必修二空間幾何體專題測試(共14頁)

1、必修2 空間幾何體單元測試一選擇題（共10小題）1（2019秋溫州期末）將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（）A一個圓臺、兩個圓錐B一個圓柱、兩個圓錐C兩個圓臺、一個圓柱D兩個圓臺、一個圓錐【解析】解：設(shè)等腰梯形ABCD，較長的底邊為CD，則繞著底邊CD旋轉(zhuǎn)一周可得一個圓柱和兩個圓錐，（如右軸截面圖）故選：B2（2019秋漢中期末）下列幾何體中，不是旋轉(zhuǎn)體的是（）ABCD【解析】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念可知：B，C，D中三個幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，A中幾何體為多面體，故選：A3（2019秋香坊區(qū)校級期末）已知圓錐的表面積為9，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半

2、徑為（）A1B3C2D2【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l；則圓錐的表面積為Sr2+rl9，又圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，即2rl，由解得r=3所以圓錐的底面半徑為3故選：B4（2020橋東區(qū)校級模擬）胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側(cè)面都是相同的等腰三角形研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長除以2倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率355113若胡夫金字塔的高為h，則該金字塔的側(cè)棱長為（）A22+1hB22+4h8C2+16h4D22+16h4【解析】解：設(shè)該金字塔的底面邊長為a，則4a2h=，可得：a=h2該金字塔的側(cè)棱長=h2+(2a2)2=h2+24×2h24=16+224h

3、故選：D【點睛】本題考查了正四棱錐的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題5（2020撫順模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積是（）A(45+92)B36C63D216+9【解析】解：由三視圖知，該幾何體是圓柱與圓錐的組合體，如圖所示；則該組合體的體積為VV柱+V錐326+1332363故選：C【點睛】本題考查了利用三視圖求簡單組合體的體積問題，是基礎(chǔ)題6（2019秋吉林期末）如圖所示，直線PA垂直于O所在的平面，ABC內(nèi)接于O，且AB為O的直徑，點M為線段PB的中點現(xiàn)有結(jié)論：BCPC；OM平面APC；點B到平面PAC的距離等于線段BC的長其中正確的是（）ABCD【解析】解：

4、PA圓O所在的平面，BC圓O所在的平面，PABC而BCAC，PAACABC面PAC，而PC面PACBCPC，故正確；點M為線段PB的中點，點O為AB的中點OMPA，而OM面PAC，PA面PACOM平面APC，故正確；BC面PAC，正確故選：B【點睛】本題考查了線線垂直、線面垂直、線面平行的判定，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力7（2020唐山一模）孫子算經(jīng)是我國古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有圓窖周五丈四尺，深一丈八尺，問受粟幾何？”其意思為：“有圓柱形容器，底面圓周長五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文10尺，1斛1.62立方尺，圓周率3），則該圓柱

5、形容器能放米（）A900 斛B2700斛C3600斛D10800斛【解析】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則2r54，得r9，故米堆的體積為×92×184374立方尺，1斛米的體積約為1.62立方尺，該圓柱形容器能放米4374÷1.622700斛，故選：B【點睛】本題考查圓柱體積的求法，考查圓的周長公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題8（2020唐山一模）已知四棱錐PABCD的頂點都在球O的球面上，PA底面ABCD，且ABAD1，BCCD2，若球O的表面積為36，則PA（）A2B6C31D33【解析】解：設(shè)底面四邊形ABCD的外接圓為圓M，如圖所示：，ABAD，BCCD，ACAC，AD

6、CABC，ADCABC，又因為圓內(nèi)接四邊形對角互補，ADCABC90°，底面四邊形ABCD的外接圓的圓心M為AC的中點，AD1，CD2，ADC90°，AC=5，即面四邊形ABCD的外接圓的半徑r=52，過點M作底面ABCD的垂線，則球O的球心O在垂線上，如圖所示：，過球心O作ONPA于點N，故四邊形AMON為矩形，球O的表面積為36，4R236，R3，在RtOAM中：AMr=52，OAR3，OM=32-(52)2=312，在RtPON中：ONAMr=52，OPR3，PN=32-(52)2=312，PAPN+ANPN+OM=31，故選：C【點睛】本題主要考查了四棱錐的外接球，

7、是中檔題9（2020春鼓樓區(qū)校級期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等據(jù)說阿基米德對這個圖最引以為自豪在該圖中，圓柱的體積與球的體積之比為（）A2：1B5：2C3：2D4：3【解析】解：由題意，圓柱底面半徑r球的半徑R，圓柱的高h2R，則V球=43R3，V柱r2hR22R2R3V柱V球=2R343R3=32故選：C【點睛】本題考查阿基米德的墓碑上刻著的圓柱及圓柱內(nèi)切球的體積之比的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題10（2020廣東一模）已知三棱錐PABC滿足PAPBPCAB2，ACBC，

8、則該三棱錐外接球的體積為（）A32273B323C3293D163【解析】解：因為ACBC，所以ABC的外接圓的圓心為斜邊AB的中點D，可得外接圓的半徑為r=12AB=1，再由PAPBPCAB2可得PD面ABC，可得PD=PA2-AD2=4-1=3，可得球心O在直線PD所在的直線上，設(shè)外接球的半徑為R，取OPOAR，在OAD中，R2r2+（PDR）2，即R21+（3-R）2，解得：R=23=233，所以外接球的體積V=43R3=32327，故選：A【點睛】本題考查三棱錐的棱長與外接球的半徑之間的關(guān)系，及球的體積公式，屬于中檔題二填空題（共4小題）11（2020撫順模擬）已知一個圓柱的側(cè)面積等于

