新試卷2019年中考數(shù)學真題分類訓練——專題十九：二次函數(shù)綜合題

1、2019年中考數(shù)學真題分類訓練專題十九：二次函數(shù)綜合題1（2019廣東）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=與x軸交于點a、b（點a在點b右側），點d為拋物線的頂點，點c在y軸的正半軸上，cd交x軸于點f，cad繞點c順時針旋轉(zhuǎn)得到cfe，點a恰好旋轉(zhuǎn)到點f，連接be（1）求點a、b、d的坐標；（2）求證：四邊形bfce是平行四邊形；（3）如圖2，過頂點d作dd1x軸于點d1，點p是拋物線上一動點，過點p作pmx軸，點m為垂足，使得pam與dd1a相似（不含全等）求出一個滿足以上條件的點p的橫坐標；直接回答這樣的點p共有幾個？解：（1）令=0，解得x1=1，x2=7a（1，0），b（7，0）

2、由y=得，d（3，2）；（2）dd1x軸于點d1，cof=dd1f=90°，d1fd=cfo，dd1fcof，d（3，2），d1d=2，od=3，ac=cf，coaf，of=oa=1，d1f=d1oof=31=2，oc=，ca=cf=fa=2，acf是等邊三角形，afc=acf，cad繞點c順時針旋轉(zhuǎn)得到cfe，ecf=afc=60°，ecbf，ec=dc=6，bf=6，ec=bf，四邊形bfce是平行四邊形；（3）點p是拋物線上一動點，設p點（x，），當點p在b點的左側時，pam與dd1a相似，或，或，解得：x1=1（不合題意舍去），x2=11或x1=1（不合題意舍去）x

3、2=；當點p在a點的右側時，pam與dd1a相似，或，或，解得：x1=1（不合題意舍去），x2=3（不合題意舍去）或x1=1（不合題意舍去），x2=（不合題意舍去）；當點p在ab之間時，pam與dd1a相似，=或=，或，解得：x1=1（不合題意舍去），x2=3（不合題意舍去）或x1=1（不合題意舍去），x2=；綜上所述，點p的橫坐標為11或或；由得，這樣的點p共有3個2（2019深圳）如圖，拋物線經(jīng)y=ax2+bx+c過點a（-1，0），點c（0，3），且ob=oc（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點d、e在直線x=1上的兩個動點，且de=1，點d在點e的上方，求四邊形acde的周長的最

4、小值（3）點p為拋物線上一點，連接cp，直線cp把四邊形cbpa的面積分為35兩部分，求點p的坐標解：（1）ob=oc，點b（3，0），則拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故拋物線的表達式為：y=-x2+2x+3，對稱軸為x=1（2）acde的周長=ac+de+cd+ae，其中ac、de=1是常數(shù)，故cd+ae最小時，周長最小，取點c關于函數(shù)對稱點c（2，3），則cd=cd，取點a（-1，1），則ad=ae，故：cd+ae=ad+dc，則當a、d、c三點共線時，cd+ae=ad+dc最小，周長也最小，四邊形a

5、cde的周長的最小值=ac+de+cd+aead+dcac（3）如圖，設直線cp交x軸于點e，直線cp把四邊形cbpa的面積分為35兩部分，又spcbspcaeb×（yc-yp）ae×（yc-yp）=beae，則beae=35或53，則ae或，即：點e的坐標為（，0）或（，0），將點e、c的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直線cp的表達式為：y=-2x+3或y=-6x+3，聯(lián)立并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），故點p的坐標為（4，-5）或（8，-45）3.（2019雅安） 已知二次函數(shù)y=ax2(a0)的圖象過點（2，-1），點p（p與o

6、不重合）是圖象上的一點，直線l過點（0，1）且平行于x軸。pml于點m，點f（0，-1）（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求證：點p在線段mf的中垂線上；（3）設直線 pf交二次函數(shù)的圖象于另一點q，qnl于點n，線段mf的中垂線交l于點r，求的值； （4）試判斷點r與以線段pq為直徑的圓的位置關系 解：（1）y=ax2(a0)的圖象過點（2，-1），-1=a×22，即a=，；（2）設的圖象上的點p（x1,y1）,則m(x1，1)，即x12=-4y1，pm=1-y1，又pf=y1-1=pm，即pf=pm，點p在線段mf的中垂線上；（3）連接rf，r在線段mf的中垂線上，mr=fr，又p

