x+3,PQ= x2 - 2x+3 - x+3=- x2- 3x. S"AC=±A J,.,.1 . -厘-3衷3=3,解得：xi=- 1 , x2=- 2.當(dāng)x=- 1時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為-1, 4,當(dāng)x=- 2時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為-2, 3,綜上所述：假設(shè) PAC面積為3,點(diǎn)P的坐標(biāo)為-1 , 4或-2, 3,3如解3圖1 ,過(guò)D點(diǎn)作DF垂直x軸于F點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AE垂直BC于E點(diǎn),/ D為拋物線 y=- x2- 2x+3的頂點(diǎn)， D點(diǎn)坐標(biāo)為-1, 4,又 A - 3, 0,直線 AD 為 y = 2x+6, AF = 2, DF = 4 , tan/ DAB = 2 ,

30、 B 1 , 0, C 0 , 3 tan/ ABC = 3 , BC = ±' . iii , sin/ABC='',直線 BC 解析式為 y=- 3x+3./ AB= 4 ,BE=J5 AE= AB?sin/ ABC= 4 x 色-10CE= ：!5tan/ACB = 1 tan/ ACB = tan/ PAB = 2 , / ACB=/ PAB ,使得以 M , A , O為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似，那么有兩種情況，如解3圖2I .當(dāng)/AOM=/ CAB= 45° 時(shí)， ABCOMA ,即 OM 為 y=- x ,設(shè)OM與AD的交點(diǎn)M x ,

31、 y依題意得：Ly=2x+6即M點(diǎn)為-2, 2.n.假設(shè)/ AOM =Z CBA,即卩 0M / BC,直線BC解析式為y=- 3x+3.直線0M為y=- 3x,設(shè)直線 0M與AD的交點(diǎn)M x, y.那么依題意得：1y=-3y=2x+6解得6i=一5*L8V 5即 M 點(diǎn)為._-!，,綜上所述：存在使得以 M, A, 0為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為-2,2或黒喙d y1化F飛 / 。 *解3動(dòng)1解圖1【點(diǎn)評(píng)】此題結(jié)合三角形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的 長(zhǎng)度，從而求出線段之間的

32、關(guān)系.6. 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=- 5x+5與x軸，y軸分別交于A, C兩點(diǎn)，拋物線y = x2+bx+c經(jīng)過(guò)A, C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為 B.(1) 求拋物線解析式及 B點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 假設(shè)點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置 時(shí)，四邊形 AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)及四邊形 AMBC的面積；(3) 如圖2，假設(shè)P點(diǎn)是半徑為2的O B上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位 置時(shí)，PC+于A的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由.得點(diǎn)B坐標(biāo).y= 5x+5求點(diǎn)A、C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求拋物線解析式，進(jìn)而求(2)從x軸把四邊

33、形 AMBC分成 ABC與厶ABM ;由點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)求 ABC面積;設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線段 MH，那么能用m表示MH的長(zhǎng)，進(jìn)而求厶ABM的面積，得到 ABM面積與m的二次函數(shù)關(guān)系式，且對(duì)應(yīng)的 a值小于0,配方即求 得m為何值時(shí)取得最大值，進(jìn)而求點(diǎn)M坐標(biāo)和四邊形 AMBC的面積最大值.(3)作點(diǎn)D坐標(biāo)為(4, 0),可得BD = 1，進(jìn)而有翌=聖=2,再加上公共角/ PBDrto I代口丨 0=/ABP，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等可證PBDABP，得二等于相似比二，PA2進(jìn)而得PD = AP,所以當(dāng)C、P、D在同一直線上時(shí)，PC+二PA= PC+PD = CD最小.用2 2

34、兩點(diǎn)間距離公式即求得 CD的長(zhǎng).【解答】解(1)直線y=- 5x+5, x= 0時(shí)，y= 5 C (0, 5)y= 5x+5= 0 時(shí)，解得：x= 1- A (1, 0)拋物線 y= x2+bx+c經(jīng)過(guò) A, C兩點(diǎn)Ji%心0解得：嚴(yán)-&0+0+c=5L c=5拋物線解析式為 y= x2 6x+5當(dāng) y= x2 6x+5 = 0 時(shí)，解得：X1 = 1, x2= 5 B ( 5, 0)(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)M作MH丄x軸于點(diǎn)HA (1, 0), B ( 5, 0), C ( 0, 5)AB= 5 - 1 = 4, 0C= 5-Sabc = 2"AB?0C= X 4X 5= 10

