固體物理13年考試

1、固體復(fù)習(xí)題型：一簡(jiǎn)答題（共30分，每小題6分）5道小題二證明題（共25分）兩道小題三計(jì)算題（共45分）分布在第四章2道，第二章、第三章各一道。一簡(jiǎn)答題1. 倒格子的實(shí)際意義是什么？一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢是否有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系？解：倒格子的實(shí)際意義是由倒格子組成的空間實(shí)際上是狀態(tài)空間（波矢K空間），在晶體的X射線衍射照片上的斑點(diǎn)實(shí)際上就是倒格子所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)子。設(shè)一種晶體的正格基矢為、，根據(jù)倒格子基矢的定義：式中是晶格原胞的體積，即，由此可以唯一地確定相應(yīng)的倒格子空間。同樣，反過(guò)來(lái)由倒格矢也可唯一地確定正格矢。所以一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。2.說(shuō)出氯化鈉、氯化銫和金剛石結(jié)

2、構(gòu)晶體它們的原胞的晶格類型，每個(gè)原胞中包含的原子數(shù)。晶體結(jié)構(gòu)原胞晶體類型原胞中原子數(shù)氯化鈉面心立方2氯化銫簡(jiǎn)立方2金剛石面心立方23.各類晶體的配位數(shù)（最近鄰原子數(shù)）是多少？解：7種典型的晶體結(jié)構(gòu)的配位數(shù)如下表1.1所示：晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)面心立方六角密積12氯化鈉型結(jié)構(gòu)6體心立方8氯化銫型結(jié)構(gòu)8簡(jiǎn)立方6金剛石型結(jié)構(gòu)44.下面幾種典型的晶體結(jié)構(gòu)的配位數(shù)（最近鄰原子數(shù)）是多少？晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)面心立方12氯化鈉型結(jié)構(gòu)6六角密積12氯化銫型結(jié)構(gòu)8體心立方8金剛石型結(jié)構(gòu)4簡(jiǎn)立方6立方硫化鋅結(jié)構(gòu)45.畫出體心立方結(jié)構(gòu)的金屬在，面上原子排列體心立方 6畫出面心立方晶格結(jié)構(gòu)的金屬在，

3、面上原子排列面心立方7試述晶態(tài)、非晶態(tài)、準(zhǔn)晶、多晶和單晶的特征性質(zhì)。 解：晶態(tài)固體材料中的原子有規(guī)律的周期性排列，或稱為長(zhǎng)程有序。非晶態(tài)固體材料中的原子不是長(zhǎng)程有序地排列，但在幾個(gè)原子的范圍內(nèi)保持著有序性，或稱為短程有序。準(zhǔn)晶態(tài)是介于晶態(tài)和非晶態(tài)之間的固體材料，其特點(diǎn)是原子有序排列，但不具有平移周期性。另外，晶體又分為單晶體和多晶體：整塊晶體內(nèi)原子排列的規(guī)律完全一致的晶體稱為單晶體；而多晶體則是由許多取向不同的單晶體顆粒無(wú)規(guī)則堆積而成的。8晶格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體有何區(qū)別和聯(lián)系？ 解：晶體點(diǎn)陣是一種數(shù)學(xué)抽象，其中的格點(diǎn)代表基元中某個(gè)原子的位置或基元質(zhì)心的位置，也可以是基元中任意一個(gè)等價(jià)的點(diǎn)。當(dāng)晶格點(diǎn)

4、陣中的格點(diǎn)被具體的基元代替后才形成實(shí)際的晶體結(jié)構(gòu)。晶格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系可總結(jié)為：晶格點(diǎn)陣基元實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)9如何理解電負(fù)性可用電離能加親和能來(lái)表征?使原子失去一個(gè)電子所需要的能量稱為原子的電離能, 電離能的大小可用來(lái)度量原子對(duì)價(jià)電子的束縛強(qiáng)弱.一個(gè)中性原子獲得一個(gè)電子成為負(fù)離子所釋放出來(lái)的能量稱為電子親和能. 放出來(lái)的能量越多, 這個(gè)負(fù)離子的能量越低, 說(shuō)明中性原子與這個(gè)電子的結(jié)合越穩(wěn)定. 也就是說(shuō), 親和能的大小也可用來(lái)度量原子對(duì)電子的束縛強(qiáng)弱. 原子的電負(fù)性大小是原子吸引電子的能力大小的度量. 用電離能加親和能來(lái)表征原子的電負(fù)性是符合電負(fù)性的定義的.10原子間的排斥作用和吸引作用有何

