插值計算與插值多項式

1、精選課件1第第6章插值計算與插值多項式章插值計算與插值多項式 vLagrangeLagrange插值插值( (含線性插值、拋物插值、含線性插值、拋物插值、n n次次LagrangeLagrange插值公式插值公式) )；v牛頓（牛頓（NewtonNewton）插值及余項、差商的定義與性質(zhì)）插值及余項、差商的定義與性質(zhì); ;v埃爾米特埃爾米特(Hermite)(Hermite)插值公式及余項；插值公式及余項； v等距節(jié)點的多項式插值、分段低次多項式插值、三次樣條等距節(jié)點的多項式插值、分段低次多項式插值、三次樣條插值。插值。精選課件2插值問題描述插值問題描述v設(shè)已知某個函數(shù)關(guān)系設(shè)已知某個函數(shù)關(guān)系

2、在某些離散點上的函數(shù)值：在某些離散點上的函數(shù)值：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù) 的一種的一種簡單的近似表達式簡單的近似表達式, ,以便于計算點以便于計算點 的函的函數(shù)值數(shù)值 ，或計算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。，或計算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。( )f xx0 x0yy1y1nyny1x1nxnx,0,1,ixxin( )yf x( )yf x精選課件3y=f(x)y=p(x)簡單的說，插值的目的就是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表，尋簡單的說，插值的目的就是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表，尋找一個解析形式找一個解析形式的函數(shù)的函數(shù)p(x)，近似代替，近似代替f(x)精選課件4 6.1 插值法的數(shù)學描述插

3、值法的數(shù)學描述設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y= =f( (x) ) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù), , 是是 a, b 上取定的上取定的n+1個互異節(jié)點個互異節(jié)點, ,且在這些點處的函數(shù)值且在這些點處的函數(shù)值 為已知為已知 , ,即即 若存在一個若存在一個f(x)的近似函數(shù)的近似函數(shù) , ,滿足滿足則稱則稱 為為f( (x) )的一個的一個插值函數(shù)插值函數(shù), f( (x) )為為被插函數(shù)被插函數(shù), 點點xi為為插值節(jié)點插值節(jié)點, R(x)= 稱為稱為插值余項插值余項, 區(qū)間區(qū)間 a, b 稱為稱為插值區(qū)間插值區(qū)間, 插值點在插值區(qū)間內(nèi)的稱為插值點在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插內(nèi)插, 否則稱否則稱外插外插 nx

4、xx,10)(,),(),(10nxfxfxf)(iixfy )(x), 2 , 1()()(nixfxpii)(xp)()(xpxf精選課件5插值的幾何意義精選課件66.2 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值）插值 為了構(gòu)造滿足插值條件為了構(gòu)造滿足插值條件 (i=0,1,2,n )的便于使用的插值多項式的便于使用的插值多項式P(x),P(x),先考察幾種簡單情形先考察幾種簡單情形, ,然后再推廣到一般形式。然后再推廣到一般形式。6.2.1 線性插值與拋物插值線性插值與拋物插值（1）線性插值）線性插值線性插值是代數(shù)插值的最簡單形式。假設(shè)給定了函數(shù)線性插值是代數(shù)插值的最簡單形式。假設(shè)給定

5、了函數(shù)f(x)f(x)在兩個互異的點在兩個互異的點 ， 的值，的值，, ,現(xiàn)要求用線性函數(shù)現(xiàn)要求用線性函數(shù) 近似地代替近似地代替f(x)f(x)。選。選擇參數(shù)擇參數(shù)a和和b, 使使 。稱這樣的線性函數(shù)。稱這樣的線性函數(shù)P(x)P(x)為為f(x)f(x)的線性插值函數(shù)的線性插值函數(shù) 。)()(iixfxp0 x1x)(),(1100 xfyxfybaxxp)() 1 , 0)()(ixfxpii精選課件7線性插值線性插值線性插值多項式線性插值多項式 精選課件8由直線兩點式可知，通過由直線兩點式可知，通過A，B的直線方程為的直線方程為 它也可變形為它也可變形為 顯然有：顯然有：)()()(100