7、m=pf，pr=pr，pmrpfr，pfr=pmr=90°，rfpf，連接rq，又在rtrfq和rtrnq中，q 在的圖象上，由（2）結論知qf=qn，rq=rq，rtrfq rtrnq，即rn=fr，即mr=fr=rn，；（4）在pqr中，由（3）知pr平分mrf，qr平分frn，prq=（mrf+frn）=90°，點r在以線段pq為直徑的圓上4（2019南寧）如果拋物線c1的頂點在拋物線c2上，拋物線c2的頂點也在拋物線c1上時，那么我們稱拋物線c1與c2“互為關聯(lián)”的拋物線如圖1，已知拋物線c1：y1=x2+x與c2：y2=ax2+x+c是“互為關聯(lián)”的拋物線，點a，

8、b分別是拋物線c1，c2的頂點，拋物線c2經(jīng)過點d（6，1）（1）直接寫出a，b的坐標和拋物線c2的解析式；（2）拋物線c2上是否存在點e，使得abe是直角三角形？如果存在，請求出點e的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，點f（6，3）在拋物線c1上，點m，n分別是拋物線c1，c2上的動點，且點m，n的橫坐標相同，記afm面積為s1（當點m與點a，f重合時s1=0），abn的面積為s2（當點n與點a，b重合時，s2=0），令s=s1+s2，觀察圖象，當y1y2時，寫出x的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)s的最大值解：（1）c1頂點在c2上，c2頂點也在c1上，由拋物線c1：y1=x2+x可得

9、a（2，1），將a（2，1），d（6，1）代入y2=ax2+x+c得，解得 ，y2=x2+x+2，b（2，3）；（2）易得直線ab的解析式：y=x+1，若b為直角的頂點，beab，kbekab=1，kbe=1，則直線be的解析式為y=x+5聯(lián)立，解得或，此時e（6，1）；若a為直角頂點，aeab，kaekab=1，kae=1，則直線ae的解析式為y=x3，聯(lián)立，解得或，此時e（10，13）；若e為直角頂點，設e（m，m2+m+2）由aebe得kbekae=1，即，解得m=2或2（不符合題意均舍去），存在，e（6，1）或e（10，13）；（3）y1y2，觀察圖形可得：x的取值范圍為2x2，設m（

10、t，t2+t），n（t，t2+t+2），且2t2，易求直線af的解析式：y=x3，過m作x軸的平行線mq交af于q，由yq=ym，得q（t2t3，t2+t），s1=|qm|yfya|=t2+4t+6，設ab交mn于點p，易知p坐標為（t，t+1），s2=|pn|xaxb|=2t2，s=s1+s2=4t+8，當t=2時，s的最大值為165（2019廣州）已知拋物線g：y=mx2-2mx-3有最低點（1）求二次函數(shù)y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；（2）將拋物線g向右平移m個單位得到拋物線g1經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，拋物線g1頂點的縱坐標y與橫坐標x之間存在一個函數(shù)關系，求這

11、個函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）記（2）所求的函數(shù)為h，拋物線g與函數(shù)h的圖象交于點p，結合圖象，求點p的縱坐標的取值范圍解：（1）y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，拋物線有最低點，二次函數(shù)y=mx2-2mx-3的最小值為-m-3（2）拋物線g：y=m（x-1）2-m-3，平移后的拋物線g1：y=m（x-1-m）2-m-3，拋物線g1頂點坐標為（m+1，-m-3），x=m+1，y=-m-3，x+y=m+1-m-3=-2，即x+y=-2，變形得y=-x-2，m>0，m=x-1，x-1>0，x>1，y與x的函數(shù)關系式為y=-x-2（x>1）（3）

12、法一：如圖，函數(shù)h：y=-x-2（x>1）圖象為射線，x=1時，y=-1-2=-3；x=2時，y=-2-2=-4，函數(shù)h的圖象恒過點b（2，-4），拋物線g：y=m（x-1）2-m-3，x=1時，y=-m-3；x=2時，y=m-m-3=-3，拋物線g恒過點a（2，-3），由圖象可知，若拋物線與函數(shù)h的圖象有交點p，則yb<yp<ya，點p縱坐標的取值范圍為-4<yp<-3法二：，整理的：m（x2-2x）=1-x，x>1，且x=2時，方程為0=-1不成立，x2，即x2-2x=x（x-2）0，m0，x>1，1-x<0，x（x-2）<0，x-2&

13、lt;0，x<2，即1<x<2，yp=-x-2，-4<yp<-3，6（2019海南）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過a（5，0），b（4，3）兩點，與x軸的另一個交點為c，頂點為d，連結cd（1）求該拋物線的表達式；（2）點p為該拋物線上一動點（與點b、c不重合），設點p的橫坐標為t當點p在直線bc的下方運動時，求pbc的面積的最大值；該拋物線上是否存在點p，使得pbc=bcd？若存在，求出所有點p的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）將點a、b坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得，故拋物線的表達式為：y=x2+6x+5（2）如圖1，過點p作pex軸于點e，交

