高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義第十二章立體幾何講義（精編版）

1、第十二章立體幾何一、基礎(chǔ)知識(shí)公理 1 一條直線。 上如果有兩個(gè)不同的點(diǎn)在平面。內(nèi) 則這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，記作：aa公理 2 兩個(gè)平面如果有一個(gè)公共點(diǎn)，則有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線，即若p，則存在唯一的直線m ，使得 =m,且 pm 。公理 3 過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。即不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面推論 l 直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面推論 2 兩條相交直線確定一個(gè)平面推論 3 兩條平行直線確定一個(gè)平面公理 4 在空間內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線平行定義 1 異面直線及成角：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線過(guò)空間任意一點(diǎn)分別作兩條異面直線的平行線，這兩條直線所成

2、的角中，不超過(guò)900的角叫做兩條異面直線成角與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線，公垂線夾在兩條異面直線之間的線段長(zhǎng)度叫做兩條異面直線之間的距離定義 2 直線與平面的位置關(guān)系有兩種；直線在平面內(nèi)和直線在平面外直線與平面相交和直線與平面平行( 直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)叫做直線與平面平行) 統(tǒng)稱(chēng)直線在平面外定義 3 直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的每一條直線都垂直，則直線與這個(gè)平面垂直定理 1 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直定理 2 兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行定理 3 若兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也和這個(gè)平面垂直定理 4 平面

3、外一點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到平面的距離，若一條直線與平面平行，則直線上每一點(diǎn)到平面的距離都相等，這個(gè)距離叫做直線與平面的距離定義5 一條直線與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線由斜線上每一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫這個(gè)點(diǎn)在平面上的射影所有這樣的射影在一條直線上，這條直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影斜線與它的射影所成的銳角叫做斜線與平面所成的角結(jié)論 1 斜線與平面成角是斜線與平面內(nèi)所有直線成角中最小的角定理 4 (三垂線定理 ) 若 d 為平面。的一條斜線，b 為它在平面a 內(nèi)的射影， c 為平面 a 內(nèi)的一條直線，若cb，則 ca逆定理：若ca，則 cb定理 5 直線 d 是平面 a 外一條直線

4、，若它與平面內(nèi)一條直線b 平行，則它與平面a 平行定理 6 若直線。與平面平行，平面經(jīng)過(guò)直線a 且與平面a 交于直線 6，則 a 定理 9 平面與平面平行，平面 =a， =b，則 a定理 10 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直定理 11 如果兩個(gè)平面垂直，過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線在第一個(gè)平面內(nèi)定理 12 如果兩個(gè)平面垂直，過(guò)第一個(gè)子面內(nèi)的一點(diǎn)作交線的垂線與另一個(gè)平面垂直定義 8 有兩個(gè)面互相平行而其余的面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊( 稱(chēng)為側(cè)棱 ) 都互相平行， 由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱兩個(gè)互相平行的面叫做底面如果底面是平行四邊形則叫做

5、平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)都相等的正四棱柱叫正方體定義 9 有一個(gè)面是多邊形( 這個(gè)面稱(chēng)為底面)，其余各面是一個(gè)有公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫棱錐底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐定理 13 ( 凸多面體的歐拉定理) 設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為v，棱數(shù)為e，面數(shù)為f，則v+f-e=2定義10 空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)球面球面所圍成的幾何體叫做球定長(zhǎng)叫做球的半徑，定點(diǎn)叫做球心定理 14 如果球心到平面的距離d 小于半徑r，那么平面與球相交所得的截面是圓面，圓心與球心的連線與截面垂直

6、設(shè)截面半徑為r，則 d2+r2r2過(guò)球心的截面圓周叫做球大圓經(jīng)過(guò)球面兩點(diǎn)的球大圓夾在兩點(diǎn)間劣弧的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間球面距離定義11 ( 經(jīng)度和緯度 ) 用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做緯線緯線上任意一點(diǎn)與球心的連線與赤道平面所成的角叫做這點(diǎn)的緯度用經(jīng)過(guò)南極和北極的平面去截地球所得到的截面半圓周( 以?xún)蓸O為端點(diǎn)) 叫做經(jīng)線，經(jīng)線所在的平面與本初子午線所在的半平面所成的二面角叫做經(jīng)度，根據(jù)位置不同又分東經(jīng)和西經(jīng)定理15 ( 祖原理 ) 夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等. 定理16 ( 三面角定