6、1010 xpxxxxyyyxp01011010)(,)(xxxxxlxxxxxl精選課件9記記可以看出可以看出的線性組合得到，其系數(shù)分別為的線性組合得到，其系數(shù)分別為 ，0y1y01( ), ( )lx l x0 x1x稱稱 為節(jié)點為節(jié)點 , 的線性插值基函數(shù)的線性插值基函數(shù)1001( )xxlxxx0110( )xxl xxx011010110( )xxxxL xyyxxxx精選課件10線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)滿足下述條件滿足下述條件01( ), ( )lx l x1001ix0 x1x0( )lx1( )l x并且他們都是一次函數(shù)。并且他們都是一次函數(shù)。注意他們的特點對下面的推廣很重

7、要注意他們的特點對下面的推廣很重要于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合 1100)()()(yxlyxlxp精選課件11例例6.1 6.1 已知已知 , , , , 求求1010011121115y解解: : 這里這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用利用線性插值線性插值 1110012110010121100121)(xxxp714.10)115(115py精選課件12例例6.2 已知已知y=f(x)的函數(shù)表的函數(shù)表 求線性插值多項式求線性插值多項式, 并計算并計算x=1.5 的值的值X 1 3 y 1 225.1)

8、5.1()5.1()1(2121311313)(10100101pfxxxyxxxxyxxxxxp解解: 由線性插值多項式公式得由線性插值多項式公式得精選課件13這就是二次插值問題。其幾何意義是用經(jīng)過這就是二次插值問題。其幾何意義是用經(jīng)過3個點個點 的拋物線的拋物線 近似代替曲線近似代替曲線 , 如下圖所示。因此也稱之為拋物插值。如下圖所示。因此也稱之為拋物插值。 （2） 拋物插值 拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)已知f(x)在三個互異點x0，x1，x2的函數(shù)值y0，y1，y2，要構(gòu)造次數(shù)不超過二次的多項式0122)(axaxaxP) 2 , 1 , 0()(iyxPii),

9、(),(),(221100yxyxyx)(xPy )(xfy 使?jié)M足二次插值條件：使?jié)M足二次插值條件：精選課件14拋物插值函數(shù)拋物插值函數(shù)因過三點的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。因過三點的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。 y y=L2(x) y0 y1 y1 y=f(x) O x0 x1 x2 x 精選課件15為了與下一節(jié)的為了與下一節(jié)的Lagrange插值公式比較插值公式比較, ,仿線性插值仿線性插值, ,用基函數(shù)的方法求解方程組。先考察一個特殊的二次用基函數(shù)的方法求解方程組。先考察一個特殊的二次插值問題：插值問題： 求二次式求二次式 , ,使其滿足條件：使其滿足條件： )(0 xl0

10、)(, 0)(, 1)(201000 xlxlxl這個問題容易求解。由上式的后兩個條件知這個問題容易求解。由上式的后兩個條件知: : 是是 的兩個零點。于是的兩個零點。于是 21,xx)(0 xl)()(210 xxxxcxl再由另一條件再由另一條件 確定系數(shù)確定系數(shù) 1)(00 xl)(12010 xxxxc)()()(2010210 xxxxxxxxxl從而導(dǎo)出從而導(dǎo)出 精選課件16P(x)的參數(shù)的參數(shù) 直接由插值條件決定，直接由插值條件決定，即即 滿足下面的代數(shù)方程組：滿足下面的代數(shù)方程組： 210,aaa210,aaa222221012121100202010yxaxaayxaxaay

11、xaxaa222211200111xxxxxx該三元一該三元一次方程組次方程組的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣 的行列式是范德蒙行列式，當?shù)男辛惺绞欠兜旅尚辛惺剑?時，時，方程組的解唯一。方程組的解唯一。 210 xxx精選課件17類似地可以構(gòu)造出滿足條件：類似地可以構(gòu)造出滿足條件：的插值多項式的插值多項式 0)(, 0)(, 1)(210111xlxlxl)()()(2101201xxxxxxxxxl及滿足條件：及滿足條件： 的插值多項式的插值多項式 0)(, 0)(, 1)(120222xlxlxl)()()(1202102xxxxxxxxxl這樣構(gòu)造出來的這樣構(gòu)造出來的 稱為拋物插值的基函數(shù)稱為拋

12、物插值的基函數(shù) )(),(),(210 xlxlxl取已知數(shù)據(jù)取已知數(shù)據(jù) 作為線性組合系數(shù)作為線性組合系數(shù), ,將基函數(shù)將基函數(shù) 線性組合可得線性組合可得 210,yyy)(),(),(210 xlxlxl212021012101200201021)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxP容易看出容易看出,P(x),P(x)滿足條件滿足條件 )2 , 1 , 0()(iyxPii精選課件18例6.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用拋物插值公式,求(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)y0+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2