14、直線bc于點f.在拋物線y=x2+6x+5中，令y=0，則x2+6x+5=0，解得x=5，x=1，點c的坐標為（1，0）.由點b（4，3）和c（1，0），可得直線bc的表達式為y=x+1.設點p的坐標為（t，t2+6t+5），由題知4<t<1，則點f（t，t+1），fp=（t+1）（t2+6t+5）=t25t4，spbc=sfpb+sfpc=·fp·3=.4<<1，當t=時，pbc的面積的最大值為存在y=x2+6r+5=（x+3）24，拋物線的頂點d的坐標為（3，4）.由點c（l，0）和d（3，4），可得直線cd的表達式為y=2x+2.分兩種情況討論

15、：（i）當點p在直線bc上方時，有pbc=bcd，如圖2.若pbc=bcd，則pbcd，設直線pb的表達式為y=2x+b.把b（4，3）代入y=2x+b，得b=5，直線pb的表達式為y=2x+5.由x2+6x+5=2x+5，解得x1=0，x2=4（舍去），點p的坐標為（0，5）.（ii）當點p在直線bc下方時，有pbc=bcd，如圖3.設直線bp與cd交于點m，則mb=mc.過點b作bnx軸于點n，則點n（4，0），nb=nc=3，mn垂直平分線段bc.設直線mn與bc交于點g，則線段bc的中點g的坐標為，由點n（4，0）和g，得直線ng的表達式為y=x4.直線cd:y=2x+2與直線ng:y

16、=x4交于點m，由2x+2=x4，解得x=2，點m的坐標為（2，2）.由b（4，3）和m（2.2），得直線bm的表達式為y=由x2+6x+5=，解得x1=，x2=4（含去），點p的坐標為（，）.綜上所述，存在滿足條件的點p的坐標為（0，5）和（，）.7. （2019鎮(zhèn)江）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為，對稱軸是直線1，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，且與直線關于的對稱直線交于點（1）點的坐標是；（2）直線與直線交于點，是線段上一點（不與點、重合），點的縱坐標為過點作直線與線段、分別交于點、，使得與相似當時，求的長；若對于每一個確定的的值，有且只有一個與相似，請直接寫出的取值范圍解：（1）頂點為；故答案為

17、；（2）對稱軸，由已知可求，點關于對稱點為，則關于對稱的直線為，當時，當時，；當與不平行時，；綜上所述，；當，時，有且只有一個與相似時，；故答案為；8（2019陜西）在平面直角坐標系中，已知拋物線l：y=ax2+（ca）x+c經(jīng)過點a（3，0）和點b（0，6），l關于原點o對稱的拋物線為l（1）求拋物線l的表達式；（2）點p在拋物線l上，且位于第一象限，過點p作pdy軸，垂足為d若pod與aob相似，求符合條件的點p的坐標解：（1）將點a、b的坐標代入拋物線表達式得：，解得，l：y=x25x6（2）點a、b在l上的對應點分別為a（3，0）、b（0，6），設拋物線l的表達式y(tǒng)=x2+bx+6，將

18、a（3，0）代入y=x2+bx+6，得b=5，拋物線l的表達式為y=x25x+6，a（3，0），b（0，6），ao=3，ob=6，設：p（m，m25m+6）（m0），pdy軸，點d的坐標為（0，m25m+6），pd=m，od=m25m+6，rtpod與rtaob相似.pdoboa時，=，即m=2（m25m+6），解得：m=或4；當odpaob時，同理可得：m=1或6；p1、p2、p3、p4均在第一象限，符合條件的點p的坐標為（1，2）或（6，12）或（，）或（4，2）9. （2019常州）如圖，二次函數(shù)yx2+bx+3的圖象與x軸交于點a、b，與y軸交于點c，點a的坐標為（1，0），點d為oc

19、的中點，點p在拋物線上（1）b ；（2）若點p在第一象限，過點p作phx軸，垂足為h，ph與bc、bd分別交于點m、n是否存在這樣的點p，使得pmmnnh？若存在，求出點p的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點p的橫坐標小于3，過點p作pqbd，垂足為q，直線pq與x軸交于點r，且spqb2sqrb，求點p的坐標解：（1）二次函數(shù)yx2+bx+3的圖象與x軸交于點a（1，0）1b+3解得：b2故答案為：2（2）存在滿足條件呢的點p，使得pmmnnh二次函數(shù)解析式為yx2+2x+3當x0時y3，c（0，3）當y0時，x2+2x+30解得：x11，x23a（1，0），b（3，0）直線bc的解析式

