【三維設(shè)計(jì)】2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練)幾何概型教學(xué)案

1、1 幾_何_概_(tái)型 知識(shí)能否憶起 1幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度( 面積或體積 ) 成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型2幾何概型的概率公式在幾何概型中，事件a的概率的計(jì)算公式如下：p(a) 構(gòu)成事件a的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積. 小題能否全取 1( 教材習(xí)題改編 ) 設(shè)a(0,0) ，b(4,0) ，在線段ab上任投一點(diǎn)p，則 |pa| 1 的概率為( ) a.12b.13c.14d.15解析：選 c 滿足 |pa| 1 的區(qū)間長(zhǎng)度為1，故所求其概率為14. 2(2012衡陽模擬) 有四個(gè)游戲盤，將它們水平

2、放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是( ) 解析：選 a 中獎(jiǎng)的概率依次為p(a) 38，p(b) 28，p(c) 26，p(d) 13. 3. 分別以正方形abcd的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為( ) a.42b.22c.44d.242 解析：選 b 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1 的圓減去圓內(nèi)接正方形的面積，即為 2，則陰影區(qū)域的面積為24，所以所求概率為p244 22. 4有一杯2 升的水，其中含一個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從水中取0.1 升水

3、，則此小杯中含有這個(gè)細(xì)菌的概率是_解析：試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積為2 升，所求事件的區(qū)域體積為0.1 升，故p0.05. 答案： 0.05 5. 如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線ot落在 30角的終邊上，任作一條射線oa，則射線oa落在yot內(nèi)的概率為 _解析：如題圖，因?yàn)樯渚€oa在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則oa落在yot內(nèi)的概率為6036016. 答案：161. 幾何概型的特點(diǎn)：幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗(yàn)中的可能結(jié)果不是有限個(gè)，它的特點(diǎn)是試驗(yàn)結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，故隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān)2幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊界是

4、否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型典題導(dǎo)入 例 1 (2011湖南高考 ) 已知圓c：x2y2 12，直線l：4x3y25. (1) 圓c的圓心到直線l的距離為 _；(2) 圓c上任意一點(diǎn)a到直線l的距離小于2 的概率為 _ 自主解答 (1) 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得d2555；(2) 設(shè)直線 4x3yc到圓心的距離為3，則|c|5 3，取c15，則直線 4x3y15 把3 圓所截得的劣弧的長(zhǎng)度和整個(gè)圓的周長(zhǎng)的比值即是所求的概率，由于圓半徑是23，則可得直線 4x3y15 截得的圓弧所對(duì)的圓心角為60，故所求的概率是16. 答案 5 16本例條件變?yōu)椋骸耙阎獔Ac：x2y2

5、12，設(shè)m為此圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)n，連接mn. ”求弦mn的長(zhǎng)超過26的概率解：如圖，在圖上過圓心o作om直徑cd.則mdmc26. 當(dāng)n點(diǎn)不在半圓弧cmd上時(shí)，mn26. 所以p(a) 2322312. 由題悟法求與長(zhǎng)度 ( 角度 ) 有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度( 角度 ) ，然后求解確定點(diǎn)的邊界位置是解題的關(guān)鍵以題試法1(1)(2012 福建四校聯(lián)考) 已知a是圓上固定的一點(diǎn)，在圓上其他位置上任取一點(diǎn)a，則aa的長(zhǎng)度小于半徑的概率為_(2) 在 rtabc中，bac90，ab1，bc 2. 在bc邊上任取一點(diǎn)m，則amb90的概率為 _

6、解析：(1) 如圖，滿足aa的長(zhǎng)度小于半徑的點(diǎn)a位于劣弧bac上，其中abo和aco為等邊三角形，可知boc23，故所求事件的概率p23213. (2) 如圖，在 rtabc中，作adbc，d為垂足，由題意可得bd12，且點(diǎn)m在bd上時(shí)，滿足amb90，故所求概率pbdbc12214. 答案： (1)13(2)144 與面積有關(guān)的幾何概型典題導(dǎo)入 例 2 (1)(2012 湖北高考) 如圖，在圓心角為直角的扇形oab中，分別以oa，ob為直徑作兩個(gè)半圓在扇形oab內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是( ) a12b.121c.2d.1(2) 已知不等式組xy0，xy0，xaa0表示平面區(qū)域

