北師大版九年級(jí)上冊數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)及例題相結(jié)合

1、數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章 證明（二）一、全等三角形（1）三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。（2）兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。（3）兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）。（4）全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。推論：兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）。等腰三角形的其他性質(zhì)：等腰直

2、角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則<a等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為A，底角為B、C，則A=180-2B，B=C=2、等腰三角形的判定(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。(2)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.例 下列兩個(gè)三角形中，一定全等的是（ ）（A）有一個(gè)角是40°，腰相等的兩個(gè)等腰三角形；（B）兩個(gè)等邊三角形；（C）有一個(gè)角是100°，底相等的兩個(gè)等腰三角形；（D）有一條邊相等，有一

3、個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)等腰三角形.三、等邊三角形性質(zhì)：（1）等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。（2）三線合一判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形例 已知：如圖，在等邊三角形的邊上取中點(diǎn)，的延長線上取一點(diǎn)，使 求證：.四、直角三角形（一）直角三角形的性質(zhì) 1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4、勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即其它性質(zhì)：1、直角三角形

4、斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個(gè)三角形和原三角形相似。2、常用關(guān)系式：由三角形面積公式可得：兩直角邊的積=斜邊與斜邊上的高的積（二）直角三角形的判定 1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（三）直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）例 兩個(gè)直角三角形全等的條件是（ ）（A）一銳角對應(yīng)相等； （B）兩銳

5、角對應(yīng)相等；（C）一條邊對應(yīng)相等； （D）兩條邊對應(yīng)相等.五、角的平分線及其性質(zhì)與判定1、角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。2、角的平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。定理：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。3、角的平分線的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。例 在中，90°，平分交于，于，若，則的周長是 .六、線段垂直平分線的性質(zhì)與判定1、線段的垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線的性質(zhì)定

6、理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。例 到的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是的（ ）.（A）三邊垂直平分線的交點(diǎn)； （B）三條角平分線的交點(diǎn)；（C）三條高的交點(diǎn)； （D）三邊中線的交點(diǎn).七、反證法八、互逆命題、互逆定理1、在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。2、如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆

7、定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理。第二章 一元二次方程一、一元二次方程 （一）一元二次方程定義含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。例 方程是一元二次方程，則.二、一元二次方程的解法 1、直接開平方法直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)b<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。例 第二象限內(nèi)一點(diǎn)A（x1，x22），關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B，且AB=6，則x=_2、配方法一般步驟：（

8、1） 方程兩邊同時(shí)除以a,將二次項(xiàng)系數(shù)化為1.（2） 將所得方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊。（3） 所得方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方（4） 配方，化成（5）開方，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)b<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。例 若方程有解，則的取值范圍是（）ABC D無法確定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：例 已知x24x2=0，那么3x212x2012的值為 4、因式分解法一元二次方程的一邊為0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)使用此方法。例 已知一個(gè)三角形的兩邊長是方程x2-8x+15=0的兩根，則第三邊y的取值范圍是（ ）

9、Ay<8 B3<y<5 c2<y<8 D無法確定補(bǔ)充：一元二次方程根的判別式 根的判別式1、定義：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式。2、性質(zhì)：當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。例 若關(guān)于x 的方程x2 2 (a 1 )x = (b+2)2有兩個(gè)相等的實(shí)根，則a2013+b5的值為 .例 若關(guān)于x的方程x2 2x(k-x)+6=0無實(shí)根，則k可取的最小整數(shù)為（ ）（A） - 5 （B） - 4 （C） - 3（D）- 2補(bǔ)充：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。第三

10、章 證明（三）一、平行四邊形 1、平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ)，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn)。相關(guān)結(jié)論：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點(diǎn)是對角線的交點(diǎn)，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對邊分別相等

11、的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。5、平行四邊形的面積S平行四邊形=底×高=ah例 如圖1，ABCD的周長是28cm，ABC的周長是22cm，則AC的長為（ ）（A）6cm （B）12cm （C）4cm （D）8cm例 平行四邊形的兩鄰邊分別為3、4，那么其對角線必（ ）（A） 大于1（B） 小于7 （C） 大于1且小于7 （D） 小于7或大于1二、矩形 1、矩形的定義有一個(gè)角是

12、直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)（1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四個(gè)角都是直角（3）矩形的對角線相等且互相平分（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)（對稱中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點(diǎn)連線所在的直線。3、矩形的判定（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S矩形=長×寬=ab例 如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上的一點(diǎn)，AF的延長線交DC的延長線于G，DEAG于E，且DEDC，根據(jù)上述條件，請你在圖中找出一對全等三角形

13、，并說明你的結(jié)論。三、菱形 1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)（1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的鄰角互補(bǔ)，對角相等（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3、菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積S菱形=底×高=兩條對角線乘積的一半例 菱形的兩條對角線長分別為6cm、8cm，則它的面

