【精品】水火箭飛行高度的探究--陳鵬

1、水火箭飛行高度的探究山東交通學(xué)院信息工程系 作者：陳鵬、褚春亮、黃浩 指導(dǎo)老師：劉進(jìn)慶時(shí)間：2011年2月目錄1 研究背景與意義32研究內(nèi)容3飛行高度計(jì)算模型建立3.1計(jì)算模型建立前提假定43.2數(shù)學(xué)推導(dǎo)模型建立44水火箭的制作研究 84. 1水火箭的實(shí)體制作 84.2空氣阻力系數(shù)的測定 104.3空氣阻力系數(shù)的求解 135考慮空氣阻力的火箭飛行高度 135. 1用matlab求解的思路135.2 matlab程序及圖像 146誤差分析與結(jié)論總結(jié) 166. 1誤差分析166.2結(jié)論166.3論題展望177附錄178致謝189參考文獻(xiàn)191研究背景與意義水火箭即水力壓縮火箭是一種制作及發(fā)射相對較

2、容易的火箭。 目前國內(nèi)的水火箭還停留在制作上，沒有深入到用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行嚴(yán) 謹(jǐn)?shù)纳钊氲奶骄?。隨著數(shù)學(xué)和物理知識的不斷積累，已初步具備對水 火箭進(jìn)行深入探究的基礎(chǔ)。又逢第十二屆“挑戰(zhàn)杯”大學(xué)生課外學(xué)術(shù) 科技作品競賽，于是懷著濃厚的興趣對之進(jìn)行深入的探究。探究水火箭的飛行高度可以極大的提高我們的動手能力、實(shí)踐 能力、創(chuàng)新能力、以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。同時(shí) 今后可對他人制作水火箭提供一個(gè)理論參考。2研究內(nèi)容水火箭是火箭的一種，其動力來自于火箭體內(nèi)的壓縮空氣，通過 高壓不斷把火箭體內(nèi)的水向外噴出，火箭獲得反方向的推力，在推力、 重力及空氣阻力的合力作用下向前飛行。本文主要研究口制火箭，

3、在 一定條件下(自身載重、空氣阻力等)發(fā)射的高度公式推導(dǎo)及其試驗(yàn) 論證。主要研究及試驗(yàn)內(nèi)容如下：(1) 飛行高度數(shù)學(xué)計(jì)算模型建立(2) 水火箭制作研究(3) 應(yīng)用matlab求解微分方程(4) 試驗(yàn)論證、模型修正3飛行高度計(jì)算模型建立3.1計(jì)算模型建立前提假定(1) 由于自制水火箭飛行高度較低，不考慮火箭在飛行過程中 重力加速度的變化，假定為一定值；(2) rir丁自制火箭在飛行的過程中隨著簡體內(nèi)部的水量的不斷 減少，箭體內(nèi)氣壓不斷降低，射速會不斷減小，因時(shí)間緊迫先不考慮 射速變化對飛行高度的影響，只研究空氣阻力的影響。即匚為恒矢量。3.2數(shù)學(xué)推導(dǎo)模型建立 321火箭推力公式的推導(dǎo)我們只在豎直

4、方向上對火箭的飛行過程做受力分析。我們設(shè)火箭飛行的某時(shí)刻火箭一水系統(tǒng)(以下簡稱系統(tǒng))的 質(zhì)量為加'，它相對于某一選定的慣性參考系(地球)的速度為 在t t+'t時(shí)間間隔內(nèi),有質(zhì)量為am的水被以速度u相對火箭噴 射出去，此時(shí)系統(tǒng)則包括火箭、剩余的水以及被噴射岀去的水。在時(shí) 刻f+zv火箭相對選定的慣性系的速度為v + av,而水流相對慣 性系的速度則為v+av+m o按上述分析，在時(shí)刻r,系統(tǒng)的動量為pt) = myv在時(shí)刻/+at時(shí)間，系統(tǒng)的動量為p(z) = (m-am) v + avv+av+w在tt+at吋間間隔內(nèi)，系統(tǒng)動量的增量為ap = pt+at)-p(t)即ap

