2022年2022年排列組合知識(shí)點(diǎn)與方法歸納

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載排列組合學(xué)問(wèn)點(diǎn)與方法歸納一.學(xué)問(wèn)要點(diǎn)1. 分類計(jì)數(shù)原理與分步運(yùn)算原理（1） 分類運(yùn)算原理（加法原理）：完成一件事,有 n 類方法,在第一類方法中有 m1 種不同的方法,在其次類方法中有 m2 種不同的方法, ,在第 n 類方法中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有 n= m1+ m2+ + mn 種不同的方法；（2） 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事,需要分成n 個(gè)步驟,做第1 步有 m1 種不同的方法,做第2 步有m2 種不同的方法,做第n 步有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有 n= m1× m2×

2、15; m n 種不同的方法；2. 排列（1） 定義從 n 個(gè)不同元素中取出m（）個(gè)元素的全部排列的個(gè)數(shù),叫做從 n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記為.（2） 排列數(shù)的公式與性質(zhì)a 排列數(shù)的公式： =n （ n-1 ）（ n-2 ） （ n-m+1） =特例：當(dāng) m=n時(shí),=n ！=n（ n-1 ）（ n-2 ）× 3×2×1規(guī)定： 0！=1b 排列數(shù)的性質(zhì)：（）=（）（）3. 組合（ 1）定義精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載a) 從 n 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組, 叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)組合b) 從

3、 n 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的全部組合的個(gè)數(shù),叫做從 n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)表示；（ 2）組合數(shù)的公式與性質(zhì)a) 組合數(shù)公式：（乘積表示）（階乘表示）特例：b) 組合數(shù)的主要性質(zhì)：（）（）4. 排列組合的區(qū)分與聯(lián)系（ 1） 排列與組合的區(qū)分在于組合僅與選取的元素有關(guān),而排列不僅與選取的元素有關(guān),而且仍與取出元素的次序有關(guān)；因此,所給問(wèn)題為否與取出元素的次序有關(guān),為判定這一問(wèn)題為排列問(wèn)題仍為組合問(wèn)題的理論依據(jù)；（ 2）留意到獲得（一個(gè)）排列歷經(jīng)“獲得（一個(gè)）組合”和“對(duì)取出元素作全排列”兩個(gè)步驟,故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系：二.經(jīng)典例題例 1.某人方案使用不超過(guò)500 元

4、的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60.70 元的單片軟件和盒裝磁盤,要求軟件至少買3 片,磁盤至少買2 盒,就不同的選購(gòu)方式為（）a .5種b.6種c. 7種d. 8種解：留意到購(gòu)買3 片軟件和2 盒磁盤花去320 元,所以,這里只爭(zhēng)論剩下的180 元如何使用,可從購(gòu)買軟件的情形入手分類爭(zhēng)論：第一類,再買3 片軟件,不買磁盤,只有1種方法；其次類,再買2 片軟件,不買磁盤,只有1 種方法；第三類,再買1 片軟件,再買1 盒磁盤或不買磁盤,有2 種方法；第四類,不買軟件,再買 2 盒磁盤. 1 盒磁盤或不買磁盤,有3 種方法；于為由分類計(jì)數(shù)原理可知,共有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備

5、歡迎下載n=1+1+2+3=7種不同購(gòu)買方法,應(yīng)選c；例 2.在中有 4 個(gè)編號(hào)為1, 2,3, 4 的小三角形,要在每一個(gè)小三角形中涂上紅.藍(lán).黃.白.黑五種顏色中的一種,使有相鄰邊的小三角形顏色不同,共有多少種不同的涂法？解：依據(jù)題意,有相鄰邊的小三角形顏色不同,但“對(duì)角”的兩個(gè)小三角形可以為相同顏色,于為考慮以對(duì)角的小三角形1.4 同色與不同色為標(biāo)準(zhǔn)分為兩類,進(jìn)而在每一類中分步運(yùn)算；第一類： 1 與 4 同色,就1 與 4 有 5 種涂法, 2 有 4 種涂法, 3 有 4 種涂法,故此時(shí)有 n1=5×4×4=80 種不同涂法；其次類： 1 與 4 不同色,就 1 有

6、 5 種涂法, 4 有 4 種涂法, 2 有 3 種涂法, 3 有 3 種涂法,故此時(shí)有 n2=5×4×3×3=180 種不同涂法； 綜上可知, 不同的涂法共有 80+180=260 種；例 3.用數(shù)字 0,1,2, 3,4,5 組成無(wú)重復(fù)數(shù)字4 位數(shù),其中,必含數(shù)字2 和 3,并且 2 和 3 不相鄰的四位數(shù)有多少個(gè)？解：留意到這里“ 0”的特別性,故分兩類來(lái)爭(zhēng)論；第一類：不含“ 0”的符合條件的四位數(shù),第一從1, 4, 5 這三個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排列有種；進(jìn)而將 2 和 3 分別插入前面排好的兩個(gè)數(shù)字中間或首尾位置,又有種排法,于為由分步計(jì)數(shù)原理可知,不含0

7、且符合條件的四位數(shù)共有=36 個(gè)；其次類：含有“ 0”的符合條件的四位數(shù),留意到正面考慮頭緒較多,故考慮運(yùn)用“間接法”：第一從1,4,5 這三個(gè)數(shù)字中任選一個(gè),而后與0,2,3 進(jìn)行全排列,這樣的排列共有個(gè)；其中,有如下三種情形不合題意,應(yīng)當(dāng)排險(xiǎn)：（ 1）0 在首位的,有個(gè)；（ 2）0 在百位或十位,但2 與 3 相鄰的,有個(gè)（ 3）0 在個(gè)位的,但2 與 3 相鄰的,有個(gè)因此,含有0 的符合條件的四位數(shù)共有=30 個(gè)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載于為可知,符合條件的四位數(shù)共有36+30=66 個(gè)例 4.某人在打靶時(shí)射擊8 槍,命中4 槍,如命中的4 槍有且只有

8、3 槍為連續(xù)命中的,那么該人射擊的8 槍,按“命中”與“不命中”報(bào)告結(jié)果,不同的結(jié)果有（）a.720 種b.480種c.24種d.20種分析： 第一,對(duì)未命中的4 槍進(jìn)行排列, 它們形成5 個(gè)空擋,留意到未命中的4 槍“位置公平”,故只有一種排法,其次,將連中的3 槍視為一個(gè)元素,與命中的另一槍從前面5個(gè)空格中選2 個(gè)排進(jìn)去, 有種排法, 于為由乘法原理知, 不同的報(bào)告結(jié)果菜有種；例 5.（ 1）；（ 2）如,就 n=；（ 3）；（ 4）如,就 n 的取值集合為；（ 5）方程的解集為；解：（ 1）留意到n 滿意的條件原式 =（ 2 ） 運(yùn) 用 楊 輝 恒 等 式 , 已 知 等 式所求 n=4；（ 3）依據(jù)楊輝恒等式原式 =精品學(xué)習(xí)資料精