7、m，若點(diǎn)p(x，y) 在所給的平面區(qū)域m內(nèi)，則點(diǎn)p落在m的內(nèi)切圓內(nèi)的概率為( ) a.2 14b(3 22) c(222) d.212 自主解答 (1) 法一：設(shè)分別以oa，ob為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)c，oa的中點(diǎn)為d，如圖，連接oc，dc. 不妨令oaob2，則oddadc1. 在以oa為直徑的半圓中，空白部分面積1，所以整體圖形中空白部分面積s22. 又因?yàn)閟扇形 oab1422 ，所以陰影部分面積為s3 2. 所以p212. 法二：連接ab，設(shè)分別以oa，ob為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)c，令oa2. 由題意知cab且s弓形 acs弓形 b cs弓形 o c，所以s空

8、白soab1222 2. 又因?yàn)閟扇形 oab1422 ，所以s陰影2. 所以ps陰影s扇形oab212. 5 (2) 由題知平面區(qū)域m為一個(gè)三角形，且其面積為sa2. 設(shè)m的內(nèi)切圓的半徑為r，則12(2a22a)ra2，解得r(21)a. 所以內(nèi)切圓的面積s內(nèi)切圓r2(21)a2(3 22) a2. 故所求概率ps內(nèi)切圓s(3 22) . 答案 (1)a (2)b 由題悟法求解與面積有關(guān)的幾何概型首先要確定試驗(yàn)的全部結(jié)果和構(gòu)成事件的全部結(jié)果形成的平面圖形，然后再利用面積的比值來計(jì)算事件發(fā)生的概率這類問題常與線性規(guī)劃( 理) 定積分 知識(shí)聯(lián)系在一起以題試法2(2012湖南聯(lián)考) 點(diǎn)p在邊長(zhǎng)為

9、1 的正方形abcd內(nèi)運(yùn)動(dòng)， 則動(dòng)點(diǎn)p到頂點(diǎn)a的距離|pa| 1 的概率為 ( ) a.14b.12c.4d解析：選 c 如圖，滿足 |pa| 1 的點(diǎn)p在如圖所示陰影部分運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)p到頂點(diǎn)a的距離 |pa| 1 的概率為s陰影s正方形14 12114. 與體積有關(guān)的幾何概型典題導(dǎo)入 例 3 (1) (2012煙臺(tái)模擬 ) 在棱長(zhǎng)為2 的正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)o為底面abcd的中心，在正方體abcda1b1c1d1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)p， 則點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離大于1的概率為 ( ) a.12b112c.6d 16(2) 一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為30 的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行若蜜蜂在飛行過程

10、中始終保持與正方體玻璃容器的6 個(gè)表面的距離均大于10，則飛行是安全的，假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一個(gè)位置的可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率為( ) 6 a.18b.116c.127d.38 自主解答 (1) 點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離大于1 的點(diǎn)位于以o為球心，以1 為半徑的半球的外部記點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離大于1 為事件a，則p(a) 2312431323112. (2) 由題意， 可知當(dāng)蜜蜂在棱長(zhǎng)為10 的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時(shí)才是安全的，所以由幾何概型的概率計(jì)算公式，知蜜蜂飛行是安全的概率為103303127. 答案 (1)b (2)c 由題悟法與體積有關(guān)的幾何概型是與面積有關(guān)的幾何概型類似的

11、，只是將題中的幾何概型轉(zhuǎn)化為立體模式，至此，我們可以總結(jié)如下：對(duì)于一個(gè)具體問題能否應(yīng)用幾何概型概率公式，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化；也可根據(jù)實(shí)際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上， 將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個(gè)可度量區(qū)域以題試法3(2012黑龍江五校聯(lián)考) 在體積為v的三棱錐sabc的棱ab上任取一點(diǎn)p，則三棱錐sapc的體積大于v3的概率是 _解析：如圖，三棱錐sabc的高與三棱錐sapc的高相同作pmac于m，bnac于n，則pm、bn分別為apc與abc的高，所以vsapcvsabcsapcsabcpmbn，又pmbnapa