5、= mfav+wam由上式可得動量隨時(shí)間的變化率為»>dp ,dv . - dm=mudt dt dt式中d/n/df是水流質(zhì)量隨時(shí)間的變化率,而它又是由火箭中噴射出 來的，故有dm _ dm1dt dt于是上式可寫成»*dp ,dv -dm'=mudt dt dt我們知道系統(tǒng)的合外力等于系統(tǒng)動量隨時(shí)間的變化率，因此作用于系 統(tǒng)的合外力7： dp ,dv -dm'f =mudt dt dt即. - dm'm-r+udtdt7如即為火箭的推力。dt322火箭飛行高度的推導(dǎo)由(1)式我們可以知道f是系統(tǒng)所受的合外力，即為重力和空 氣阻力，所以有&g

6、t;ydv dm' ,1q-2m =u-m g+-cpsv (2)dt dt2上式就是我們理論推導(dǎo)出的火箭飛行高度的微分方程。我們先不考慮空氣阻力的影響，繼續(xù)推導(dǎo)火箭的飛行高度公式 為火箭的實(shí)際制作做理論指導(dǎo)。我們已設(shè)定不考慮射速變化的彩響，所以7為恒矢量，在/=0時(shí)，火箭的質(zhì)量為譏 速度為必，在時(shí)，火箭的質(zhì)量為加速度為v,先不看空氣阻力，那么對上式積分得于是有v-v（）=wlnm+ gt = un應(yīng)當(dāng)注意的是這里u , g是u. g的模，與火箭的飛行方向相反, 我們默認(rèn)火箭的飛行方為正方向。我們設(shè)火箭的飛行高度為y,上式可寫為windtdy = undt gtdt m'我們設(shè)

7、在/=0時(shí)，y=0；=/時(shí)，y = y對上式積分得于是有y = uln牛冷 m 2(3)我們令火箭起飛吋水的體積為v升、噴嘴的橫截面積為$,別仏 有v = uts即vu =st帶入(3)式得y = yln牛躲廠(4)s my 2由此可以看出火箭裝水越多、噴口面積越小、質(zhì)量比越大、噴 射時(shí)間越短飛行高度越高。但是這對塑料瓶的耐壓承受力就有很大的 要求了。我們做了一次塑料瓶的耐壓極限測定實(shí)驗(yàn)，從實(shí)驗(yàn)看出普通 塑料瓶的耐壓極限在impa以上。這對下面的火箭設(shè)計(jì)制作有指導(dǎo) 意義。注意：在(4)式中我們沒有考慮空氣阻力。那么考慮空氣阻力 如何求解呢？這就要借助計(jì)算機(jī)輔助求解了。在水火箭飛行的過程中 空氣

8、阻力f=cpsv2其中。是空氣密度，標(biāo)準(zhǔn)狀況下約為 1.293檢/加彳；s是箭體徑向迎風(fēng)面積；"是火箭飛行速率；c是空 氣阻力系數(shù)，這也正是我們主要的測量數(shù)據(jù)。不同的飛行器有不同的尺寸、形狀，其空氣阻力系數(shù)也不同。為 了驗(yàn)證計(jì)算的正確性，我們簡易制作一個(gè)水火箭作為研究對象，并測 量其空氣阻力系數(shù)c的值，最終計(jì)算出火箭的飛行高度，并用實(shí)驗(yàn)驗(yàn) 證之。4水火箭制做研究4.1火箭實(shí)體制作簡易的火箭要滿足兩個(gè)條件才能正常起飛。一個(gè)是火箭的推力 必須滿足其自身重力，這樣火箭才能飛得起來。另一個(gè)是火箭的重心 必須在其壓力中心之上（一般取一個(gè)箭體直徑的距離），這樣火箭才 能在飛起來的基礎(chǔ)上飛的穩(wěn)定。