5、關(guān)系? 起主導(dǎo)作用的范圍是什么?在原子由分散無(wú)規(guī)的中性原子結(jié)合成規(guī)則排列的晶體過(guò)程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子間的距離縮小到一定程度, 原子間才出現(xiàn)排斥力. 當(dāng)排斥力與吸引力相等時(shí), 晶體達(dá)到穩(wěn)定結(jié)合狀態(tài).可見(jiàn), 晶體要達(dá)到穩(wěn)定結(jié)合狀態(tài), 吸引力與排斥力缺一不可. 設(shè)此時(shí)相鄰原子間的距離為, 當(dāng)相鄰原子間的距離>時(shí), 吸引力起主導(dǎo)作用; 當(dāng)相鄰原子間的距離<時(shí), 排斥力起主導(dǎo)作用. 11共價(jià)結(jié)合為什么有 “飽和性”和 “方向性”?    設(shè)N為一個(gè)原子的價(jià)電子數(shù)目, 對(duì)于IVA、VA、VIA、VIIA族元素，價(jià)電子殼層一共有8

6、個(gè)量子態(tài), 最多能接納(8- N)個(gè)電子, 形成(8- N)個(gè)共價(jià)鍵. 這就是共價(jià)結(jié)合的 “飽和性”.     共價(jià)鍵的形成只在特定的方向上, 這些方向是配對(duì)電子波函數(shù)的對(duì)稱軸方向, 在這個(gè)方向上交迭的電子云密度最大. 這就是共價(jià)結(jié)合的 “方向性”. 12何為雜化軌道?    為了解釋金剛石中碳原子具有4個(gè)等同的共價(jià)鍵, 1931年泡林(Pauling)和斯萊特(Slater)提出了雜化軌道理論. 碳原子有4個(gè)價(jià)電子, 它們分別對(duì)應(yīng)、量子態(tài), 在構(gòu)成共價(jià)鍵時(shí), 它們組成了4個(gè)新的量子態(tài) ，4個(gè)電子分別占據(jù)、新軌道， 在四面體頂角方向(

7、參見(jiàn)圖1.18)形成4個(gè)共價(jià)鍵. 13.什么叫聲子？對(duì)于一給定的晶體，它是否擁有一定種類和一定數(shù)目的聲子？解：聲子就是晶格振動(dòng)中的簡(jiǎn)諧振子的能量量子，它是一種玻色子，服從玻色愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)，即具有能量為的聲子平均數(shù)為對(duì)于一給定的晶體，它所對(duì)應(yīng)的聲子種類和數(shù)目不是固定不變的，而是在一定的條件下發(fā)生變化。14晶格比熱容的愛(ài)因斯坦模型和德拜模型采用了什么簡(jiǎn)化假設(shè)？各取得了什么成就？各有什么局限性？為什么德拜模型在極低溫度下能給出精確結(jié)果？解在愛(ài)因斯坦模型中，假設(shè)晶體中所有的原子都以相同的頻率振動(dòng)，而在德拜模型中，則以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波以求出的表達(dá)式。愛(ài)因斯坦模型取得的最大成就在于給出了當(dāng)溫度趨

8、近于零時(shí)，比熱容亦趨近于零的結(jié)果，這是經(jīng)典理論所不能得到的結(jié)果。其局限性在于模型給出的是比熱容以指數(shù)形式趨近于零，快于實(shí)驗(yàn)給出的以趨近于零的結(jié)果。德拜模型取得的最大成就在于它給出了在極低溫度下，比熱和溫度成比例，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。其局限性在于模型給出的德拜溫度應(yīng)視為恒定值，適用于全部溫度區(qū)間，但實(shí)際上在不同溫度下，德拜溫度是不同的。在極低溫度下，并不是所有的格波都能被激發(fā)，而只有長(zhǎng)聲學(xué)波被激發(fā)，對(duì)比熱容產(chǎn)生影響。而對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)波，晶格可以視為連續(xù)介質(zhì)，長(zhǎng)聲學(xué)波具有彈性波的性質(zhì)，因而德拜的模型的假設(shè)基本符合事實(shí)，所以能得出精確結(jié)果。16.聲子碰撞時(shí)的準(zhǔn)動(dòng)量守恒為什么不同于普通粒子碰撞時(shí)的動(dòng)量守恒？

