可微的幾何意義實(shí)用教案

1、定義(dngy) 3 設(shè)曲面 S 上一一個(gè)(y )平面, S 上的動(dòng)點(diǎn) 仿照這個(gè)(zh ge)想法, 我們引進(jìn)曲面 S 在點(diǎn) M 的切平 面的定義(參見圖2). MQhdxyzOS 圖 2 當(dāng) Q 在 S 上以任意方式趨近于 M 時(shí), 有0lim0,dhd點(diǎn) M, 為通過點(diǎn) M 的 Q 到定點(diǎn) M 和到平面 的距離分別記為 d 和 h. 若 第1頁/共14頁第一頁，共15頁。定理(dngl) 3 (dngl) 3 00( , )(,)zf x yP xy 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微0000000(,)()(,)()( ),xyzzfxyxxfxyyyo 0000000(,)()(,)().xyz

2、zfxyxxfxyyy000000( , )(,)()zf x yM xy zzf xy 在在點(diǎn)點(diǎn), ,存存在在 切切平平面面 ：證證：“”00( , )(,)zf x yP xy 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微2200000(,),.()()zf xyxxyy 其其中中 則稱 為曲面 S 在點(diǎn) M的切平面, 稱 M 為切點(diǎn). 第2頁/共14頁第二頁，共15頁。討論過點(diǎn)000(,)M xyz 的的平平面面 ：0000000(,)()(,)(),xyzzfxyxxfxyxy ( , , )Q x y z 平平面面由于 S 上動(dòng)點(diǎn) 到的距離為 0000000220000|(,)()(,)()|1(,)(

3、,)xyxyzzfxyxxfxyyyhfxyfxy220000| ( )|,1(,)(,)xyofxyfxy 第3頁/共14頁第三頁，共15頁。000222()()(),dxxyyzz 00hd 因因此此, ,由由，并并當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有220000| ( )|10,1(,)(,)xyhhodfxyfxy M 到 Q 的距離(jl)為 ( , )zf x y 在點(diǎn)在點(diǎn)根據(jù)定義 便知平面 即為曲面P 的切平面(pngmin)第4頁/共14頁第四頁，共15頁。000( , )(,)zf x yM xyz 若若曲曲面面在在點(diǎn)點(diǎn)存存在在切切平平面面第一步 設(shè) Q(x, y, z) 是曲面(qmin)上任意一

4、點(diǎn), 由 Q 到這 個(gè)平面(pngmin)的距離為 00022|()()|.1zzA xxB yyhAB“”0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy00022222,()()()()() .xxxyyyzzzxydxyz ，令 00(,)xAfxy 00(,)yBfxy 第5頁/共14頁第五頁，共15頁。QM 0.hd由切平面的定義知道, 當(dāng)時(shí), 有 因此對于充分(chngfn)接近的 M 與 Q, 有 22|1hzA xB yddAB由此則得 221|() .22dzAxByz 221,2 1AB第6頁/共14頁第六頁，共15頁。由由于于2222|11zA xB yd

5、ABdAB 221,hdABd |zA xB y 因此, 想要證得當(dāng) d 充充分分小小時(shí)時(shí)，為為一一有有界界量量. .f000(,)P xy第二步 分析: 要證明 在點(diǎn)可微, 事實(shí) 上就是(jish)需證 ()( ).zAxByo 第7頁/共14頁第七頁，共15頁。|:z 是有界量是有界量|abab由由第三步 先證 可推得 2211|(|),22zAxByzz 故有 11|,22zAxBy |2 |12(|)1.zxyABAB 第8頁/共14頁第八頁，共15頁。第四步 :d 再證是有界量再證是有界量由上式進(jìn)一步可得 2221|12( | 1 ).zdzzAB 00(,)P xy根據(jù)第二步的分析

6、，這就證得在點(diǎn) 可微. . 第9頁/共14頁第九頁，共15頁。000( , )(,)zf x yM xyz 在在點(diǎn)點(diǎn)處的切平面方程為0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy過切點(diǎn) M 與切平面垂直的直線稱為(chn wi)曲面在點(diǎn) M 的 由切平面方程知道(zh do)，法向量為 0000(,),(,),1 ),xynfxyfxy于是(ysh)過切點(diǎn) M 的法線方程為 0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy法線.第10頁/共14頁第十頁，共15頁。xyz 設(shè)設(shè) ， ， 分分別別是是法法線線與與 軸軸、 軸軸、 軸軸正正向向的的夾夾角角，0000(,)

7、,(,),1)xynfxyfxy則則法法向向量量的的方方向向余余弦弦是是00(,)cosxfxy 00(,)cosyfxy 1cos 220000= 1+(,)(,)xyfxyfxy 其其中中第11頁/共14頁第十一頁，共15頁。所以切平面(pngmin)方程為 0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy 2241(2,1,4)zxy 例例 、求求曲曲面面在在點(diǎn)點(diǎn)的的切切平平面面方方程程和和.法法線線方方程程以以及及法法向向量量的的方方向向余余弦弦2xzx 解解：2yzy (2,1)4xz (2,1)2yz 44(2)2(1).zxy 即即4260.xyz 即即第12頁/共14頁第十二頁，共15頁。法線(f xin)方程為 214.421xyz法法向向量量的的方方向向余余弦弦是是4cos21 22220000= 1+(,)(,)= 1+4 +2 = 21xyfxyfxy2cos21 1cos21 第13頁/共14頁第十三頁，共15頁。感謝您的觀看(gunkn)！第14頁/共14頁第十四頁，共15頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)定義 3 設(shè)曲面 S 上一。一個(gè)平面, S 上的動(dòng)點(diǎn)。仿照這個(gè)想法, 我們引。進(jìn)曲面 S 在點(diǎn) M 的切平。由于(yuy)