9、如圖設(shè)計(jì)圖紙（三角尾翼）。（單位：cm）r13很容易算出壓力中心即為紅色條帶處。對于重心位置可以用加水的多少以及在箭頭配重的方法平衡。那么如何如何滿足火箭的推力大于重力呢？回到式-dm'udt可以看出火箭的推力與射速、排除率成正比。我們設(shè)定在火箭內(nèi)部裝 2升的水，在1秒內(nèi)全部射出（這時(shí)瓶內(nèi)的壓強(qiáng)約為4個(gè)大氣壓），噴 口的橫截面積為s = 42;tx1062 （即直徑為8加加的圓孔），那么 射速u = 39j5m/s,排除率為2kg/s,推力就是79.5n,這個(gè)推 力足以使自重3kg左右的火箭迅速起飛了。如圖為火箭實(shí)體:經(jīng)試射，達(dá)到預(yù)期設(shè)計(jì)指標(biāo)（見附錄）。4.2空氣阻力系數(shù)的測定在航天航

10、空丁程中有專門的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室用于測量各種飛行器的 空氣阻力系數(shù)。鑒于條件有限我們設(shè)計(jì)一個(gè)簡單的方法粗略的測算 co方法如下：風(fēng)洞的本質(zhì)即是在地面模擬飛行器飛行時(shí)的環(huán)境特征，我們可以 把火箭橫放在一個(gè)于平直路面沿箭體徑向勻速運(yùn)動的車上，這樣火箭 和對空氣就有一個(gè)不變的速度，我們把車的速度測出來、空氣密度已 知、火箭的迎風(fēng)面積測出來。又因?yàn)榛鸺梢钥醋魇莿蛩僦本€運(yùn)動, 所以它所受的空氣阻力不變，我們可以用彈簧秤把它測量出來，這樣 通過方程f=cpsv2就可以很容易算出cto以上是理想的狀態(tài)，事實(shí)上在測量的過程中述有風(fēng)以及火箭和支 架之間的摩擦力的影響。為了盡量使測量數(shù)據(jù)準(zhǔn)確我們的解決辦法如 下：1、

11、盡量在無風(fēng)或微風(fēng)的天氣下測量，在逆風(fēng)和順風(fēng)的方向同 吋測量取平均值以抵消微風(fēng)的影響。2、對于摩擦力，在車速低于定值向定值加速和高于定值向定 值減速的兩種情況測量取平均值以抵消摩擦力的影響。如 設(shè)定v的值為15m/s,我們可以使車的速度從12m/s加速 到15m/s測量一個(gè)數(shù)據(jù)，從18m/s減速到15m/s測量一個(gè) 數(shù)據(jù)，兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均值即為平衡摩擦力后的數(shù)值。3、多次測量取平均值。如表1為實(shí)際測量結(jié)果，汽車的速度約為48z:m/z：（單位：g）12345平條減速加速減速加速減速加速減速加速減速加速件逆風(fēng)順風(fēng)逆風(fēng)順風(fēng)逆風(fēng)順風(fēng)逆風(fēng)順風(fēng)逆風(fēng)順風(fēng)均數(shù)值3552253552153732353302383

12、65248平均290285304284307294由表可知在速度為15m/s時(shí)火箭的空氣阻力約為2.94n。下圖是測量時(shí)的圖片資料：架設(shè)火箭準(zhǔn)備測量汽車行駛中4.3空氣阻力系數(shù)的求解:因?yàn)閒=lcpsv2有心2/ psv2 代入數(shù)據(jù)解得c=0.075n-s2/kg/m5考慮空氣阻力的火箭飛行高度5.1用matlab求解的思路我們用數(shù)值解法。數(shù)值解法的思路是：選定自變量t區(qū)間中的一 部分，并將其離散，得到多個(gè)離散點(diǎn)，根據(jù)前一離散點(diǎn)的資料，推得 后一點(diǎn)的值，這就是所謂的單步方法。當(dāng)所得的函數(shù)值精度滿足需要 時(shí)，便成為有效數(shù)據(jù)，從而可以較精確的完成運(yùn)動分析過程。但是由 于離散點(diǎn)眾多，人工計(jì)算顯然不現(xiàn)

