1991年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題及答案(修正版)

1、1991年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題第一試一、選擇題1.設等式在實數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a，x，y是兩兩不同的實數(shù)，則的值是（ ） （a）3 ； （b） ； （c）2 ； （d） 2. 如圖，abefcd，已知ab20，cd80，bc100，那么ef的值是（ ）abcdef（a） 10； （b）12； （c） 16； （d）183. 方程x2x10的解是（ ）（a）； （b）；（c）或； （d）4. 已知：（n是自然數(shù)）那么的值是（ ）（）；（）； （）； （）5. 若1×2×3××99×10012nm，其中m為自然數(shù)，n為使得等式成立的最大的自然數(shù)

2、，則m （ ）（）能被整除，但不能被整除； （）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除； （）不能被整除，也不能被整除6. 若a，c，d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足abc， bcd， cda，那么abcd的最大值是（ ）（）1； （）5； （）0； （）1=17. 如圖，正方形opqr內(nèi)接于abc已知aor、bop和crq的面積分別是s1，s3和s1，那么，正方形opqr的邊長是（ ）（）；（）；（）2 ；（）38. 在銳角abc中，ac1，abc，a60°，abc的外接圓半徑r1，則（ ）（）c2 ； （）0c ； （c）c2 ； （d）c2 二、填空題gabcdee是平

3、行四邊形abcd中bc邊的中點，ae交對角線bd于g，如果beg的面積是，則平行四邊形abcd的面積是 已知關于x的一元二次方程ax2bxc0沒有實數(shù)解甲由于看錯了二次項系數(shù)，誤求得兩根為2和4；乙由于看錯了某一項系數(shù)的符號，誤求得兩根為1和4，那么， 3設m，n，p，q為非負數(shù)，且對一切x0，恒成立，則abcd135°120°四邊形abcd中，abc135°，bcd120°，ab，bc，cd6，則ad 第二試一、 xy，xy，x y， 四個數(shù)中的三個有相同的數(shù)值，求出所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對（x , y）二、abc中，abacbc，d點在bc上，e點在b

4、a的延長線上，且bdbeac，bde的外接圓與abc的外接圓交于f點（如圖）abcdef求證：bfafcf 三、將正方形abcd分割為n2個相等的小方格（n是自然數(shù)），把相對的頂點a，c染成紅色，把b，d染成藍色，其他交點任意染成紅、藍兩色中的一種顏色證明：恰有三個頂點同色的小方格的數(shù)目必是偶數(shù)答案1（b）據(jù)算術根性質(zhì)，由右端知yax，又由左端知a0且a0，故a0由此得xy，代入所求式算得值為（c）由平行截割定理，有 ，得 （d） 設x是方程的解，則x也是方程的解，排除（a）、（b）；（d）的兩值必是方程的解，否則方程的解也不是（c） 將代入方程，左邊0，排除（c）（d）5（a）在1×

5、;2×3××100的質(zhì)因數(shù)分解中，2的因子有所以，其中2不整除p，3不整除p，因而m2p（b） (ab)(cd)ca，bd代入 bcd得c2d，acd3d，故abcd2d3d5d5b5 (b1)故 a3，b1，c2，d1（c）設正方形oprq的邊長為x，即oppqqrorx作abc的高ad，交or于f，在aor中，如圖（a）作cdab，因abc是銳角三角形，故d在ab內(nèi)，從而c abadaccosacosa 又由正弦定理，得cab2rsinc2r2，所以c2二、填空題112 由beg dag，得dggbadbe21， dbgb連接de，則 2. 6 設甲將a看為a

6、，由韋達定理得由于一次項系數(shù)b的符號不改變判別式的值，因此，乙只能是看錯a或c的符號于是a 由得3 9 若nq，則上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，矛盾若nq，則上式左邊為整數(shù)，右邊為真分數(shù)，矛盾所以，只能是nq1于是 作aebc，交cd于e，自b，c分別作ae的垂直線bf與cg，f，g分別為垂足（如圖）bcgf為矩形，afb為等腰直角三角形，·在rtceg中，三、解答題一.由于 有意義，所以y0，從而xyxy 因此x y ，即x(y21)0 所以x0或y±1（） 若x0，則由x yxy，或x yxy，得y0，這樣 無意義；（） 若y1，則由x yxy得xx1，或由x yxy得x

7、x1，都導致矛盾；（） 若y1，則由x yxy得x， 由x yxy得x- ， 所以符合要求的數(shù)對只有（，1）和（- ，1） 二、證法1 延長af到m，使fmcf連cm、df，在ebd與fcm中，由于bebd，fmcf ，因此ebd、fcm都是等腰三角形 ebdmfc， bedcmf， 又 bedbfd， cmfbfd， 在bfd與 amc中， 21，bfdcmf，bdac， bfdamc bfamaffm 又 fmcf， bfafcf 證法2 如圖，連ef、df 12， 23， 13， 45， 56， 46 afc efd 于是，即efk·af，dek·ac，dfk

8、3;cf由托勒密定理，知bf·debd·efbe·df，即bf·k·acbd·k·afbe·k·cf但是acbebd0，所以bfafcf.三、證法用數(shù)代表顏色，將紅色記為0，藍色記為1，再將小方格編號，記為1,2,3,.又記第i個小方格四個頂點數(shù)字之和為,若恰有三個頂點同色,則1或3為奇數(shù),否則為偶數(shù).在中,有如下事實:對正方形內(nèi)部的交點,各加了4次；原正方形邊上非端點的交點,各加了2次(含兩個0,兩個1).因此 4 (內(nèi)部交點相應的數(shù)之和)2×(邊上非端點的交點相應的數(shù)之和)2必為偶數(shù). 于是

9、，在中必有偶數(shù)個奇數(shù)，這就是說，恰有三個頂點同色的小方格必有偶數(shù)個證法2用數(shù)代表顏色，紅色記為1，藍色記為1，將小方格編號，記為l，2，記第 i個小方格四頂點數(shù)字之乘積為，若恰有三頂點同色，則現(xiàn)在考慮乘積對正方形內(nèi)部交點，各點相應的數(shù)重復出現(xiàn)4次；a，b，c，d邊上的不是端點的交點相應的數(shù)各出現(xiàn)2次；a，b，c，d四點相應的數(shù)的乘積為××（1）×（1）于是因此，中的個數(shù)必為偶數(shù)，即恰有三頂點同色的小方格必有偶數(shù)個證法3 考慮染了色之后，改變一個交點的染色方式，這時以此點為頂點的小方格，要么由三頂點同色變?yōu)榉侨旤c同色，要么由非三頂點同色變成三頂點同色 注意：除a，b，c