9、U過(guò)程物理圖像是什么？它違背了普遍的動(dòng)量守恒定律嗎？解：聲子碰撞時(shí)，其前后的總動(dòng)量不一定守恒，而是滿足以下的關(guān)系式其中上式中的表示一倒格子矢量。對(duì)于的情況，即有，在碰撞過(guò)程中聲子的動(dòng)量沒(méi)有發(fā)生變化，這種情況稱為正規(guī)過(guò)程，或N過(guò)程，N過(guò)程只是改變了動(dòng)量的分布，而不影響熱流的方向，它對(duì)熱阻是沒(méi)有貢獻(xiàn)的。對(duì)于的情況，稱為翻轉(zhuǎn)過(guò)程或U過(guò)程，其物理圖像可由下圖3.2來(lái)描述：圖3.2 U過(guò)程物理示意圖在上圖3.2中，是向“右”的，碰撞后是向“左”的，從而破壞了熱流的方向，所以U過(guò)程對(duì)熱阻是有貢獻(xiàn)的。U過(guò)程沒(méi)有違背普遍的動(dòng)量守恒定律，因?yàn)槁曌硬皇菍?shí)物量子，所以其滿足的是準(zhǔn)動(dòng)量守恒關(guān)系。17.簡(jiǎn)要說(shuō)明簡(jiǎn)諧近似

10、下晶體不會(huì)發(fā)生熱膨脹的物理原因；勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)起了哪些作用？解：由于在簡(jiǎn)諧近似下，原子間相互作用能在平衡位置附近是對(duì)稱的，隨著溫度升高，原子的總能量增高，但原子間的距離的平均值不會(huì)增大，因此，簡(jiǎn)諧近似不能解釋熱膨脹現(xiàn)象。勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)在晶體的熱傳導(dǎo)和熱膨脹中起了至關(guān)重要的作用。18 格比熱容的愛(ài)因斯坦模型和德拜模型采用了什么簡(jiǎn)化假設(shè)？各取得了什么成就？各有什么局限性？為什么德拜模型在極低溫度下能給出精確結(jié)果？解：我們知道晶體比熱容的一般公式為由上式可以看出，在用量子理論求晶體比熱容時(shí)，問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何求角頻率的分布函數(shù)。但是對(duì)于具體的晶體來(lái)講，的計(jì)算非常復(fù)雜。為此，在愛(ài)因斯坦模型中，假設(shè)晶體

11、中所有的原子都以相同的頻率振動(dòng)，而在德拜模型中，則以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波以求出的表達(dá)式。愛(ài)因斯坦模型取得的最大成就在于給出了當(dāng)溫度趨近于零時(shí)，比熱容亦趨近于零的結(jié)果，這是經(jīng)典理論所不能得到的結(jié)果。其局限性在于模型給出的是比熱容以指數(shù)形式趨近于零，快于實(shí)驗(yàn)給出的以趨近于零的結(jié)果。德拜模型取得的最大成就在于它給出了在極低溫度下，比熱和溫度成比例，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。其局限性在于模型給出的德拜溫度應(yīng)視為恒定值，適用于全部溫度區(qū)間，但實(shí)際上在不同溫度下，德拜溫度是不同的。在極低溫度下，并不是所有的格波都能被激發(fā)，而只有長(zhǎng)聲學(xué)波被激發(fā)，對(duì)比熱容產(chǎn)生影響。而對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)波，晶格可以視為連續(xù)介質(zhì)，長(zhǎng)聲學(xué)波