7、理 ) 從空間一點(diǎn)出發(fā)的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線共組成三個(gè)角其中任意兩個(gè)角之和大于另一個(gè)，三個(gè)角之和小于3600定理 17 （面積公式）若一個(gè)球的半徑為r，則它的表面積為s球面=4r2。若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為 l ，底面半徑為r ，則它的側(cè)面積s側(cè)=rl. 定理 18 （體積公式）半徑為r的球的體積為v球=334r；若棱柱（或圓柱）的底面積為s，高 h，則它的體積為v=sh；若棱錐（或圓錐）的底面積為s，高為 h，則它的體積為v=.31sh定理 19 如圖 12-1 所示，四面體abcd 中，記 bdc= ， adc= ， adb= ， bac=a ，abc=b ， acb=c 。dh平面 a

8、bc于 h。（1）射影定理： s abd?cos=sabh，其中二面角dabh為。（2）正弦定理：.sinsinsinsinsinsincba（3）余弦定理： cos=coscos+sin sin cosa. cosa=-cosbcosc+sinbsinccos. （4）四面體的體積公式31vdh?sabc=coscoscos2coscoscos161222abcsin611daa（其中 d 是 a1, a之間的距離，是它們的夾角）a32sabd?sacd?sin ( 其中為二面角b ad c的平面角 ) 。二、方法與例題1公理的應(yīng)用。例 1 直線 a,b,c都與直線d 相交，且 a 因?yàn)?a

9、過(guò) b,d 的平面是唯一的，所以，是同一個(gè)平面，所以a. 同理 c. 即 a,b,c,d共面。例 2 長(zhǎng)方體有一個(gè)截面是正六邊形是它為正方體的什么條件？ 解 充要條件。先證充分性，設(shè)圖12-2 中 pqrstk 是長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1的正六邊形截面，延長(zhǎng) pq ，sr設(shè)交點(diǎn)為o ，因?yàn)橹本€sr平面 cc1d1d，又 o 直線 sr ，所以 o 平面 cc1d1d，又因?yàn)橹本€pq平面 a1b1c1d1，又 o 直線 pq ，所以 o平面 a1b1c1d1。所以 o 直線 c1d1，由正六 邊 形性 質(zhì) 知 ， orq= oqr=600， 所 以 orq 為正 三 角 形 ， 因 為c

10、drosrrccr11c2481c1c1c1a/1c1a/1c1c1/1c1c1ac1c5 a1c2121cdad2121cdadcmmcmcmcmcm/52121bf2121ae23余弦定理mg2=bm2+bg2-2bm?bgcosmbg=2345495135232252322 =2 ， 所以 mg=.2因?yàn)?efae ， efbe，所以 ef平面 aeb ，所以 efam ，又 ambe ，所以 am平面 bce 。所以 agm 為 ag與平面ebcf所成的角。而tan agm=46223。所以 ag與平面 ebcf所成的角為46arctan. 例 9 見(jiàn)圖 12-8 ，oa是平面的一條斜

11、角，ab于 b，c在內(nèi)，且acoc ， aoc= ，aob= ， boc= 。證明： cos=cos?cos. 證明 因?yàn)?ab， acoc ，所以由三垂線定理，bcoc ，所以 oacos =ob,obcos =oc,又 rtoac中， oacos=oc ，所以 oacoscos=oacos，所以 cos=cos?cos. 5二面角問(wèn)題。例 10 見(jiàn)圖 12-9，設(shè) s為平面 abc外一點(diǎn)， asb=450， csb=600，二面角a sb c為直角二面角，求asc的余弦值。 解 作 cm sb于 m ，mnas于 n，連結(jié) cn ，因?yàn)槎娼莂 sb c為直二面角，所以平面asb平面 bs

12、c 。又 cmsb ，所以 cm平面 asb ，又 mnas ，所以由三垂線定理的逆定理有cnas ，所以 sc?coscsn=sn=sc?coscsm?cos asb ，所以 cosasc=cos450cos600=42。例 11 見(jiàn)圖 12-10 ，已知直角 abc的兩條直角邊ac=2 ，bc=3，p為斜邊 ab上一點(diǎn)，沿cp將此三角形折成直二面角acp b，當(dāng) ab=7時(shí)，求二面角pacb的大小。 解 過(guò) p作 pdac于 d，作 pecp交 bc于 e，連結(jié) de，因?yàn)?acp b為直二面角，即平面 acp平面 cpb ，所以 pe平面 acp ，又 pdca ，所以由三垂線定理知de