20、為yx+3點d為oc的中點，d（0，32）直線bd的解析式為y=-12x+32，設p（t，t2+2t+3）（0t3），則m（t，t+3），n（t，-12t+32），h（t，0）pmt2+2t+3（t+3）t2+3t，mnt+3（-12x+32）=-12t+32，nh=-12t+32mnnhpmmnt2+3t=-12t+32解得：t1=12，t23（舍去）p（12，154）p的坐標為（12，154），使得pmmnnh（3）過點p作pfx軸于f，交直線bd于eob3，od=32，bod90°bd=ob2+od2=352cosobd=obbd=3352=255pqbd于點q，pfx軸于點f

21、pqebqrpfr90°prf+obdprf+epq90°epqobd，即cosepqcosobd=255在rtpqe中，cosepq=pqpe=255pq=255pe在rtpfr中，cosrpf=pfpr=255pr=pf255=52pfspqb2sqrb，spqb=12bqpq，sqrb=12bqqrpq2qr設直線bd與拋物線交于點g-12x+32=-x2+2x+3，解得：x13（即點b橫坐標），x2=-12點g橫坐標為-12設p（t，t2+2t+3）（t3），則e（t，-12t+32）pf|t2+2t+3|，pe|t2+2t+3（-12t+32）|t2+52t+32

22、|若-12t3，則點p在直線bd上方，如圖2，pft2+2t+3，pet2+52t+32pq2qrpq=23pr255pe=2352pf，即6pe5pf6（t2+52t+32）5（t2+2t+3）解得：t12，t23（舍去）p（2，3）若1t-12，則點p在x軸上方、直線bd下方，如圖3，此時，pqqr，即spqb2sqrb不成立若t1，則點p在x軸下方，如圖4，pf（t2+2t+3）t22t3，pe=-12t+32-（t2+2t+3）t2-52t-32pq2qrpq2pr255pe252pf，即2pe5pf2（t2-52t-32）5（t22t3）解得：t1=-43，t23（舍去）p（-43，

23、-139）綜上所述，點p坐標為（2，3）或（-43，-139）10（2019河北）如圖，若b是正數(shù)，直線l：y=b與y軸交于點a；直線a：y=xb與y軸交于點b；拋物線l：y=x2+bx的頂點為c，且l與x軸右交點為d（1）若ab=8，求b的值，并求此時l的對稱軸與a的交點坐標；（2）當點c在l下方時，求點c與l距離的最大值；（3）設x00，點（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和l上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點（x0，0）與點d間的距離；（4）在l和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“美點”，分別直接寫出b=2019和b=2019.5時“美點

24、”的個數(shù)解：（1）當x=0吋，y=xb=b，b（0，b），ab=8，而a（0，b），b（b）=8，b=4l：y=x2+4x，l的對稱軸x=2，當x=2時，y=x4=2，l的對稱軸與a的交點為（2，2）；（2）y=（x）2+，l的頂點c（，），點c在l下方，c與l的距離為b=（b2）2+11，點c與l距離的最大值為1；（3）由題意得，即y1+y2=2y3，得b+x0b=2（x02+bx0），解得x0=0或x0=b但x00，取x0=b，對于l，當y=0時，0=x2+bx，即0=x（xb），解得x1=0，x2=b，b0，右交點d（b，0）點（x0，0）與點d間的距離為b（b）=.（4）當b=2019

25、時，拋物線解析式l：y=x2+2019x，直線解析式a：y=x2019，聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1=1，x2=2019，可知每一個整數(shù)x的值 都對應的一個整數(shù)y值，且1和2019之間（包括1和2019），共有2021個整數(shù)；另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，線段和拋物線上各有2021個整數(shù)點，總計4042個點，這兩段圖象交點有2個點重復重復，美點”的個數(shù)：40422=4040（個）；當b=2019.5時，拋物線解析式l：y=x2+2019.5x，直線解析式a：y=x2019.5，聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1=1，x2=2019.5，當x取整數(shù)時，在一次函數(shù)y=x2019.