35、2 2點(diǎn)M為x軸下方拋物線上的點(diǎn) 設(shè) M ( m, m2-6m+5) (1v mv 5).MH = |m2- 6m+5|=- m2+6m- 5S abm = -AB?MH =2X 4 (- m2+6m - 5) =- 2m2+12m - 10=- 2 ( m - 3)2+8 S 四邊形 AMBC = Saabc+SaAbm = 10+ - 2 ( m- 3) 2+8 = - 2 ( m- 3) 2+18當(dāng)m= 3,即卩M 3, - 4時(shí)，四邊形 AMBC面積最大，最大面積等于18可以直接利用點(diǎn) M是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，面積最大求解(3)如圖2,在x軸上取點(diǎn) D (4, 0),連接PD、CD - B

36、D = 5 - 4 = 1/ AB= 4, BP = 2.H iBP _AB 2/ PBD = Z ABP A PBDsA ABP巴=匹=丄麗=麗=可 PD=丄人卩2 PC+丄 PA= PC+PD2當(dāng)點(diǎn)C、P、D在同一直線上時(shí)， PC丄PA= PC+PD = CD最小zT CD = VoC3+OD2=V52 + 43=741 pc+-Pa的最小值為 何kL0圖1【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求二次函數(shù)最大值，解一次方程(組)和一元二次方程，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短求線段與線段的幾分之幾的和的最小值，一般將“線段的幾分之幾進(jìn)行轉(zhuǎn)換，變成能用“兩點(diǎn)之間線段最短的圖形來(lái)求最

37、小值.7. ：如圖，拋物線 y = ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) A, B (- 3, 0), C (1, 0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1) 求拋物線解析式；(2) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， PAB的面積最大？(3) 過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段 AB于點(diǎn)D，再過(guò)點(diǎn)P作PE/ x軸交拋物線于點(diǎn)E, 連接DE，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn) P使厶PDE為等腰直角三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；假設(shè)分析】 1用待定系數(shù)法即可求拋物線解析式(2)設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，過(guò)點(diǎn)P作PF / y軸交AB于點(diǎn)F，求直線AB解析式，即能用t 表示點(diǎn)F坐標(biāo)，進(jìn)而表示 PF的長(zhǎng).把 PAB分成 PAF與厶PB

38、F求面積和，即得到厶 PAB面積與t的函數(shù)關(guān)系，配方即得到 t為何值時(shí)， PAB面積最大，進(jìn)而求得此時(shí)點(diǎn) P 坐標(biāo).(3)設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t,即能用t表示PD的長(zhǎng).根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)P、E關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得用t表示點(diǎn)E橫坐標(biāo)，進(jìn)而用t表示PE的長(zhǎng)(注意點(diǎn)P、E左右位置不確定，需分類(lèi)討論)由于 PDE要成為等腰直角三角形，/ DPE = 90°,所以PD = PE,把含t的式子代入求值即得到點(diǎn) P坐標(biāo).【解答】解(1)：拋物線y=ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)B (- 3, 0), C (1, 0)ia+b+3=0解得:ra=-lLb=-2拋物線解析式為y=- x2- 2x+3

39、(2)過(guò)點(diǎn)P作PH丄x軸于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)FT x= 0 時(shí)，y=- x2 - 2x+3 = 3 A (0, 3)直線 AB解析式為y= x+3點(diǎn)P在線段AB上方拋物線上 設(shè) P (t,- t2- 2t+3) (- 3 v t v 0) F (t, t+3).pf =- t2- 2t+3 -(t+3)=- t2 - 3t S PAB=PAF+S PBF=PF?BH=亍 PF?OB=(-t2 - 3t)273圍)2,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)為(-, PAB面積最大(3)存在點(diǎn)P使厶PDE為等腰直角三角形設(shè) P (t,- t2- 2t+3) (- 3 v t v 0),貝 U D (t , t+3) PD

40、=- t2- 2t+3 -(t+3 )=- t2- 3tT拋物線 y=- x2- 2x+3 =-( x+1) 2+4對(duì)稱(chēng)軸為直線 X=- 1 PE / x軸交拋物線于點(diǎn)E二yE= yp,即點(diǎn)E、P關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)2xe= 2 XP =- 2 t二 PE= |xe - xp|= | 2 2t| PDE為等腰直角三角形，/ DPE = 90 ° PD = PE當(dāng)3v t <- 1 時(shí)，PE =- 2 2t - t2- 3t=- 2 2t解得：ti= 1 舍去，t2=- 2- P 2, 3當(dāng)1v t V 0 時(shí)，PE= 2+2t - t2- 3t= 2+2t解得亠平，t2 =平舍去2.