12、b，所以apab13時(shí)，滿足條件設(shè)adab13，則p在bd上，所求的概率pbdba23. 答案：231(2012北京模擬) 在區(qū)間2，2上隨機(jī)取一個(gè)x，sin x的值介于12與12之間的概率為 ( ) 7 a.13b.2c.12d.23解析：選 a 由12sin x12，x 2，2，得6x6. 所求概率為6 62 213. 2(2012遼寧高考) 在長(zhǎng)為 12 cm 的線段ab上任取一點(diǎn)c.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段ac，cb的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32 cm2的概率為 ( ) a.16b.13c.23d.45解析： 選 c 設(shè)acxcm，cb(12 x)cm,0 x12，所以矩形面積小于3

13、2 cm2即為x(12x)32 ? 0 x4 或 8x12，故所求概率為81223. 3(2013濱州模擬) 在區(qū)間 0,1上任取兩個(gè)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x) x2axb2無零點(diǎn)的概率為 ( ) a.12b.23c.34d.14解析：選 c 要使該函數(shù)無零點(diǎn)，只需a24b20，即(a2b)(a2b) 0. a，b0,1，a2b0，a2b0. 作出0a1，0b1，a2b 0的可行域，易得該函數(shù)無零點(diǎn)的 概 率p1121121134. 4 (2012北京西城二模) 已知函數(shù)f(x)kx1， 其中實(shí)數(shù)k隨機(jī)選自區(qū)間 2,1 ?x0,1，f(x) 0的概率是 ( ) 8 a.13b.12c.23d.3

14、4解析：選c 由?x0,1，f(x) 0 得f00，f10，有1k1，所以所求概率為111223. 5(2012鹽城摸底) 在水平放置的長(zhǎng)為5 米的木桿上掛一盞燈，則懸掛點(diǎn)與木桿兩端的距離都大于2 米的概率為 ( ) a.15b.25c.35d.12解析：選 a 如圖，線段ab長(zhǎng)為 5 米，線段ac、bd長(zhǎng)均為 2 米，線段cd長(zhǎng)為 1 米，滿足題意的懸掛點(diǎn)e在線段cd上，故所求事件的概率p15. 6(2012沈陽四校聯(lián)考) 一只昆蟲在邊長(zhǎng)分別為6,8,10的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其到三角形任一頂點(diǎn)的距離小于2 的概率為 ( ) a.12b.10c.6d.24解析： 選 a 記昆蟲所在三角形

15、區(qū)域?yàn)閍bc，且ab6，bc8，ca10，則有ab2bc2ca2，abbc，該三角形是一個(gè)直角三角形，其面積等于1268 24. 在該三角形區(qū)域內(nèi)，到三角形任一頂點(diǎn)的距離小于2 的區(qū)域的面積等于abc2222222，因此所求的概率等于22412. 7(2012鄭州模擬) 若不等式組yx，yx，2xy30表示的平面區(qū)域?yàn)閙，x2y21 所表示的平面區(qū)域?yàn)閚，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域m內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域n內(nèi)的概率為_9 解析： yx與yx互相垂直， m的面積為3，而n的面積為4，所以概率為4312. 答案：128(2012孝感統(tǒng)考 ) 如圖所示，圖2 中實(shí)線圍成的部分是長(zhǎng)方體( 圖 1)的平面展開圖

16、，其中四邊形abcd是邊長(zhǎng)為1 的正方形若向圖2 中虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開圖內(nèi)的概率是14，則此長(zhǎng)方體的體積是_解析：設(shè)題圖1 長(zhǎng)方體的高為h，由幾何概型的概率計(jì)算公式可知，質(zhì)點(diǎn)落在長(zhǎng)方體的平面展開圖內(nèi)的概率p24h2h22h114，解得h3 或h12( 舍去 ) ，故長(zhǎng)方體的體積為113 3. 答案： 3 9.(2012 宜春模擬) 投鏢游戲中的靶子由邊長(zhǎng)為1 米的四方板構(gòu)成，并將此板分成四個(gè)邊長(zhǎng)為12米的小方塊試驗(yàn)是向板中投鏢，事件a表示投中陰影部分，則事件a發(fā)生的概率為 _解析：事件a所包含的基本事件與陰影正方形中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，事件組中每一個(gè)基本事件與大正