14、積為（ ）（A）6 （B）12 （C）24 （D）48例 菱形的周長為20cm，兩鄰角的比為1：2，則較長的對角線長為（） A4.5 cm B4 cmC5 cm D4 cm四、正方形 1、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)（1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個(gè)角都是直角 （3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點(diǎn)連線所在的直線。3、正方形的判定判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種

15、：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積設(shè)正方形邊長為a，對角線長為bS正方形=例 如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點(diǎn)，已知CEBF，垂足為M，請找出和BE相等的線段，并說明你的結(jié)論。五、等腰梯形1、等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ)。（3）等腰梯形的對角線相等。（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰

16、梯形（3）對角線相等的梯形是等腰梯形例 下列語句中，正確的是（ ）（A）平行四邊形的對角線相等 （B）平行四邊形的對角線互相垂直平分（C）等腰梯形的對角線互相垂直 （D）矩形的對角線互相平分且相等例 在四邊形ABCD中，A、B、C、D的度數(shù)比為1223，則這個(gè)四邊形是（ ）（A）平行四邊形（B）等腰梯形（C）菱形（D）直角梯形例 如圖2，等腰梯形ABCD中，ABCD，ACBC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AD=AE，ECAD，則ABC等于（）（A）75° （B）70° （C）60° （D）30°六、三角形中的中位線1、三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做

17、三角形的中位線。2、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。3、常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。七、有關(guān)四邊形四邊中點(diǎn)問題的知識(shí)點(diǎn)：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所

18、得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形；AEBFCGDH例 已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。若AB2，AD4，則圖中陰影部分的面積為（ ）（A）3 （B）4 （C）6 （D）8第四章 視圖與投影1、視圖三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。在畫視圖時(shí)，看得見的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。例 如圖

19、，一幾何體的三視圖如右：那么這個(gè)幾何體是 . 主視圖 左視圖 俯視圖 例 如果用表示1個(gè)立方體，用表示兩個(gè)立方體疊加，用表示三個(gè)立方體疊加，那么下面右圖由7個(gè)立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫出的平面圖形是（ ）2、投影（1）投影：物體在光線的照射下，在地面上或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象。（2）平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。（3）中心投影：探照燈、手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。（4）區(qū)分平行投影和中心投影：觀察光源；觀察影子。（5）從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當(dāng)光

20、線與投影垂直時(shí)的投影。點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn)；線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況：線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn)；線段平行于投影面時(shí)，投影長度等于線段的實(shí)際長度；線段傾斜于投影面時(shí)，投影長度小于線段的實(shí)際長度。平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀；平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。例 小明在操場上練習(xí)雙杠時(shí)，在練習(xí)的過程中他發(fā)現(xiàn)在地上雙杠的兩橫杠的影子（ ）A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 無法確定AEDCB例 小明希望測量出電線桿AB的高度，于是在陽光明媚的一天

21、，他在電線桿旁的點(diǎn)D處立一標(biāo)桿CD，使標(biāo)桿的影子DE與電線桿的影子BE部分重疊（即點(diǎn)E、C、A在一直線上），量得ED2米，DB4米，CD1.5米，則電線桿AB長 .3、視點(diǎn)、視線、盲區(qū)眼睛的位置稱為視點(diǎn)；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。例 當(dāng)你乘車沿一條平坦的大道向前行駛時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它們前面那些矮一些的建筑物后面去了，這是因?yàn)椋?）A 汽車開的很快 B盲區(qū)減小 C盲區(qū)增大 D 無法確定第五章 反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念一般地，如果兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示為（k是常數(shù)，k0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。（反比例函數(shù)的解

22、析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)。）2、反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)k的符號(hào)k>0k<0圖象 y O x y O x性質(zhì)x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x 的增大而減小。x的取值范圍是x0， y

23、的取值范圍是y0；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x 的增大而增大。例 在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像大致是 （ ）A B C D例 反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限內(nèi)。例 反比例函數(shù)的對稱軸有（ ）條（A）0 （B）1 （C）2 （D） 無數(shù)例 對于反比例函數(shù)()，下列說法不正確的是（ ）（A）它的圖象分布在第一、三象限 （B）點(diǎn)（，）在它的圖象上（C）它的圖象是中心對稱圖形 （D）隨的增大而增大例 已知反比例函數(shù)（k0）的圖象上有兩點(diǎn)A（），B（），且，則的值是（）（A）正數(shù)（B）負(fù)數(shù)（C）非正數(shù)（D）不能確定4、反比例函數(shù)解析式的確

24、定確定反比例函數(shù)解析式的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義過反比例函數(shù)圖像上任一點(diǎn)P（x,y）作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足分別是M、N，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。ABOxy例 如圖，A為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，AB垂直軸于B點(diǎn)，若SAOB3，則的值為（ ）A、6 B、3C、D、不能確定 第六章 頻率與概率1、頻率（1）在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)；（2）每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率； 即：（3）在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