巧用平面法向量求空間角和空間距離

1、1 巧用平面法向量求空間角和空間距離平面法向量的定義為：如果a, 那么向量a 叫做平面的法向量 . 除此之外再也沒(méi)有涉及其他任何知識(shí)點(diǎn)，筆者發(fā)現(xiàn)巧用平面法向量處理空間角和空間距離等問(wèn)題,可以化繁為簡(jiǎn) , 迎刃而解 . 現(xiàn)舉例說(shuō)明 : 一、巧用平面法向量求斜線(xiàn)與平面所成的角方法指導(dǎo) ： 如圖 1,pa 為平面的斜線(xiàn) ,po 為平面的垂線(xiàn)，根據(jù)定義， 斜線(xiàn) pa與平面所成的角pao,可以轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)的方向向量pa與平面的法向量n 的夾角的余角或其補(bǔ)角的余角.即如果pa與n的夾角為銳角 ,則斜線(xiàn) p a 與平面所成的角為2；如果pa與n的夾角為鈍角，則斜線(xiàn)pa 與平面所成的角為2. 故斜線(xiàn)pa與平面所

2、成角的的正弦值sin等于斜線(xiàn)的方向向量pa與平面的法向量 n 夾角余弦的絕對(duì)值，即sincos,panpa npan，arcsinpa npan. 金題示例1：如圖， 在直三棱柱abca1b1c1中，底面是等腰直角三角形，acb90，側(cè)棱 aa1 2，d、e 分別是 cc1與 a1b 的中點(diǎn)，點(diǎn)e 在平面 abd 上的射影是 abd 的重心g求 a1b 與平面 abd 所成角的大小 .命題意圖 ：主要考查線(xiàn)面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想像能力和推理運(yùn)算能力知識(shí)依托 ：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面法向量的應(yīng)用及數(shù)量積公式解法過(guò)程： 如圖所示建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為o，設(shè)ca2a，則a(2a，

3、0，0)，b(0，2a，0)，d(0，0，1)，a1(2a，0，2)，e(a，a， 1)，)313232(，aag2()333aag e，)120(，abd032322abdge，解得a11(222)ba， ，2,2, 0ba，0,2,1bd圖1aopa1b1c1bcdaega1b1c1xbdyaegc(o)zk2 設(shè)平面 abd 的法向量,nx y z，則220,20.nbaxynbdyz于是取1,1,2n.11142cos,3236banbanban, 因?yàn)?a1b 與平面 abd 所成角的正弦值sin12cos,3ban，所以 a1b 與平面 abd 所成角是2arcsin3二、巧用平面

4、法向量求二面角方法指導(dǎo) ：因?yàn)閮蓚€(gè)半平面的法向量1n、2n的夾角等于二面角的平面角或者其補(bǔ)角. 注意結(jié)合圖形觀察二面角的平面角的大小從而決定它與兩個(gè)法向量夾角的關(guān)系：如果是銳角，則121212coscos,nnnnnn，1212arccosnnnn；如果是鈍角，則121212coscos,nnnnnn，1212arccosnnnn. 金題示例2：如圖，在五面體abcdef 中， fa平面 abcd, ad/bc/fe， abad， m為 ec 的中點(diǎn)， af=ab=bc=fe=12ad .求二面角acde 和 m acb 的大小 .命題意圖 ：考二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題

5、的方法，考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證能力 .知識(shí)依托 ：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面法向量的應(yīng)用解法過(guò)程： 如圖所示， 以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別以 ab、ad、af 為x、y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系a xyz .設(shè)，1ab依題意得， 001b，011c， 020d，110e， 100f.21121m，1,1,0 ,dc0,1,1de可取平面abcd 的一個(gè)法向量0, 0,1naf,設(shè)平面 cde 的法向量,ux y z，則0,0.ud cud e于是0,0.xyyz令1x，可得1,1,1u，所以13cos,33 1unu nun，結(jié)合圖形可知二面角acde 為銳二面角，3 其大小與兩個(gè)法

6、向量的夾角相等為3arccos3. 設(shè)平面 cma 的法向量,vx y z ，則0,0.vacvam于是0,110.22xyxyz令2x，可得2,2, 2v，所以23cos,3231v nv nvn，結(jié)合圖形可知二面角mac b 為鈍二面角，其大小與兩個(gè)法向量的夾角互補(bǔ)，所以二面角mac b 的大小為3arccos3，即3arccos3. 三、巧用平面法向量求點(diǎn)到平面的距離方法指導(dǎo) ：若點(diǎn) p 為平面 外一點(diǎn)， 點(diǎn) a 為平面 內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為n，設(shè)點(diǎn) p 在平面 內(nèi)的射影為點(diǎn)o, 顯然，0n ao， popaao , nponpaaonpanaonpa，而nponpo，所以點(diǎn)p 到平

7、面 的距離為pandpon，即點(diǎn) p 到平面 的距離為經(jīng)過(guò)點(diǎn)p 的平面 的任意一個(gè)向量pa在平面的法向量n上的投影的絕對(duì)值.金題示例3：在金題示例1 中求點(diǎn) a1到平面 aed 的距離解法過(guò)程： 由例 1 有 a(2，0， 0)，a1(2，0， 2)， e(1， 1，1)，d(0，0，1)(11 1)ae， ，,(110)ed，,設(shè)平面aed 的法向量,nx y z ，則0,0.naened于是0,0.xyzxy令1x，可得1,1,2n，又10, 0, 2a a，所以點(diǎn) a1到平面 aed 的距離142636a andn.注: 求線(xiàn)面距 , 面面距 , 可先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距, 再用此法求解.利用向量方法求解空間距離問(wèn)題，可以回避此類(lèi)問(wèn)題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)化為向量間的計(jì)算問(wèn)題p a