9、表面積的一半，且其軸截面的周長是18，則該圓柱的體積是27【解析】解：設(shè)圓柱的底面圓的半徑為r，高為h由題意可得2rh2r2+2rh=122(2r+h)=18，解得rh3，則該圓柱的體積是r2h27故答案為：27【點睛】本題考查圓柱的側(cè)面積、表面積與體積的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題12（2020通州區(qū)一模）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積等于1633【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為三棱錐體如圖所示：所以：V=13×12×4×23×4=1633故答案為：1633【點睛】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，幾何體

10、的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型13（2020廣西模擬）一個圓錐恰有三條母線兩兩夾角為60°，若該圓錐的側(cè)面積為33，則該圓錐的體積為6【解析】解：如圖，設(shè)ASBBSCCSA60°，則SASBSCABACBC，設(shè)ABx，則底面的直徑為2R=xsin60°=2x3，該圓錐的側(cè)面積為122x3x=33，解得x3，高OS=32-(3)2=6，該圓錐的體積為V=13×(3)2×6=6故答案為：6【點睛】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征、體積與表面積計算公式，考查空間想象能力和運算求解能力，是中檔題14（2020全國二模）

11、在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，AB2，PAD為等邊三角形，線段BC的中點為E，若PE1，則此四棱錐的外接球的表面積為283【解析】解：取AD的中點F，連接EF，PF，因為底面ABCD為正方形，AB2，PAD為等邊三角形，所以PF=3，EF2，又PE1，所以PFPE，設(shè)正方形ABCD的對角線的交點M，過P做底面的投影N，則由題意可得N在EF上，由射影定理可得NE=PE2EF=12，而ME1，所以MN=12，PN=PE2-HE2=32，MB=12BD=222=2，過M做底面的垂線MO，則四棱錐的外接球的球心在直線MO上，設(shè)O為外接球的球心，設(shè)球的半徑為R，則OPOBR，過O做OHPN

12、于H，則四邊形OMNH為矩形，所以O(shè)HMN=12，HNOM，（i）若球心在四棱錐的內(nèi)部則可得：在OPH中，OP2OH2+（PNHN）2，即R2（12）2+（32-OM）2，在OBM中，OB2BM2+OM2，即R2（2）2+OM2，由可得OM=-33，不符合，故舍去（ii）若球心在四棱錐的外部則可得：在OPH中，OP2OH2+（PN+HN）2，即R2（12）2+（32+OM）2，在OBM中，OB2BM2+OM2，即R2（2）2+OM2，由可得R2=73，所以四棱錐的外接球的表面積S4R2=283綜上所述四棱錐的外接球的表面積S4R2=283故答案為：283【點睛】本題考查四棱錐的外接球的半徑與四

13、棱錐的棱長之間的關(guān)系，及球的表面積公式，屬于中檔題三解答題（共3小題）15（2020春湖南期中）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形，DAB60°，PA=PD=7，Q、F分別為AD、AB的中點，PFAC（1）求證：面POF面ABCD；（2）求三棱錐BPCF的體積【解析】解：（1）證明：連接BD，如圖，四邊形ABCD為菱形，ACBD，又O，F(xiàn)分別為AD，AB的中點，OFBD，ACOF，又PFAC，OFPFF，AC平面POF，又AC平面ABCD，平面POF平面ABCD，（2）解：由（1）知，AC平面POF，ACPO，又POAD，ADACA，PO平面BCF，PO=PA2

14、-AO2=3，在菱形ABCD中，F(xiàn)為AB的中點，DAB60°，BF2，F(xiàn)BC120°，BC4，F(xiàn)BC的面積為SFBC=12×2×4×sin120°=23，三棱錐BPCF的體積為：VBPCFVPBCF=13SBCFPO=13×23×3=2【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題16（2020春沙坪壩區(qū)校級期中）已知正三棱柱ABCA1B1C1所有棱長均為2，M，N分別為AC，B1C1的中點（1）求證：CN平面MA1B1；（2）求

15、三棱錐MA1B1C體積【解析】（1）證明：取A1B1中點P，連接PN，由于P，N分別為A1B1，B1C1的中點，所以PN¯¯12A1C1而MC¯¯12A1C1，則PN¯¯MC，所以PNCM為平行四邊形，所以CNPM，又因為CN面MA1B1，PM面MA1B1，所以CN平面MA1B1（2）解：由（1）知C、N到面MA1B1距離相等，則VM-A1B1C=VC-A1B1M=VN-A1B1M=VM-A1B1N=13SA1B1AAA1=13×32×2=33【點睛】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，等體

16、積法的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力是中檔題17（2020臨川區(qū)校級模擬）如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE平面ABCD，AF平面ABCD，DE3AF3（1）證明：平面ABF平面DCE；（2）點G在DE上，且EG1，求平面FBG將幾何體ABCDEF分成上下兩部分的體積之比？【解析】解：（1）DE平面ABCD，AF平面ABCD，DEAF，AF平面DCE，ABCD是正方形，ABCD，AB平面DCE，ABAFA，AB平面ABF，AF平面ABF，平面ABF平面DCE（2）過G作MGBF交EC于M，連接BG、BM，VABCDEF=VB-ADEF+VB-CDE=13×3×(1+3)×32+13×3×