13、ac ，所以pde為二面角pac b 的平面角。設(shè)bcp= ，則cosecd=cos ?cos(900- )=sin cos，由余弦定理cosacb=21322732222，所以 sin cos =21，所以 sin2 =1. 又 02，所以 =4，設(shè) cp=a ，則 pd=22a,pe=a. 所以 tan pde=.2pdpe所以二面角p ac b的大小為2arctan。6距離問(wèn)題。例 12 正方體 abcd a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為a，求對(duì)角線ac與 bc1的距離。 解 以 b 為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖12-11 所示。設(shè)p，q 分別是bc1，ca 上的點(diǎn)，且cacqbcbp31,311

14、，各點(diǎn)、各向量的坐標(biāo)分別為a(a,0,0),b(0,0,0),c(0,a,0)，111313131313131313131bbbabcbbbcbcbabcbccabcbpbqpq)31,31,31(aaa, 所以apq33|， 所以311bcpqaa+31aa=0, 31capqaa-31aa=0. 所以capqbcpq,1。所以 pq為 ac與 bc1的公垂線段，所以?xún)烧呔嚯x為.33a例 13 如圖 12-12 所示，在三棱維sabc中，底面是邊長(zhǎng)為24的正三角形，棱sc的長(zhǎng)為2，且垂直于底面，e，d分別是 bc ，ab的中點(diǎn)，求cd與 se間的距離。 分析 取 bd中點(diǎn) f，則 ef.31

15、31sefcefscefshvssc. 3cefs.332h由此得 v(t+p)=2(v+30) ，即 v(t+p-2)=60. 由于每個(gè)三角形面有三條棱，故三角形面有3vt個(gè)，類(lèi)似地，五邊形有5vp個(gè)，又因?yàn)槊總€(gè)面或者是三角形或者是五邊形，所以53ptv=32，由 此可得3t+5p=16，它的唯一 正整 數(shù)解為t=p=2， 代入v(t+p-2)=60得v=30，所以100p+10t+v250 。8與球有關(guān)的問(wèn)題。例 15 圓柱直徑為4r，高為 22r，問(wèn)圓柱內(nèi)最多能裝半徑為r的球多少個(gè)？ 解 最底層恰好能放兩個(gè)球，設(shè)為球o1和球 o2，兩者相切，同時(shí)與圓柱相切，在球o1與球o2上放球o3與球

16、 o4，使 o1o2與 o3o4相垂直，且這4 個(gè)球任兩個(gè)相外切，同樣在球o3與球 o4上放球 o5與球 o6，直到不能再放為止。先計(jì)算過(guò)o3o4與過(guò) o1o2的兩平行面與圓柱底面的截面間距離為rrr2)3(22。設(shè)共裝 k層，則 (22-2)rh. 證明 不妨設(shè) a到面 bcd的高線長(zhǎng) ah=h， ac與 bd間的距離為d， 作 afbd于點(diǎn) f，cnbd于點(diǎn) n，則 cnefefafefaefgahdh注：在前面例題中除用到教材中的公理、定理外，還用到了向量法、體積法、射影法，請(qǐng)讀者在解題中認(rèn)真總結(jié)。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1正三角形abc的邊長(zhǎng)為4，到 a，b，c的距離都是1 的平面有 _個(gè). 2

17、空間中有四個(gè)點(diǎn)e， f，g，h，命題甲： e，f，g ， h不共面；命題乙：直線ef 和 gh不相交，則甲是乙的_條件。3動(dòng)點(diǎn) p從棱長(zhǎng)為a 的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱運(yùn)動(dòng)，每條棱至多經(jīng)過(guò)一次，則點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的最大距離為_(kāi)。4正方體abcd a1b1c1d1中， e ，f 分別是面add1a1、面 abcd的中心， g為棱 cc1中點(diǎn)，直線c1e，gf與 ab所成的角分別是，。則+=_。5若 a,b 為兩條異面直線，過(guò)空間一點(diǎn)o與 a,b 都平行的平面有_個(gè)。6cd是直角 abc斜邊 ab上的高， bd=2ad ，將 acd繞 cd旋轉(zhuǎn)使二面角acd b為 600，則異面直線ac與 bd所成的角

18、為 _。7已知 pa平面 abc ，ab是 o的直徑， c是圓周上一點(diǎn)且ac=21ab ，則二面角apc b的大小為 _。8平面上有一個(gè)abc ， abc=1050，ac=)26(2，平面兩側(cè)各有一點(diǎn)s，t，使得sa=sb=sc=41，ta=tb=tc=5 ，則 st=_. 9在三棱錐sabc中， sa底面 abc ，二面角asb c為直二面角，若bsc=450，sb=a ，則經(jīng)過(guò) a，b，c，s的球的半徑為 _. 10空間某點(diǎn)到棱長(zhǎng)為1 的正四面體頂點(diǎn)距離之和的最小值為_(kāi). 11 異面直線 a,b 滿(mǎn)足 a.23222120ssss1c1c1c1c1c1c1c11pcpb2. 空間四邊形ab