13、)y1+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)y2p2(7) =x0=1, x1=4, x2=9y0=1, y1=2, y2=3 (14)(19)(74)(79)* 1 +(41)(49)(71)(79)* 2+(91)(94)(71)(74)* 3= 2.7p2(x) =7精選課件19例例6.4 已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)在節(jié)點上滿足在節(jié)點上滿足 x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 求二次多項式求二次多項式 p(x) = a0 + a1x + a2x2 使之滿足使之滿足 p(xi) = yi i=0, 1, 2解解: 用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法, 將各節(jié)點值依次代入所求多項式將

14、各節(jié)點值依次代入所求多項式, 得得解上述方程解上述方程, 將求出的將求出的a0, a1, a2 代入代入p(x) = a0 + a1x + a2x2 即得所求二次多項式即得所求二次多項式 201202012120122aa x a xyaa x a xyaa x a xy精選課件20v我們看到，兩個插值點可求出一次插值多項式我們看到，兩個插值點可求出一次插值多項式p1(x)，而三個插值點可求出二次插值多項式，而三個插值點可求出二次插值多項式p2(x) 。當 插 值 點 增 加 到當 插 值 點 增 加 到 n + 1 個 時 ， 我 們 可 以 利 用個 時 ， 我 們 可 以 利 用Lagr

15、ange插值方法寫出插值方法寫出n次插值多項式次插值多項式pn(x) ，如，如下所示：下所示：已知已知n+1個節(jié)點處的函數(shù)值個節(jié)點處的函數(shù)值iy0y1yixnx0 x1xny求一個求一個n次插值函數(shù)次插值函數(shù)( )nL x滿足滿足( )(1,2, )niL xyin6.2.2 拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式精選課件21構(gòu)造各個插值節(jié)點上的基函數(shù)構(gòu)造各個插值節(jié)點上的基函數(shù) 滿足如下條件滿足如下條件( )(0,1, )il xin1000010000010 xix1x2xnx0( )l x1( )l xn( )lx精選課件22與推導(dǎo)拋物插值的基函數(shù)類似與推導(dǎo)拋物插值的基函數(shù)類似, ,先構(gòu)造一

16、個特殊先構(gòu)造一個特殊n次多項次多項式式 的插值問題的插值問題, ,使其在各節(jié)點使其在各節(jié)點 上滿足上滿足 )(xliix0)(, 0)(, 1)(, 0)(, 0)(110nkkkkkkkkxlxlxlxlxl)(0)(1)(kikixlkiik即即: : 由條件由條件 ( )( )知知, , 都是都是n n次次 的零點的零點, ,故可設(shè)故可設(shè) 0)(ikxlki nkkxxxxx,1110)(xlk精選課件23)()()()(1110nkkkkxxxxxxxxxxAxl其中其中 為待定常數(shù)。由條件為待定常數(shù)。由條件 , ,可求得可求得 kA1)(kkxlkA1)(0nkjjjkkxxA于是于

17、是 nkjjjkkxxA0)(1代入上式代入上式, ,得得nkjjjkjnkjjjknkjjjkxxxxxxxxxl000)()()(稱稱 為關(guān)于基點為關(guān)于基點 的的n n次插值基函數(shù)次插值基函數(shù)(i=0,1,n)(i=0,1,n) )(xlkix精選課件24以以n+1個個n次基本插值多項式次基本插值多項式為基礎(chǔ)為基礎(chǔ), ,就能直接寫出滿足插值條件就能直接寫出滿足插值條件的的n次代數(shù)插值多項式。次代數(shù)插值多項式。事實上，由于每個插值基函數(shù)事實上，由于每個插值基函數(shù)都是都是n次值多項式次值多項式, ,所以他們的線性組合所以他們的線性組合), 1 , 0)(nkxlk), 2 , 1 , 0()(

