2016高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)7.1不等關(guān)系與不等式教師用書(shū)理蘇教版

1、§7.1不等關(guān)系與不等式1兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b>0)2不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱(chēng)性a>bb<a傳遞性a>b，b>ca>c可加性a>bac>bc可乘性ac>bc注意c的符號(hào)ac<bc同向可加性ac>bd同向同正可乘性ac>bd可乘方性a>b>0an>bn(nN，n1)a，b同為正數(shù)可開(kāi)方性a>b>0>(nN，n2)3.不等式的一些常用性質(zhì)(1)倒數(shù)的性質(zhì)a>b，ab>0<.a<0<b

2、<.a>b>0,0<c<d>.0<a<x<b或a<x<b<0<<.(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則<；>(bm>0)>；<(bm>0)【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)a>bac2>bc2.(×)(2)a>b>0，c>d>0>.()(3)若ab>0，則a>b<.()(4)若>1，則a>b.(×)(5)若a>b

3、>1，c<0，則logb(ac)>loga(bc)()(6)若<<0，則|a|>|b|.(×)1(2014·四川改編)若a>b>0，c<d<0則下列結(jié)論一定成立的是_><><答案解析c<d<0，c>d>0，a>b>0，ac>bd>0，ac<bd，<，<.取特值可知錯(cuò)誤，故正確的只有.2設(shè)a<b<0，則下列不等式中不成立的是_> >|a|>b >答案解析由題設(shè)得a<ab<0，所以有

4、<成立，即>不成立3限速40 km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車(chē)的速度v不超過(guò)40 km/h，寫(xiě)成不等式就是_答案v40 km/h4已知a1a2，b1b2，則a1b1a2b2與a1b2a2b1的大小關(guān)系是_答案a1b1a2b2a1b2a2b1解析a1b1a2b2(a1b2a2b1)a1(b1b2)a2(b2b1)(b1b2)(a1a2)，a1a2，b1b2，(b1b2)(a1a2)0，a1b1a2b2a1b2a2b1.題型一用不等式(組)表示不等關(guān)系例1某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷(xiāo)售，每天可銷(xiāo)售100件，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)

5、已知這種商品的單價(jià)每提高1元，銷(xiāo)售量就相應(yīng)減少10件若把提價(jià)后商品的單價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤(rùn)不低于300元？解若提價(jià)后商品的單價(jià)為x元，則銷(xiāo)售量減少×10件，因此，每天的利潤(rùn)為(x8)10010(x10)元，則“每天的利潤(rùn)不低于300元”可以表示為不等式(x8)10010(x10)300.思維升華對(duì)于不等式的表示問(wèn)題，關(guān)鍵是理解題意，分清變化前后的各種量，得出相應(yīng)的代數(shù)式，然后，用不等式表示而對(duì)于涉及條件較多的實(shí)際問(wèn)題，則往往需列不等式組解決已知甲、乙兩種食物的維生素A，B含量如下表：甲乙維生素A(單位/kg)600700維生素B(單位/kg)800400設(shè)用甲、乙兩

6、種食物各x kg，y kg配成至多100 kg的混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56 000單位維生素A和62 000單位維生素B，則x，y應(yīng)滿足的所有不等關(guān)系為_(kāi)答案題型二比較大小例2(1)已知a1，a2(0,1)，記Ma1a2，Na1a21，則M與N的大小關(guān)系是_(2)若a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)答案(1)M>N(2)c<b<a解析(1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a11<0，a21<0.(a11)(a21)>0，即MN>0.M>N.(

7、2)方法一易知a，b，c都是正數(shù)，log8164<1，所以a>b；log6251 024>1，所以b>c.即c<b<a.方法二對(duì)于函數(shù)yf(x)，y，易知當(dāng)x>e時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減因?yàn)閑<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.思維升華比較大小的常用方法(1)作差法：一般步驟：作差；變形；定號(hào)；結(jié)論其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差(2)作商法：一般步驟：作商；變形；判斷商與1的大?。唤Y(jié)論(3)函數(shù)