19、cd 中， ad=1 ，bc=3，且 adbc，bd=213，ac=23，則 ac與 bd所成的角為 _. 3 平面平面，=直線 ab ， 點(diǎn) c，點(diǎn) d，bac=450，bad=600， 且 cdab，則直線 ab與平面 acd所成的角為 _. 4單位正方體abcd a1b1c1d1中，二面角a bd1b1大小為 _. 5如圖 12-13 所示，平行四邊形abcd 的頂點(diǎn) a 在二面角 mn 的棱mn上，點(diǎn) b，c，d都在上，且ab=2ad ， dan=450， bad=600，若 abcd在半平面上射影為為菜，則二面角 mn =_. 6已知異面直線a,b 成角為，點(diǎn)m ，a 在 a 上，點(diǎn)

20、 n， b在 b 上， mn為公垂線，且mn=d ，ma=m ，nb=n 。則 ab的長(zhǎng)度為 _. 7已知正三棱錐sabc側(cè)棱長(zhǎng)為4，asb=450，過(guò)點(diǎn) a作截面與側(cè)棱sb ，sc分別交于 m ，n，則截面 amn 周長(zhǎng)的最小值為_(kāi). 8l1與 l2為兩條異面直線，l1上兩點(diǎn)a，b 到 l2的距離分別為a,b ，二面角al2b 大小為，則 l1與 l2之間的距離為_(kāi). 9 在半徑為r的球 o上一點(diǎn) p引三條兩兩垂直的弦pa ， pb ， pc ， 則 pa2+pb2+pc2=_. 10過(guò) abc的頂點(diǎn)向平面引垂線aa1，bb1，cc1，點(diǎn) a1，b1，c1，則 bac與 b1a1c1的大小關(guān)

21、系是 _. 11三棱錐 abcd中 acb= adb=900， abc=600，bad=450，二面角 a cd b為直角二面角。 （ 1）求直線ac與平面 abd所成的角；（ 2）若 m為 bc中點(diǎn)， e為 bd中點(diǎn)，求am與 ce所成的角；（3）二面角m ae b的大小。12四棱錐p abcd底面是邊長(zhǎng)為4 的正方形， pd底面 abcd ，pd=6 ，m ，n 分別是pb ，ab的中點(diǎn)，（1）求二面角m dn c的大小；（ 2）求異面直線cd與 mn的距離。13三棱錐 sabc中，側(cè)棱 sa ，sb ，sc兩兩互相垂直，m為 abc的重心， d為 ab中點(diǎn)，作與 sc平行的直線dp ，證

22、明：（1）dp與 sm相交； （2）設(shè) dp與 sm的交點(diǎn)為d，則d為三棱錐 sabc外接球球心。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1現(xiàn)有邊長(zhǎng)分別為3，4，5 的三角形兩個(gè)，邊長(zhǎng)分別為4，5，41的三角形四個(gè)，邊長(zhǎng)分別為265，4，5 的三角形六個(gè)，用上述三角形為面，可以拼成_個(gè)四面體。2一個(gè)六面體的各個(gè)面和一個(gè)正八面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為a 的正三角形，這兩個(gè)多面體的內(nèi)切球的半徑之比是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)nm，那么 mn=_。3 已 知 三 個(gè) 平 面 ， ， 每 兩 個(gè) 平 面 之 間 的 夾 角 都 是20， 且=a,cb,，命題甲：3；命題乙： a,b,c相交于一點(diǎn)。則甲是乙的_條件。4棱錐 m abcd

23、的底面是正方形，且maab ，如果 amd 的面積為1，則能放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑為_(kāi). 5將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱長(zhǎng)為2，則最遠(yuǎn)兩個(gè)頂點(diǎn)間距離為_(kāi)。6空間三條直線a,b,c兩兩成異面直線，那么與a,b,c都相交的直線有_條。7一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，正四面體棱長(zhǎng)為a，這個(gè)球的體積為_(kāi)。8由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為v1，滿(mǎn)足x2+y216,x2+(y-2)24,x2+(y+2)2 4的點(diǎn) (x,y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 v2，則21vv_。9頂點(diǎn)為p的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，a是底面圓圍上的點(diǎn)，b是底面圓內(nèi)的