26、5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點”為0，在二次函數(shù)y=x+2019.5x圖象上，當x為偶數(shù)時，函數(shù)值y可取整數(shù)，可知1到2019.5之間有1009個偶數(shù)，并且在1和2019.5之間還有整數(shù)0，驗證后可知0也符合，條件，因此“美點”共有1010個故b=2019時“美點”的個數(shù)為4040個，b=2019.5時“美點”的個數(shù)為1010個11. （2019邵陽）如圖，二次函數(shù)的圖象過原點，與軸的另一個交點為（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）在軸上方作軸的平行線，交二次函數(shù)圖象于、兩點，過、兩點分別作軸的垂線，垂足分別為點、點當矩形為正方形時，求的值；（3）在（2）的條件下，動點從點出發(fā)沿射線

27、以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點以相同的速度從點出發(fā)沿線段勻速運動，到達點時立即原速返回，當動點返回到點時，、兩點同時停止運動，設運動時間為秒過點向軸作垂線，交拋物線于點，交直線于點，問：以、四點為頂點構成的四邊形能否是平行四邊形若能，請求出的值；若不能，請說明理由解：（1）將，代入，得：，解得：，該二次函數(shù)的解析式為（2）當時，解得：，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，矩形為正方形，解得：（舍去），當矩形為正方形時，的值為4（3）以、四點為頂點構成的四邊形能為平行四邊形由（2）可知：點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為設直線的解析式為，將，代入，得：，解得：，直線

28、的解析式為當時，點的坐標為，點的坐標為以、四點為頂點構成的四邊形為平行四邊形，且，分三種情況考慮：當時，如圖1所示，解得：（舍去），；當時，如圖2所示，解得：（舍去），；當時，解得：（舍去），（舍去）綜上所述：當以、四點為頂點構成的四邊形為平行四邊形時，的值為4或612（2019河南）如圖，拋物線y=ax2+x+c交x軸于a，b兩點，交y軸于點c直線y=x2經(jīng)過點a，c（1）求拋物線的解析式；（2）點p是拋物線上一動點，過點p作x軸的垂線，交直線ac于點m，設點p的橫坐標為m當pcm是直角三角形時，求點p的坐標；作點b關于點c的對稱點b，則平面內(nèi)存在直線l，使點m，b，b到該直線的距離都相等當

29、點p在y軸右側的拋物線上，且與點b不重合時，請直接寫出直線l：y=kx+b的解析式（k，b可用含m的式子表示）解：（1）直線y=x2交x軸于點a，交y軸于點c，a（-4，0），c（0，-2）.拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過點a，c， 拋物線的解析式為y=x2+x2（2）點p的橫坐標為m，點p的坐標為（m，m2+m2）.當pcm是直角三角形時，有以下兩種情況：（i）當cpm=90°時，pcx軸，x2+x2=-2.解得m1=0（舍去），m2=-2.當m=-2時，m2+m2=-2.點p的坐標為（-2，-2）.（ii）當pcm=90°時，過點p作pny軸于點n，cnp=aoc=90&

30、#176;. ncp+aco=oac+aco=90°，：ncp=oac，gnpaoc，c（0，-2），n（0，m2+m2），cn=，pn=m.即，解得a3=0（含去），m4=6.當m=6時，m2+m2=10，點p的坐標為（6，10）.綜上所述，點p的坐標為（-2，-2）或（6，10）.當y=0時，x2+x2=0，解得x1=4，x2=2，點b的坐標為（2，0）點c的坐標為（0，2），點b，b關于點c對稱，點b的坐標為（2，4）點p的橫坐標為m（m0且m2），點m的坐標為（m，m2）利用待定系數(shù)法可求出：直線bm的解析式為y=x+，直線bm的解析式為y=x，直線bb的解析式為y=x2分三

31、種情況考慮，如圖2所示：當直線lbm且過點c時，直線l的解析式為y=x2；當直線lbm且過點c時，直線l的解析式為y=x2；當直線lbb且過線段cm的中點n（m，m2）時，直線l的解析式為y=xm2綜上所述：直線l的解析式為y=x2，y=x2或y=xm213. （2019荊州）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形oabc的頂點a，c的坐標分別為（6，0），（4，3），經(jīng)過b，c兩點的拋物線與x軸的一個交點d的坐標為（1，0）（1）求該拋物線的解析式；（2）若aoc的平分線交bc于點e，交拋物線的對稱軸于點f，點p是x軸上一動點，當pe+pf的值最小時，求點p的坐標；（3）在（2）的條件下，過點

32、a作oe的垂線交bc于點h，點m，n分別為拋物線及其對稱軸上的動點，是否存在這樣的點m，n，使得以點m，n，h，e為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點m的坐標，若不存在，說明理由解：（1）平行四邊形oabc中，a（6，0），c（4，3）bcoa6，bcx軸xbxc+610，ybyc3，即b（10，3）設拋物線yax2+bx+c經(jīng)過點b、c、d（1，0）100a+10b+c=316a+4b+c=3a+b+c=0 解得：a=-19b=149c=-139拋物線解析式為y=-19x2+149x-139（2）如圖1，作點e關于x軸的對稱點e'，連接e'f交x軸于點pc（4，3）