12、具有彈性波的性質(zhì)，因而德拜的模型的假設(shè)基本符合事實(shí)，所以能得出精確結(jié)果。19.布洛赫電子論作了哪些基本近似？它與金屬自由電子論相比有哪些改進(jìn)？解：布洛赫電子論作了3條基本假設(shè)，即絕熱近似，認(rèn)為離子實(shí)固定在其瞬時(shí)位置上，可把電子的運(yùn)動(dòng)與離子實(shí)的運(yùn)動(dòng)分開來(lái)處理；單電子近似，認(rèn)為一個(gè)電子在離子實(shí)和其它電子所形成的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)；周期場(chǎng)近似，假設(shè)所有電子及離子實(shí)產(chǎn)生的場(chǎng)都具有晶格周期性。布洛赫電子論相比于金屬自由電子論，考慮了電子和離子實(shí)之間的相互作用，也考慮了電子與電子的相互作用。20.試述導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體能帶結(jié)構(gòu)的基本特征。解：在導(dǎo)體中，除去完全充滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電子填充的能帶，

13、后者可以起導(dǎo)電作用，稱為導(dǎo)帶。在半導(dǎo)體中，由于存在一定的雜質(zhì)，或由于熱激發(fā)使導(dǎo)帶中存有少數(shù)電子，或滿帶中缺了少數(shù)電子，從而導(dǎo)致一定的導(dǎo)電性。在絕緣體中，電子恰好填滿了最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的，由于滿帶不產(chǎn)生電流，所以盡管存在很多電子，并不導(dǎo)電。21.試述有效質(zhì)量、空穴的意義。引入它們有何用處？解：有效質(zhì)量實(shí)際上是包含了晶體周期勢(shì)場(chǎng)作用的電子質(zhì)量，它的引入使得晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的加速度與外力直接聯(lián)系起來(lái)了，就像經(jīng)典力學(xué)中牛頓第二定律一樣，這樣便于我們處理外力作用下晶體電子的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。當(dāng)滿帶頂附近有空狀態(tài)時(shí)，整個(gè)能帶中的電流，以及電流在外電磁場(chǎng)作用下的變化，完全如同存在一個(gè)帶正

14、電荷和具有正質(zhì)量、速度的粒子的情況一樣，這樣一個(gè)假想的粒子稱為空穴。空穴的引入使得滿帶頂附近缺少一些電子的問(wèn)題和導(dǎo)帶底有少數(shù)電子的問(wèn)題十分相似，給我們研究半導(dǎo)體和某些金屬的導(dǎo)電性能帶來(lái)了很大的方便。22.近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點(diǎn)？它們有相同之處？解：所謂近自由電子模型就是認(rèn)為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況，而緊束縛模型則認(rèn)為電子在一個(gè)原子附近時(shí)，將主要受到該原子場(chǎng)的作用，把其它原子場(chǎng)的作用看成微擾作用。這兩種模型的相同之處是：選取一個(gè)適當(dāng)?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问降暮瘮?shù)集，然后將電子的波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展開，其展開式中有一組特定的展開系數(shù)，將展開后的電子的波函數(shù)代入薛定

15、諤方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，可以得到一組各展開系數(shù)滿足的久期方程。這個(gè)久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構(gòu)。23.周期場(chǎng)對(duì)能帶形成是必要條件嗎？解：周期場(chǎng)對(duì)能帶的形成是必要條件，這是由于在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是一個(gè)周期性調(diào)幅的平面波，即是一個(gè)布洛赫波。由此使能量本征值也稱為波矢的周期函數(shù)，從而形成了一系列的能帶。24.一個(gè)能帶有個(gè)準(zhǔn)連續(xù)能級(jí)的物理原因是什么？解：這是由于晶體中含有的總原胞數(shù)通常都是很大的，所以的取值是十分密集的，相應(yīng)的能級(jí)也同樣十分密集，因而便形成了準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)。25.禁帶形成的原因如何？您

