排列組合、二項式定理與概率及統(tǒng)計

1、主講人：黃岡中學高級教師湯彩仙一、復習策略排列與組合是高中數(shù)學中從內(nèi)容到方法都比較獨特的一個組成部分，是進一步學習概率論的基礎知識，該部分內(nèi)容，不論其思想方法和解題都有特殊性，概念性強，抽象性強，思維方法新穎，解題過程極易犯“重復”或“遺漏”的錯誤，并且結果數(shù)目較大，無法一一檢驗，因此給考生帶來一定困難解決問題的關鍵是加深對概念的理解，掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，科學周全的思考、分析問題二項式定理是進一步學習概率論和數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識，把握二項展開式及其通項公式的相互聯(lián)系和應用是重點概率則是概率論入門，目前的概率知識只是為進一步學習概率和統(tǒng)計打好基礎，做好鋪墊學習中要注意基本概念的理解，要注意與

2、其他數(shù)學知識的聯(lián)系，要通過一些典型問題的分析，總結運用知識解決問題的思維規(guī)律縱觀近幾年高考，排列、組合、二項式定理幾乎每年必考，考題多以選擇題、填空題出現(xiàn)，題小而靈活，涉及知識點都在兩三個左右，綜合運用排列組合知識，分類計數(shù)和分步計數(shù)原理；二項式定理及二項式系數(shù)的性質計算或論證一些較簡單而有趣的小題也在高考題中常見，概率及概率統(tǒng)計的內(nèi)容，從近幾年新課程卷高考來看，每年都有一道解答題，占12分左右排列與組合的應用題，是高考常見題型，其中主要考查有附加條件的應用問題.解決這類問題通常有三種途徑:(1)以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，

3、再考慮其他位置.(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù).（4）某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；（5）某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”；在求解排列與組合應用問題時，應注意：(1)把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；(2)通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；(3)分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；(4)列出式子計算和作答二、典例剖析題型一：排列組合應用題解決此類問題的方法是：直接法，先考慮特殊元素

4、（或特殊位置），再考慮其他元素（或位置）；間接法，所有排法中減去不合要求的排法數(shù)；對于復雜的應用題，要合理設計解題步驟，一般是先分組，后分步，要求不重不漏，符合條件例1、（08安徽理12）12名同學合影，站成了前排4人后排8人現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）ABCD解：從后排8人中選2人共種選法，這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，則先從4人中的5個空擋插入一人，有5種插法；余下的一人則要插入前排5人的空擋，有6種插法，故為；綜上知選C例2、（08湖北理6）將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志

5、愿者的方案種數(shù)為（）A540B300C180D150解：將5分成滿足題意的3份有1，1，3與2，2，1兩種，所以共有種方案，故D正確例3、四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的，沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，現(xiàn)打算用編號為、的4個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（）A96B48C24D0解：由題意分析，如圖，先把標號為1，2，3，4號化工產(chǎn)品分別放入4個倉庫內(nèi)共有種放法；再把標號為5，6，7，8號化工產(chǎn)品對應按要求安全存放：7放入，8放入，5放入，6放入；或者6放入，7放入，8放入，5放入；兩種放法

6、綜上所述：共有種放法故選B例4、在正方體中，過任意兩個頂點的直線中成異面直線的有_對解法一：連成兩條異面直線需要4個點，因此在正方體8個頂點中任取4個點有種取法每4個點可分共面和不共面兩種情況，共面的不符合條件得去掉.因為在6個表面和6個體對角面中都有四點共面，故有種但不共面的4點可構成四面體，而每個四面體有3對異面直線，故共有對解法二：一個正方體共有12條棱、12條面對角線、4條體對角線，計28條，任取兩條有種情況，除去其中共面的情況：（1）6個表面，每個面上有6條線共面，共有條；（2）6個體對角面，每個面上也有6條線共面，共有條；（3）從同一頂點出發(fā)有3條面對角線，任意兩條線都共面，共有，

7、故共有異面直線=174對題型二：求展開式中的系數(shù)例5、（08廣東理10）已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于120，則_解：按二項式定理展開的通項為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1例6、若多項式，則a9等于（）A9B10C9D10解：=例7、展開式中第6項與第7項的系數(shù)的絕對值相等，求展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)絕對值最大的項解：，依題意有，n=8則展開式中二項式系數(shù)最大的項為設第r1項系數(shù)的絕對值最大，則有則系數(shù)絕對值最大項為例8、求證：證：（法一）倒序相加：設又，由得：，即（法二）：左邊各組合數(shù)的通項為，（法三）：題型三：求復雜事件的概率例9、（08福建理5）某一批花生