33、oc=42+32=5bcoaoecaoeoe平分aocaoecoeoeccoeceoc5xexc+59，即e（9，3）直線oe解析式為y=13x直線oe交拋物線對稱軸于點f，對稱軸為直線：x=-1492×(-19)7f（7，73）點e與點e'關于x軸對稱，點p在x軸上e'（9，3），pepe'當點f、p、e'在同一直線上時，pe+pfpe'+pffe'最小設直線e'f解析式為ykx+h9k+h=-37k+h=73 解得：k=-83h=21直線e'f：y=-83x+21當-83x+210時，解得：x=638當pe+pf的值

34、最小時，點p坐標為（638，0）（3）存在滿足條件的點m，n，使得以點m，n，h，e為頂點的四邊形為平行四邊形設ah與oe相交于點g（t，13t），如圖2，ahoe于點g，a（6，0）ago90°ag2+og2oa2（6t）2+（13t）2+t2+（13t）262解得：t10（舍去），t2=275g（275，95）設直線ag解析式為ydx+e6d+e=0275d+e=95 解得：d=-3e=18直線ag：y3x+18當y3時，3x+183，解得：x5h（5，3）he954，點h、e關于直線x7對稱當he為以點m，n，h，e為頂點的平行四邊形的邊時，如圖2則hemn，mnhe4點n在拋

35、物線對稱軸：直線x7上xm7+4或74，即xm11或3當x3時，ym=-19×9+149×9-139=209m（3，209）或（11，209）當he為以點m，n，h，e為頂點的平行四邊形的對角線時，如圖3則he、mn互相平分直線x7平分he，點f在直線x7上點m在直線x7上，即m為拋物線頂點ym=-19×49+149×7-139=4m（7，4）綜上所述，點m坐標為（3，209）、（11，209）或（7，4）14. （2019梧州）如圖，已知的圓心為點，拋物線過點，與交于、兩點，連接、，且，、兩點的縱坐標分別是2、1（1）請直接寫出點的坐標，并求、的值；（

36、2）直線經(jīng)過點，與軸交于點點（與點不重合）在該直線上，且，請判斷點是否在此拋物線上，并說明理由；（3）如果直線與相切，請直接寫出滿足此條件的直線解析式解：（1）過點、分別作軸的垂線交于點、，又，故點、的坐標分別為、，將點、坐標代入拋物線并解得：，故拋物線的表達式為：；（2）將點坐標代入并解得：，則點，點、的坐標分別為、，則，點在直線上，則設的坐標為，則，解得：或6（舍去，故點，把代入，故點在拋物線上；（3）當切點在軸下方時，設直線與相切于點，直線與軸、軸分別交于點、，連接，即：，解得：或（舍去，故點，把點、坐標代入并解得：直線的表達式為：；當切點在軸上方時，直線的表達式為：；故滿足條件的直線解

37、析式為：或15.（2019本溪）拋物線與x軸交于a（-1，0），b（5，0）兩點，頂點為c，對稱軸交x軸于點d，點p為拋物線對稱軸cd上的一動點（點p不與c，d重合），過點c作直線pb的垂線交pb于點e，交x軸于點f.（1）求拋物線的解析式；（2）當pcf的面積為5時，求點p的坐標；（3）當pcf為等腰三角形時，請直接寫出點p的坐標.解：（1）函數(shù)的表達式為：y=(x+1)(x-5)=-x2+x+；（2）拋物線的對稱軸為x=1，則點c（2，2），設點p（2，m），將點p、b的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=sx+t并解得：函數(shù)pb的表達式為：y=-mx+，cepe，故直線ce表達式中的k值為，將點

38、c的坐標代入一次函數(shù)表達式，同理可得直線ce的表達式為：y=x+(2)，聯(lián)立并解得：x=2-，故點f（2-，0），spcf=×pc×df=(2-m)(2-2)=5，解得：m=5或-3（舍去5），故點p（2，-3）；（3）由（2）確定的點f的坐標得：cp2=(2-m)2，cf2=()2+4，pf2=()2+m2，當cp=cf時，即：(2-m)2=()2+4，解得：m=0或（均舍去），當cp=pf時，(2-m)2=()2+m2，解得：m=或3（舍去3），當cf=pf時，同理可得：m=±2（舍去2），故點p（2，）或（2，-2）16. （2019湘西）如圖，拋物線yax