16、能否用一物理圖像來(lái)描述？解：對(duì)于在倒格矢中垂面及其附近的波矢，即布里淵區(qū)界面附近的波矢，由于采用簡(jiǎn)并微擾計(jì)算，致使能級(jí)間產(chǎn)生排斥作用，從而使函數(shù)在布里淵區(qū)界面處“斷開”，即發(fā)生突變，從而產(chǎn)生了禁帶?？梢杂孟旅娴膱D5.1來(lái)描述禁帶形成的原因：圖5.1 在布里淵區(qū)界面附近禁帶形成的物理示意圖 26.試述晶體中的電子作準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式。解：在實(shí)際問(wèn)題中，只有當(dāng)波包的尺寸遠(yuǎn)大于原胞的尺寸，才能把晶體中的電子看做準(zhǔn)經(jīng)典粒子。準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式有：晶體電子的準(zhǔn)動(dòng)量為 ；晶體電子的速度為 ；晶體電子受到的外力為 晶體電子的倒有效質(zhì)量張量為 ；在外加電磁場(chǎng)作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足

17、： 二證明題1.利用剛球密堆模型，求證球可能占據(jù)的最大體積與總體積之比為（1）簡(jiǎn)單立方；（2）體心立方；（3）面心立方（4）六角密積；（5）金剛石。解：（1）在簡(jiǎn)立方的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)，則簡(jiǎn)立方的致密度（即球可能占據(jù)的最大體積與總體積之比）為：（2）在體心立方的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)，則體心立方的致密度為：（3）在面心立方的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)，則面心立方的致密度為：（4）在六角密積的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)，則六角密積的致密度為：（5）在金剛石的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)

18、，則金剛石的致密度為：2.證明體心立方晶格的倒格子是面心立方; 面心立方晶格的倒格子是體心立方證明：對(duì)于體心立方原胞，基矢： () 代入倒格子基矢公式： 若設(shè)b=, 則 與面心立方晶格的基矢形式相同。晶格常數(shù)是的體心立方晶格的倒格子是晶格常數(shù)是的面心立方晶格 同理：晶格常數(shù)是的面心立方晶格的倒格子是晶格常數(shù)是立方晶格 故體心立方與面心立方互為倒格子3.證明晶格常數(shù)為a的簡(jiǎn)單立方晶格，證明密勒指數(shù)為的晶面系，面間距為 .證明：簡(jiǎn)單立方晶格正格子的原胞基矢為 由， 可得其倒格子基矢為 ， 倒格矢   根據(jù)面間距和倒格矢之間的關(guān)系  得簡(jiǎn)單立方晶體晶

19、面族的面間距         4.證明晶格常數(shù)為a的體心立方晶體晶面族 的面間距為.證明：體心立方正格子原胞基矢可取為， 由， 可得其倒格子基矢為: 倒格矢 則晶面族的面間距為 得體心立方晶體晶面族的面間距 5.有一晶體，在平衡時(shí)的體積為，原子之間總的相互作用能為，如果原子間相互作用能由下式給出：，試證明彈性模量可由給出。解：根據(jù)彈性模量的定義可知 （1）上式中利用了的關(guān)系式。設(shè)系統(tǒng)包含個(gè)原子，則系統(tǒng)的內(nèi)能可以寫成 （2）又因?yàn)榭砂褌€(gè)原子組成的晶體的體積表示成最近鄰原子間距的函數(shù)，即 （3）上式中為與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的

20、因子（如面心立方結(jié)構(gòu)，）。又因?yàn)?（4） （5）考慮平衡條件，得，那么（5）式可化為 （6）將（6）式代入（1）式得：6. 在一維雙原子鏈中，如，求證：；。解：（1）在一維雙原子鏈中，其第個(gè)原子與第個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為 （1） 為解方程組（1）可令 （2）將（2）式代入（1）式可得出 （3）從、有非零解，方程組（3）的系數(shù)行列式等于零的條件出發(fā)，可得 可解出得 （4）當(dāng)（4）式中取“”號(hào)時(shí)，有 （5），（5）式中有，那么（5）式可簡(jiǎn)化為 當(dāng)（4）式中取“”號(hào)時(shí)，有 （6），（6）式中有，那么（6）式可簡(jiǎn)化為 7.設(shè)晶體由個(gè)原子組成，試用德拜模型證明格波的狀態(tài)密度為。式中為格波的截止頻率。解：在德