8、種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（）ABCD解：由例10、甲、乙兩個圍棋隊各5名隊員按事先排好的順序進行擂臺賽，雙方1號隊員先賽，負者被淘汰，然后負方的隊員2號再與對方的獲勝隊員再賽，負者又被淘汰，一直這樣進行下去，直到有一方隊員全被淘汰時，另一方獲勝，假設每個隊員的實力相當，則甲方有4名隊員被淘汰，且最后戰(zhàn)勝乙方的概率是多少？解：根據(jù)比賽規(guī)則可知，一共比賽了9場，并且最后一場是甲方的5號隊員戰(zhàn)勝乙方的5號隊員，而甲方的前4名隊員在前8場比賽中被淘汰，也就是在8次獨立重復試驗中該事件恰好發(fā)生4次的概率，可得，又第9場甲方的5號隊員戰(zhàn)勝乙方的5號隊員的概率為，所

9、以所求的概率為題型四：求離散型隨機變量的分布列、期望和方差例11、某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準備開車到單位B處上班. 若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖（例如：ACD算作兩個路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為（1）請你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；（2）若記路線ACFB中遇到堵車次數(shù)為隨機變量，求的數(shù)學期望解：（1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN因為各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線ACDB中遇到堵車的概率P1為=11P（AC）1P

10、（CD）1P（DB）=1；同理：路線ACFB中遇到堵車的概率P2為1P（小于）路線AEFB中遇到堵車的概率P3為1P（小于）顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小只可能在以上三條路線中選擇因此選擇路線ACFB，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最?。?）路線ACFB中遇到堵車次數(shù)可取值為0，1，2，3答：路線ACFB中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學期望為例12、如圖所示，甲、乙兩只小螞蟻分別位于一個單位正方體的點和點，每只小螞蟻都可以從每一個頂點處等可能地沿各條棱向各個方向移動，但不能按原線路返回比如，甲在處時可以沿、三個方向移動，概率都是；到達點時，可能沿、兩個方向移動，概率都是，已知小螞蟻每秒鐘

11、移動的距離為1個單位()若甲、乙兩只小螞蟻都移動1秒鐘，則它們所走的路線是異面直線的概率是多少？它們之間的距離為的概率是多少？()若乙螞蟻不動，甲螞蟻移動3秒鐘后，甲、乙兩只小螞蟻之間的距離的期望值是多少？解：()甲螞蟻移動1秒可以有三種的走法：即沿、三個方向，當沿方向時，要使所走的路線成異面直線，乙螞蟻只能沿、C1C方向走，概率為，同理當甲螞蟻沿方向走時，乙螞蟻走、C1C，概率為，甲螞蟻沿時，乙螞蟻走、，概率為，因此他們所走路線為異面直線的概率為；甲螞蟻移動1秒可以有三種走法：即沿、三個方向，當甲沿方向時，要使他們之間的距離為，則乙應走，此時的概率為，同理，甲螞蟻沿方向走時、甲螞蟻沿方向走時

12、，概率都為，所以距離為的概率為()若乙螞蟻不動，甲螞蟻移動3秒后，甲乙兩個螞蟻之間距離的取值有且只有兩個：和，當時，甲是按以下路線中的一個走的：、，所以其概率為，當時，甲是按以下路線中的一個走的：、所以其概率為，所以三秒后距離期望值為例13、（08湖北理17）袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n=1，2，3，4）.現(xiàn)從袋中任取一球表示所取球的標號（）求的分布列，期望和方差；（）若=ab，E=1，D=11，試求a，b的值解：（1）的分布列為：01234所以（2）由，得，即，又，所以當時，由，得；當時，由，得，或，即為所求題型五：統(tǒng)計知識例14、（08廣東）某校共

13、有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，則應在三年級抽取的學生人數(shù)為（）一年級二年級三年級女生373男生377370A24B18C16D12解：依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學生的人數(shù)應該是500，即總體中各個年級的人數(shù)比例為，故在分層抽樣中應在三年級抽取的學生人數(shù)為答案：C例15、在某校舉行的數(shù)學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名（）試問此次參賽學生總數(shù)約為多少人？（）若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問

14、設獎的分數(shù)線約為多少分？可共查閱的（部分）標準正態(tài)分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880. 98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.