41、P=!叮綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為-2, 3或-5+V17 -5+3V17時(shí)使 PDE為等腰直角1/圏i、x【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求二次函數(shù)最值，等腰直角三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，一元二次方程的解法分類(lèi)討論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意討論求得的解是否符合分類(lèi)條件，是否需要舍去.8. 如圖，拋物線y= ax 2 1x OG ( xd - xp)=77 (3+2m) (2 - m)=- m2+77m+3，即可求解;(3) 分/ ACB=Z BOQ、/ BAC=Z BOQ,兩種情況分別求解，通過(guò)角的關(guān)系，確定直 線OQ傾斜角，進(jìn)而求解.【解答】 解(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y= a (x+1) (x

42、- 3),將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得:a= 1,故拋物線的表達(dá)式為： y = x2 - 2x- 3; 第27頁(yè)(共32頁(yè))+bx+c與x軸交于點(diǎn)A (- 1, 0),點(diǎn)B (3, 0),與y軸交于點(diǎn)C,且過(guò)點(diǎn)D (2, - 3).點(diǎn)P、Q是拋物線y= ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式；(2) 當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求 POD面積的最大值.(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn) 丘，當(dāng)厶O(píng)BE與厶ABC相似時(shí)，求點(diǎn) Q的坐標(biāo).)(x- 3),將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式，即可求解;(2) S POD =-：(2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)P ( m, m2 - 2m-3), L xSi將點(diǎn)

43、P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y= sx+t并解得:直線 PD的表達(dá)式為：y= mx- 3- 2m,貝U OG = 3+2m,m+3,49£Spod = OG ( xd - xp)= ± (3+2m) (2 - m)=- m2+- 1v 0,故Spod有最大值，當(dāng) m=時(shí)，其最大值為 4(3)T OB= OC = 3,./ OCB = Z OBC = 45°,/ ABC=Z OBE，故 OBE與厶ABC相似時(shí)，分為兩種情況:當(dāng) / ACB = / BOQ 時(shí)，AB= 4, BC= 3 . :, AC=門(mén),AH = 2 .:,貝U sin/ ACB =丄二=.，貝

44、U tan/ ACB = 2, AC那么直線0Q的表達(dá)式為：y =- 2x，聯(lián)立 并解得：x=:，故點(diǎn) Qi 陰-軸3, Q2 3,珂3, / BAC=Z BOQ 時(shí)，/ 0C 3/tan/ BAC= 3 = tan/ BOQ,OA 1那么點(diǎn) Q n， 3n,那么直線OQ的表達(dá)式為：y =- 3x聯(lián)立并解得：x =故點(diǎn)Q3 綜上或02，2 ，Q4.;9V3 V32【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等，其中3,要注意分類(lèi)求解，防止遺漏.9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,Rt ABC的邊BC在x軸上，/ ABC = 90°，以 A為頂點(diǎn)線>

45、拋A0的x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 3, 0,交y軸于點(diǎn)E 0, 3,動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上.求拋物線解析式;相2假設(shè)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AtB方向以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B停止，設(shè) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作PD丄AB交AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D平行于y軸的直線I交拋物線 時(shí)，點(diǎn)Q,連接AQ, CQ,當(dāng)t為何值時(shí)， ACQ的面積最大？最大值是多少？Q一一3假設(shè)點(diǎn)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，在 x軸上方是否存在點(diǎn) P,使得以點(diǎn)P, M , E, C 的為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明由.,-2 或-，2 或，【分析】1將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解;

46、Sa ACQ=DQ X BC,即可求解;3分EC是菱形一條邊、EC是菱形一對(duì)角線兩種情況，分別求解即可.【解答】解：1將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:故拋物線的解析式為：y=- x2+2x+3,c=3解得：Jb=2 t匚二3那么點(diǎn) A (1 , 4);2將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:直線 AC的表達(dá)式為：y=- 2x+6,t+2,4 - t),設(shè)點(diǎn) Q (七+乙,4 -亡-),OI f12 r.，點(diǎn) P (1, 4- t),那么點(diǎn) D (| -:SaACQ= X DQ X BC = t2+t,T-< 0，故Saacq有最大值，當(dāng)t= 2時(shí)，其最大值為1;4(3)設(shè)點(diǎn) P (1, m),點(diǎn) M