21、拜模型中，假設(shè)晶體的振動(dòng)格波是連續(xù)介質(zhì)的彈性波，即有色散關(guān)系 （1） 那么格波的狀態(tài)密度為 （2）又根據(jù) （3）將（2）式代入（3）式得 （4）由（4）式可得 （5）把（5）式代入（2）式即可得 8.證明一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)為解：設(shè)原子質(zhì)量為m，晶格常數(shù)為a，設(shè)鏈上含有N個(gè)原子， 對(duì)于一維單原子晶格的態(tài)密度為：dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù) 又 所以 所以 又因?yàn)椋?所以 10.設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長(zhǎng)波極限有，證明：頻率分布函數(shù)為。方法1：三維晶格振動(dòng)的態(tài)密度為 dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為。對(duì)兩邊微分有。 將dq和代入中， 有 又因?yàn)椋?得到 時(shí)，為虛數(shù)，有 方法 2：色散關(guān)系: Q空間等面

22、為半徑為 的球面 球面上是一常數(shù) 9.已知由個(gè)相同原子組成的一維單原子晶格格波的態(tài)密度可表示為。式中是格波的最高頻率。求證它的振動(dòng)?？倲?shù)恰好等于。解：由題意可知該晶格的振動(dòng)?？倲?shù)為 三計(jì)算題1.寫出一維近自由電子近似，第n個(gè)能帶（n=1，2，3，）中，簡(jiǎn)約波數(shù)的0級(jí)波函數(shù)。 第一區(qū)： n=1,m=0 第二區(qū)： n=2,m=1 第三區(qū)： n=3, 2.寫出一維近自由電子近似，第n個(gè)能帶（n=1，2，3，）中，簡(jiǎn)約波數(shù)的0級(jí)波函數(shù)。 第一區(qū)： n=1,m=0 第二區(qū)： n=2, 第三區(qū)： n=3, 3.設(shè)某晶體每對(duì)原子的勢(shì)能具的形式，平衡時(shí)，結(jié)合能為，試計(jì)算A和B以及晶體的有效彈性模量。解：由題意

23、有以下方程成立： 把，的具體數(shù)值代入上述方程組，即得：由此可得：， 該晶體的有效彈性模量為： 又 （上式中表示晶體中所含的原子個(gè)數(shù)，表示與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的因子）故 4.由個(gè)原子（離子）所組成的晶體的體積可寫成。式中為每個(gè)原子（離子）平均所占據(jù)的體積；為粒子間的最短距離；為與結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。試求下列各種結(jié)構(gòu)的值：（1） 簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣；（2） 面心立方點(diǎn)陣；（3） 體心立方點(diǎn)陣；（4） 金剛石點(diǎn)陣；（5） NaCl點(diǎn)陣；解：（1）在簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（2）在面心立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（3）在體心立方點(diǎn)陣，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（4）在金剛石點(diǎn)陣

24、中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（5）在NaCl點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積；故。5.對(duì)于由個(gè)惰性氣體原子組成的一維單原子鏈，設(shè)平均每2個(gè)原子勢(shì)為：。求：（1）原子間的平均距離； （2）每個(gè)原子的平均晶格能； 解：（1）在平衡時(shí)，有下式成立 （1） 由上式可得（2）設(shè)該個(gè)惰性氣體原子組成的一維單原子鏈的總的相互作用勢(shì)能為，那么有 （2）設(shè)為2個(gè)原子間的最短距離，則有，那么（2）式可化為 （3）其中（3）式中，。那么每個(gè)原子的平均晶格能為 6.已知有個(gè)離子組成的NaCl晶體，其結(jié)合能為：。若排斥項(xiàng)由來(lái)代替，且當(dāng)晶體處于平衡時(shí)，這兩者對(duì)相互作用勢(shì)能的貢獻(xiàn)相同。試求出和的關(guān)系。解：由平衡條件可