13、實(shí)，此時(shí)我們想到了數(shù)值計(jì)算軟件 matlab中已有的解微分方程的函數(shù)ode45(),通過編寫matlab 程序可以快速計(jì)算出各點(diǎn)數(shù)值解。同時(shí)matlab還具有強(qiáng)大的的繪圖 功能，我們可作岀y-t圖像，從而獲得各個(gè)時(shí)刻的火箭飛行高度。具 體辦法可取火箭噴射飛行時(shí)間段0-is,將該時(shí)間段離散，取步長 /z=00h,共得到ioi個(gè)吋刻，通過數(shù)值解法可得到每個(gè)時(shí)刻的y 值，通過matlab還可直觀繪出每一吋刻的y值。這樣我們就得到了火箭的飛行高度與時(shí)間的關(guān)系。5.2 matlab程序及yt圖像5.2.1無阻尼時(shí)的matlab程序及y-t圖像matlab 程序：t二0:0. 01:1;u二2*0. 00

14、1/(16*pi*0 000001);m0=3;ml=m0-2*t;g=9.8;y=u. *log (mo. /(mo-2*t). *t-0. 5. *9. 8. *t. *t; plot (t, y)gridxlabel ('時(shí)間t');ylabel ('高度y');titlec無阻尼時(shí)，飛行高度與時(shí)間的關(guān)系')y-t圖像:無阻尼時(shí)，飛行高度與時(shí)間的關(guān)系00.10.20.30.40.50.60.70.80.91時(shí)間t5.2.2有阻尼時(shí)的matlab程序及yt圖像我們先求t=o.qls時(shí)刻的數(shù)據(jù)：因火箭的排除率為m' = m-2t , mm=2.

15、9skg、 u=40m/s9易知=027/s。這樣我們連同其他數(shù)據(jù)可編入 程序。function f二naegl(t, x)u二2*0. 001/(16*pi*0 000001);m0=3;ml=m0-2*t;薩9. 8;k=0. 5*0. 075*1. 293*16*pi*0. 000001;f (1)二2*u. /ml+9. 8+k*x (1 廠2f (2)=x(l)；f=f(：);執(zhí)行：t, x=ode45(©naegl, 0 1, 0. 27, 0)plot (t, x 2)gridxlabel ('時(shí)間l');ylabel ('高度y');t

16、itlec有阻尼時(shí),飛行高度與時(shí)間的關(guān)系')y-t圖像：256誤差分析與結(jié)論總結(jié)6.1誤差分析市y-t圖像可知火箭的飛行高度在23m左右，而我們的實(shí)際試驗(yàn) 也是在20m左右（見附錄屮火箭發(fā)射視頻），但這里包括火箭在把水 噴射完后靠慣性飛行的距離，我們的理論值只是火箭在噴射完水那一 刻的火箭高度。但由于火箭空重質(zhì)量較小，空氣阻力較大，火箭因慣 性上升的高度不會太大。當(dāng)然這里還包括箭體內(nèi)部氣壓變化對高度的 影響與箭體和發(fā)射架之間的摩擦力的影響以及matlab程序中微分時(shí) 間的長短帶來的誤差。綜上，我們可以認(rèn)為我們的理論值和實(shí)際發(fā)射高度的偏差在誤 差允許范圍之內(nèi)。6.2結(jié)論從圖像我們可以看出

17、曲線的的斜率是不斷增大的，這也印證了 火箭的速度是不斷增人的；同時(shí)我們仔細(xì)對比兩個(gè)圖形可以發(fā)現(xiàn)在t 接近is時(shí)有阻尼的曲線斜率增加的相比較無阻尼的曲線斜率要稍微 緩慢些，這也說明了空氣阻力在急劇增大（與速度的二次方成正比）, 從側(cè)面驗(yàn)證了我們的理論分析的止確性與空氣阻力系數(shù)測試的較準(zhǔn) 確性。至此我們可以得出：水火箭在不考慮射速隨氣壓的變化而變化 吋飛行高度的微分方程為：m旳dt=u-+m' g+-cpsv dt26.3論題展望我們在此基礎(chǔ)上還可繼續(xù)深入探索，即考慮火箭箭體內(nèi)部氣壓 變化對高度的影響，以及以水火箭為模型繼續(xù)探究在考慮隨著高度的 變化導(dǎo)致重力加速度變化從而影響飛行高度的情況。若再考慮隨著高 度的增加空氣密度的變化等因素，那么就可以和航天工程銜接了。7附錄圖像及視頻資料致謝在決定探究課題到完成論文寫作實(shí)際時(shí)間不足40天，同時(shí)作