39、2+bx（a0）過點e（8，0），矩形abcd的邊ab在線段oe上（點a在點b的左側），點c、d在拋物線上，bad的平分線am交bc于點m，點n是cd的中點，已知oa2，且oa：ad1：3（1）求拋物線的解析式；（2）f、g分別為x軸，y軸上的動點，順次連接m、n、g、f構成四邊形mngf，求四邊形mngf周長的最小值；（3）在x軸下方且在拋物線上是否存在點p，使odp中od邊上的高為6105？若存在，求出點p的坐標；若不存在，請說明理由；（4）矩形abcd不動，將拋物線向右平移，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點k、l，且直線kl平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離解：（1）點a在線段oe

40、上，e（8，0），oa2a（2，0）oa：ad1：3ad3oa6四邊形abcd是矩形adabd（2，6）拋物線yax2+bx經(jīng)過點d、e4a+2b=-664a+8b=0 解得：a=12b=-4拋物線的解析式為y=12x24x（2）如圖1，作點m關于x軸的對稱點點m'，作點n關于y軸的對稱點點n'，連接fm'、gn'、m'n'y=12x24x=12（x4）28拋物線對稱軸為直線x4點c、d在拋物線上，且cdx軸，d（2，6）ycyd6，即點c、d關于直線x4對稱xc4+（4xd）4+426，即c（6，6）abcd4，b（6，0）am平分bad，ba

41、dabm90°bam45°bmab4m（6，4）點m、m'關于x軸對稱，點f在x軸上m'（6，4），fmfm'n為cd中點n（4，6）點n、n'關于y軸對稱，點g在y軸上n'（4，6），gngn'c四邊形mngfmn+ng+gf+fmmn+n'g+gf+fm'當m'、f、g、n'在同一直線上時，n'g+gf+fm'm'n'最小c四邊形mngfmn+m'n'=(6-4)2+(-4+6)2+(6+4)2+(4+6)2=22+102=122四邊形mngf

42、周長最小值為122（3）存在點p，使odp中od邊上的高為6105過點p作pey軸交直線od于點ed（2，6）od=22+62=210，直線od解析式為y3x設點p坐標為（t，12t24t）（0t8），則點e（t，3t）如圖2，當0t2時，點p在點d左側peyeyp3t（12t24t）=-12t2+tsodpsope+sdpe=12pexp+12pe（xdxp）=12pe（xp+xdxp）=12pexdpe=-12t2+todp中od邊上的高h=6105，sodp=12odh-12t2+t=12×210×6105方程無解如圖3，當2t8時，點p在點d右側peypye=12t

43、24t（3t）=12t2tsodpsopesdpe=12pexp-12pe（xpxd）=12pe（xpxp+xd）=12pexdpe=12t2t12t2t=12×210×6105解得：t14（舍去），t26p（6，6）綜上所述，點p坐標為（6，6）滿足使odp中od邊上的高為6105（4）設拋物線向右平移m個單位長度后與矩形abcd有交點k、lkl平分矩形abcd的面積k在線段ab上，l在線段cd上，如圖4k（m，0），l（2+m，0）連接ac，交kl于點hsacds四邊形adlk=12s矩形abcdsahkschlaklcahkchlsahkschl=(ahch)2=1a

44、hch，即點h為ac中點h（4，3）也是kl中點m+2+m2=4m3拋物線平移的距離為3個單位長度17. （2019郴州）已知拋物線yax2+bx+3與x軸分別交于a（3，0），b（1，0）兩點，與y軸交于點 c（1）求拋物線的表達式及頂點d的坐標；（2）點f是線段ad上一個動點如圖1，設k=afad，當k為何值時，cf=12ad？如圖2，以a，f，o為頂點的三角形是否與abc相似？若相似，求出點f的坐標；若不相似，請說明理由解：（1）拋物線yax2+bx+3過點a（3，0），b（1，0），9a-3b+3=0a+b+3=0，解得：a=-1b=-2，拋物線解析式為yx22x+3；yx22x+3（

45、x+1）2+4頂點d的坐標為（1，4）；（2）在rtaoc中，oa3，oc3，ac2oa2+oc218，d（1，4），c（0，3），a（3，0），cd212+122ad222+4220ac2+cd2ad2acd為直角三角形，且acd90°cf=12ad，f為ad的中點，afad=12，k=12在rtacd中，tanacd=dcac=232=13，在rtobc中，tanocb=oboc=13，acdocb，oaoc，oacoca45°，faoacb，若以a，f，o為頂點的三角形與abc相似，則可分兩種情況考慮：當aofabc時，aofcba，ofbc，設直線bc的解析式為yk