25、知 （1）由（1）式可求得 （2）又由題意有 （3）將（2）式代入（3）式可得： 7.假定在某個(gè)離子晶體中，某離子間的空間能夠被一種介電常數(shù)為的均勻流體滲滿而不至于影響離子間的排斥作用，但庫(kù)侖相互作用減少為原來(lái)的。計(jì)算這種情況下NaCl的點(diǎn)陣常數(shù)和結(jié)合能。解：由題意可知，當(dāng)NaCl晶體被介電常數(shù)為的均勻流體滲滿時(shí)，其相互作用勢(shì)能為： （1）由平衡條件可知有 （2）由（2）式可求得NaCl晶體處于平衡狀態(tài)時(shí)，相鄰兩個(gè)離子間的距離為 那么NaCl的點(diǎn)陣常數(shù)為 結(jié)合能為 8.應(yīng)用德拜模型，計(jì)算一維情況下晶格振動(dòng)的狀態(tài)密度、德拜溫度、晶格比熱容。解：在德拜模型中，假設(shè)晶體的振動(dòng)格波是連續(xù)介質(zhì)的彈性波，

26、即有色散關(guān)系 （1） （1）在一維情況下，晶格振動(dòng)的狀態(tài)密度為 （2） 上式中，表示一維晶格的總長(zhǎng)度。又由關(guān)系式 （3）將式（3）代入式（2）可得，由此求得 于是德拜溫度 晶體的比熱容為 （其中） 9.若格波的色散關(guān)系為和，試導(dǎo)出它們的狀態(tài)密度表達(dá)式。解：根據(jù)狀態(tài)密度的定義式可知 （1）其中表示在間隔內(nèi)晶格振動(dòng)模式的數(shù)目。如果在空間中，根據(jù)作出等頻率面，那么在等頻率面和之間的振動(dòng)模式的數(shù)目就是。由于晶格振動(dòng)模在空間分布是均勻的，密度為（為晶體體積），因此有 （2）將（2）式代入（1）式可得到狀態(tài)密度的一般表達(dá)式為 （2）（3）式中表示沿法線方向頻率的改變率。當(dāng)時(shí)，將之代入（3）式可得 當(dāng)，將之

27、代入（3）式可得 10.考慮一雙原子鏈的晶格振動(dòng)，鏈最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)地等于c和10c,令兩種原子質(zhì)量相等,并且最近鄰的間距是,試求在和處的解：設(shè)原子質(zhì)量為力常數(shù)為和如圖所示： 振動(dòng)方程 試探解： 將上式與 代入振動(dòng)方程得： 有非零解的條件是： 解得： 時(shí) 時(shí) 11.初級(jí)晶胞中含有兩個(gè)原子的一維點(diǎn)陣,點(diǎn)陣常數(shù)為a,兩個(gè)原子的質(zhì)量分別為M1和M2,只計(jì)入最近鄰原子間的相互作用,設(shè)力常數(shù)為C, 求其個(gè)格波解。并試求在和處的.(備注)解：對(duì)于一維雙原子鏈，設(shè)第個(gè)原子質(zhì)量為M1，第個(gè)原子質(zhì)量為M2，如圖： 對(duì)于M1： 對(duì)于M2： 設(shè)試探解：, 代入, 化簡(jiǎn)得： 有非零解的條件是： 解得 ： 時(shí),

28、， 時(shí)， 12.試求質(zhì)量為，原子間距為，力常數(shù)交錯(cuò)為，的一維原子鏈振動(dòng)的色散關(guān)系。當(dāng)時(shí)，求在和處的，并粗略畫出色散關(guān)系。解：下圖3.3給出了該一維原子鏈的示意圖a2m â2â211â2 x2n-2 x2n+1 x2n x2n+1 x2n+2 x2n+3 圖3.3在最近鄰近似和簡(jiǎn)諧近似下，第2n和第（2n+1）個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為 （1）當(dāng)時(shí)，上述方程組（1）可變?yōu)?（2）為求格波解，令 （3）將（3）式代入（2）式，可導(dǎo)出線性方程組為 （4）令，從，有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得 （5）由（5）式可解出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，其色散關(guān)系曲線如下圖3.4所示：圖3.4 原子