17、方形區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)由幾何概型的概率公式得p(a) 1221214. 答案：1410已知 |x| 2， |y| 2，點(diǎn)p的坐標(biāo)為 (x，y) ，求當(dāng)x，yr時(shí)，p滿足 (x2)2 (y2)24 的概率解：如圖， 點(diǎn)p所在的區(qū)域?yàn)檎叫蝍bcd的內(nèi)部 ( 含邊界 ) ，滿足(x2)2(y 2)24 的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐?2,2) 為圓心，2 為半徑的圓面( 含邊界 ) 10 故所求的概率p114 224416. 11已知集合a 2,2 ，b 1,1 ，設(shè)m(x，y)|xa，yb ，在集合m內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素(x，y) (1) 求以 (x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2y2 1 內(nèi)的概率；(2) 求以

18、 (x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到直線xy0 的距離不大于22的概率解：(1) 集合m內(nèi)的點(diǎn)形成的區(qū)域面積s8. 因x2y21 的面積s1，故所求概率為p1s1s8. (2) 由題意|xy|222即1xy1，形成的區(qū)域如圖中陰影部分，面積s2 4，所求概率為ps2s12. 12(2012長(zhǎng)沙模擬) 已知向量a(2,1) ，b (x，y) (1) 若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子( 六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足ab 1 的概率；(2) 若x，y在連續(xù)區(qū)間 1,6上取值，求滿足ab0 的概率解：(1) 將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩

19、次，所包含的基本事件總數(shù)為6636 個(gè)；由ab 1 有 2xy 1，所以滿足ab 1 的基本事件為(1,1) ，(2,3) ，(3,5) 共 3 個(gè)故滿足ab 1 的概率為336112. (2) 若x，y在 連 續(xù) 區(qū) 間 1,6上 取 值 ， 則 全 部 基 本 事 件 的 結(jié) 果 為 (x，y)|1 x6,1 y6；滿足ab 0 的基本事件的結(jié)果為a(x，y)|1 x6,1 y6，且 2xy0 ；畫出圖形，矩形的面積為s矩形25，陰影部分的面積為s陰影25122421，故滿足ab0 的概率為2125. 11 1 在區(qū)間 0 ， 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x， 則事件“ sin x3cos x1”發(fā)生的

20、概率為( ) a.14b.13c.12d.23解析：選 c 由 sin x3cos x1 得 2sinx31，即 sinx312. 由于x0 ， ，故x33，43，因此當(dāng) sinx312時(shí)，x356，43，于是x2， . 由幾何概型公式知事件“sin x3cos x1”發(fā)生的概率為p 2012. 2有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為 2 的圓柱，點(diǎn)o為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)p，則點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離大于1 的概率為 _解析：先求點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離小于或等于1 的概率，圓柱的體積v圓柱1222，以o為球心， 1 為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積v半球12431323. 則點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離

21、小于或等于1 的概率為23213，故點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離大于1 的概率為11323. 答案：233(2012晉中模擬) 設(shè)ab6，在線段ab上任取兩點(diǎn) ( 端點(diǎn)a、b除外 ) ，將線段ab分成了三條線段(1) 若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；(2) 若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率解： (1) 若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，則三條線段的長(zhǎng)度的所有可能情況是1,1,4 ；1,2,3 ；2,2,2共 3 種情況，其中只有三條線段長(zhǎng)為2,2,2時(shí)，能構(gòu)成三角形，故構(gòu)成三角形的概率為p13. (2) 設(shè)其中兩條線段長(zhǎng)度分別為x，y，則第三條線段長(zhǎng)度為612 xy，故全部試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? x6，0y6，06xy 6，即0 x6，0y6，0 xy 6所表示的平面區(qū)域?yàn)閛ab. 若三條線段x，y,6xy能構(gòu)成三角形