46、x+b，k+b=0b=3，解得：k=-3b=3，直線bc的解析式為y3x+3，直線of的解析式為y3x，設直線ad的解析式為ymx+n，-k+b=4-3k+b=0，解得：k=2b=6，直線ad的解析式為y2x+6，y=2x+6y=-3x，解得：x=-65y=185，f（-65，185）當aofcab45°時，aofcab，cab45°，ofac，直線of的解析式為yx，y=-xy=2x+6，解得：x=-2y=2，f（2，2）綜合以上可得f點的坐標為（-65，185）或（2，2）18.（2019孝感）如圖1，在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線yax22ax8a與x軸相交于a

47、、b兩點（點a在點b的左側），與y軸交于點c（0，4）（1）點a的坐標為 ，點b的坐標為 ，線段ac的長為 ，拋物線的解析式為 （2）點p是線段bc下方拋物線上的一個動點如果在x軸上存在點q，使得以點b、c、p、q為頂點的四邊形是平行四邊形求點q的坐標如圖2，過點p作peca交線段bc于點e，過點p作直線xt交bc于點f，交x軸于點g，記pef，求f關于t的函數(shù)解析式；當t取m和4-12m（0m2）時，試比較f的對應函數(shù)值f1和f2的大小解：（1）由題意得：8a4，故a=12，故拋物線的表達式為：y=12x2x4，令y0，則x4或2，即點a、b的坐標分別為（2，0）、（4，0），則ac25，故

48、答案為：（2，0）、（4，0）、25、y=12x2x4；（2）當bc是平行四邊形的一條邊時，如圖所示，點c向右平移4個單位、向上平移4個單位得到點b，設：點p（n，12n2n4），點q（m，0），則點p向右平移4個單位、向上平移4個單位得到點q，即：n+4m，12n2n4+40，解得：m4或6（舍去4），即點q（6，0）；當bc是平行四邊形的對角線時，設點p（m，n）、點q（s，0），其中n=12m2m4，由中心公式可得：m+s2，n+04，解得：s2或4（舍去4），故點q（2，0）；故點q的坐標為（2，0）或（6，0）；（3）如圖2，過點p作phx軸交bc于點h，gpy軸，hepacb，ph

49、x軸，phoaoc，ephcao，epac=phab，即：ep25=ph6，則ep=53ph，設點p（t，yp），點h（xh，yp），則12t2t4xh4，則xh=12t2t，f=53pht（12t2t）=-56（t24t），當tm時，f1=56（m24m），當t4-12m時，f2=-56（34m22m），則f1f2=-58m（m-83），則0m2，f1f20，f1f219. （2019咸寧）如圖，在平面直角坐標系中，直線yx+2與x軸交于點a，與y軸交于點b，拋物線y=-12x2+bx+c經(jīng)過a，b兩點且與x軸的負半軸交于點c（1）求該拋物線的解析式；（2）若點d為直線ab上方拋物線上的一個

50、動點，當abd2bac時，求點d的坐標；（3）已知e，f分別是直線ab和拋物線上的動點，當b，o，e，f為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的e點的坐標解：（1）在y=-12x+2中，令y0，得x4，令x0，得y2a（4，0），b（0，2）把a（4，0），b（0，2），代入y=-12x2+bx+c，得c=2-12×16+4b+c=0，解得b=32c=2 拋物線得解析式為y=-12x2+32x+2（2）如圖，過點b作x軸得平行線交拋物線于點e，過點d作be得垂線，垂足為fbex軸，bacabeabd2bac，abd2abe即dbe+abe2abedbeabedbebac設

51、d點的坐標為（x，-12x2+32x+2），則bfx，df=-12x2+32xtandbe=dfbf，tanbac=boaodfbf=boao，即-12x2+32xx=24解得x10（舍去），x22當x2時，-12x2+32x+2=3點d的坐標為（2，3）（3）當bo為邊時，obef，obef設e（m，-12m+2），f（m，-12m2+32m+2）ef|（-12m+2）（-12m2+32m+2）|2解得m12，m2=2-22，m3=2+22當bo為對角線時，ob與ef互相平分過點o作ofab，直線ofy=-12x交拋物線于點f（2+22，-1-2）和（2-22，-1+2）求得直線ef解析式為y=-22x+1或y=22x+1直線ef與ab的交點為e，點e的橫坐標為-22-2或22-2e點的坐標為（2，1）或（2