29、間的力常數(shù)不相等的雙原子鏈的晶格振動(dòng)色散關(guān)系曲線 13.如有一維布喇菲格子，第個(gè)原子與第個(gè)原子之間的力常數(shù)為；而第個(gè)原子與第個(gè)原子的力常數(shù)為。（1） 寫出這個(gè)格子振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程；（2） 說(shuō)明這種情況也有聲學(xué)波和光學(xué)波；（3） 求時(shí)，聲學(xué)波和光學(xué)波的頻率；（4） 求（為晶格常數(shù)）時(shí)，聲學(xué)波和光學(xué)波的頻率。解：（1）此題與（11）題基本相似，在最近鄰近似和簡(jiǎn)諧近似下，同樣可以寫出第和第個(gè)原子的動(dòng)力學(xué)方程為 （1）（2）為求出方程組（1）的格波解，可令 （2）于是將（2）式代入（1）式，可導(dǎo)出線性方程組為 （3）令，從、有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得 （4）由（4）式可解出 （5）由此可知，

30、的取值也有和之分，即存在聲學(xué)波和光學(xué)波（3）由（5）式可知當(dāng)時(shí)，有聲學(xué)波頻率，光學(xué)波頻率（4）同樣由（5）式可知當(dāng)時(shí)，有聲學(xué)波頻率，光學(xué)波頻率14.在一維復(fù)式格子中，如果，。求：(1) 光學(xué)波頻率的最大值、最小值及聲學(xué)波頻率的最大值；(2) 相應(yīng)的聲子能量是多少eV?(3) 這3種聲子在300K時(shí)各有多少個(gè)？(4) 如果用電磁波激發(fā)光頻振動(dòng)，要激發(fā)最大光學(xué)頻率的聲子所用的電磁波長(zhǎng)在什么波段？解：(1)由于光學(xué)波頻率的最大值和最小值的計(jì)算公式分別為： 上式中為約化質(zhì)量所以有： 而聲學(xué)波頻率的最大值的計(jì)算公式為： 所以有： (2)相應(yīng)的聲子能量為：(3)由于聲子屬于玻色子，服從玻色愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)，則

31、有(4)如用電磁波來(lái)激發(fā)光頻振動(dòng)，則要激發(fā)最大光學(xué)頻率的聲子所用的電磁波長(zhǎng)應(yīng)滿足如下關(guān)系式：15.用緊束縛近似，求出簡(jiǎn)單立方晶格s態(tài)原子能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)，并求出能帶寬度。解:在緊束縛近似下與原子能級(jí)S態(tài)相對(duì)應(yīng)能帶函數(shù): (RS為最近鄰原子的波矢，設(shè)晶格單胞立方邊長(zhǎng)為a) s態(tài)的波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個(gè)方向重疊積分相同，具有相同的值。 所以能量本征值為： 體心立方：6個(gè)近鄰: () = 由此可知，當(dāng)時(shí)，即能帶底的能量為；當(dāng)，即能帶頂?shù)哪芰繛槟軒挾葹?16.應(yīng)用緊束縛方法，對(duì)于一維單原子鏈，如只計(jì)及最近鄰原子間的相互作用，求其s態(tài)電子的能帶可表示為，（式中：為能帶底部的能量；為交疊積分，）并

32、求出能帶寬度。解：設(shè)s態(tài)的原子能級(jí)為，當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時(shí)，則用緊束縛方法可求得該一維單原子鏈的s態(tài)電子能量為 上式中， （其中表示晶體中的周期性勢(shì)場(chǎng)，也即各格點(diǎn)原子勢(shì)場(chǎng)之和。為某格點(diǎn)的原子勢(shì)場(chǎng)）由于s態(tài)波函數(shù)是球形對(duì)稱的，因而在各個(gè)方向重疊積分相同。 在一維單原子鏈中，每個(gè)原子周圍有2個(gè)近鄰格點(diǎn)，其格矢分別為和，由此可知一維單原子鏈的s態(tài)電子能量可化為： 上式中由此可知，當(dāng)時(shí)，即能帶底的能量為；當(dāng)，即能帶頂?shù)哪芰繛橛谑强勺C得一維單原子鏈的s態(tài)電子能量為 能帶寬度為 17.用緊束縛近似，求出體心立方晶格s態(tài)原子能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)。解:在緊束縛近似下與原子能級(jí)S態(tài)相對(duì)應(yīng)能帶函數(shù): (RS為最近鄰原子的波矢，