18、)(nixfxPiinnyxlyxlyxlxP)()()()(1100), 1 , 0)(nkxlknkkkyxlxP0)()(是次數(shù)不超過是次數(shù)不超過n n次的多項式次的多項式 , 稱形如上式的插值多項稱形如上式的插值多項式為式為n次拉格朗日插值多項式。并記為次拉格朗日插值多項式。并記為 )(xLn精選課件25例例6.5 求過點求過點(0,1)、(1,2)、(2,3)的三點插值多項式的三點插值多項式13) 12)(02 () 1)(0(2) 21)(01 () 2)(0(1) 20)(10 () 2)(1()(xxxxxxxxp解解:由由Lagrange 插值公式插值公式（給定的三個點在一條

19、直線上）（給定的三個點在一條直線上）212021012101200201021)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxP精選課件26例例6.6 已知已知f (x)的觀測數(shù)據(jù)的觀測數(shù)據(jù) x 0 1 2 4 f (x) 1 9 23 3 構(gòu)造構(gòu)造Lagrange插值多項式插值多項式解解 四個點可構(gòu)造三次四個點可構(gòu)造三次Lagrange插值多項式插值多項式: :基函數(shù)為基函數(shù)為 1478781) 40)(20)(10() 4)(2)(1()(230 xxxxxxxlxxxxxxxl38231) 41)(21)(01 () 4)(2)(0()(231xxxx

20、xxxl2324541) 42)(12)(02() 4)(1)(0()(精選課件27xxxxxxxl12181241) 24)(14)(04() 2)(1)(0()(233Lagrange插值多項式為插值多項式為 )()(303xlyxLkkk)(3)(23)(9)(3210 xlxlxlxl12144541123xxx為便于上機計算為便于上機計算, ,常將拉格朗日插值多項式可改寫成常將拉格朗日插值多項式可改寫成 nknkiiikiknxxxxyxL00)(精選課件2834)()()()()(2333221100 xxyxlyxlyxlyxlxp 例例6.7 已知已知f(x)的觀測數(shù)據(jù)的觀測數(shù)

21、據(jù) x 1 2 3 4f(x) 0 -5 -6 3構(gòu)造插值多項式構(gòu)造插值多項式 解解: 四個點可以構(gòu)造三次插值多項式四個點可以構(gòu)造三次插值多項式, 將數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù) 代入插值公式，有代入插值公式，有 這個例子說明這個例子說明p(x)的項數(shù)不超過的項數(shù)不超過n+1項，但可以項，但可以有缺項。有缺項。精選課件29x0 x1 xixi+1 xn-1 xny=f(x)y=p(x)ab在插值區(qū)間在插值區(qū)間 a, b 上用上用插值多項式插值多項式p(x)近似代替近似代替f(x), 除了除了在插值節(jié)點在插值節(jié)點xi上沒有誤差外，在其它點上一般是存在誤差上沒有誤差外，在其它點上一般是存在誤差的。的。若記若記 R

22、(x) = f(x) - p(x) 則則 R(x) 就是用就是用 p(x) 近似代替近似代替 f(x) 時的時的截斷誤差截斷誤差, 或稱或稱插值余項插值余項我們可根據(jù)后面的定理來估計它的大小。我們可根據(jù)后面的定理來估計它的大小。6.2.3 插值多項式的誤差插值多項式的誤差 精選課件30定理定理 設(shè)設(shè)f(x)在在 a, b 有有n+1階導(dǎo)數(shù)，階導(dǎo)數(shù)， x0, x1, xn 為為 a, b 上上n+1個互異的節(jié)點個互異的節(jié)點, p(x)為滿足為滿足 p(xi) = f(xi) (i=1,2, , n)的的n 次插值多項次插值多項 式，式， 那么對于任何那么對于任何x a, b 有插值余項有插值余項

23、)()!1()()()()() 1(xnfxpxfxRn其中其中a b 且依賴于且依賴于xbaxxxxxxxxxniin,),()()()(010精選課件310，使得| | x(a,b)由于 (x)一般無法確定，因此式R(x)只能用作余項估計。如果)()1(xfn1nM)()1(xfn1nM| )(|)!1(| )(|11xnMxRnnn在區(qū)間(a,b)上有界，即存在常數(shù) 則有余項估計 ),()(),)(2)()(1010 1xxxxxxxxfxR精選課件32對于線性插值，其誤差為對于線性插值，其誤差為對于拋物插值（二次插值），其誤差為對于拋物插值（二次插值），其誤差為baxxxxfxPxfxR,)()(21)()()(10 baxxxxxxfxPxfxR,)( )()(61)()()(210 精選課件33例例6.8 已知已