8、的單調(diào)性法：將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系(1)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是_< ab<b2ab<a2 <(2)(2013·課標(biāo)全國(guó)改編)設(shè)alog32，blog52，clog23，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)答案(1)(2)c>a>b解析(1)對(duì)于，由a<b<0，得ba>0，ab>0，故>0，>，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由a<b<0，得b(ab)>0，ab>b2，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由a<b<0，得a(ab)>0，a2>a

9、b，即ab>a2，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由a<b<0，得ab<0，ab>0，故()<0，<成立故正確(2)因?yàn)閘og32<1，log52<1，又log23>1，所以c最大又1<log23<log25，所以>，即a>b，所以c>a>b.題型三不等式性質(zhì)的應(yīng)用例3已知a>b>0，給出下列四個(gè)不等式：a2>b2；2a>2b1；>；a3b3>2a2b.其中一定成立的不等式為_(kāi)答案解析方法一由a>b>0可得a2>b2，成立；由a>b>0可得a>b

10、1，而函數(shù)f(x)2x在R上是增函數(shù)，f(a)>f(b1)，即2a>2b1，成立；a>b>0，>，()2()222b2()>0，>，成立；若a3，b2，則a3b335,2a2b36，a3b3<2a2b，不成立方法二令a3，b2，可以得到a2>b2，2a>2b1，>均成立，而a3b3>2a2b不成立思維升華(1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說(shuō)明常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)(2)在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí)，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然

11、判斷的同時(shí)還要用到其他知識(shí)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等(1)若<<0，則下列不等式：<；|a|b>0；a>b；ln a2>ln b2中，正確的不等式的序號(hào)是_(2)已知a，b，cR，有以下命題：若a>b，則ac2>bc2；若ac2>bc2，則a>b；若a>b，則a·2c>b·2c.其中正確的是_(填上所有正確命題的序號(hào))答案(1)(2)解析(1)由<<0，可知b<a<0.中，因?yàn)閍b<0，ab>0，所以<0，>0.故有<，即正確；中，因?yàn)閎<

12、;a<0，所以b>a>0.故b>|a|，即|a|b<0，故錯(cuò)誤；中，因?yàn)閎<a<0，又<<0，所以a>b，故正確；中，因?yàn)閎<a<0，根據(jù)yx2在(，0)上為減函數(shù)，可得b2>a2>0，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2>ln a2，故錯(cuò)誤由以上分析，知正確(2)若c0則命題不正確正確中由2c>0知正確不等式變形中擴(kuò)大變量范圍致誤典例：設(shè)f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2)的取值范圍是_易錯(cuò)分析解題中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范圍，再求f(

13、2)4a2b的范圍，導(dǎo)致變量范圍擴(kuò)大解析方法一設(shè)f(2)mf(1)nf(1) (m、n為待定系數(shù))，則4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，即5f(2)10.方法二由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由確定的平面區(qū)域如圖陰影部分，當(dāng)f(2)4a2b過(guò)點(diǎn)A(，)時(shí)，取得最小值4×2×5，當(dāng)f(2)4a2b過(guò)點(diǎn)B(3,1)時(shí)，取得最大值4×32×110，5f(2)

14、10.答案5,10溫馨提醒(1)此類(lèi)問(wèn)題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過(guò)”一次性“使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍；(2)求范圍問(wèn)題如果多次利用不等式有可能擴(kuò)大變量取值范圍.方法與技巧1用同向不等式求差的范圍ad<xy<bc.這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時(shí)經(jīng)常用到2倒數(shù)關(guān)系在不等式中的作用<；>.3比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一比差法的主要步驟：作差變形判斷正負(fù)在所給不等式完全是積、商、冪的形式時(shí)，可考慮比商4求某些代數(shù)式的范圍可考慮采用整體代入的方法失誤與防范1a>bac>bc或a<bac<

15、bc，當(dāng)c0時(shí)不成立2a>b<或a<b>，當(dāng)ab0時(shí)不成立3a>ban>bn對(duì)于正數(shù)a、b才成立4.>1a>b，對(duì)于正數(shù)a、b才成立5注意不等式性質(zhì)中“”與“”的區(qū)別，如：a>b，b>ca>c，其中a>c不能推出6比商法比較大小時(shí)，要注意兩式的符號(hào).A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1“ac>bd”是“a>b且c>d”的_條件答案必要不充分解析由同向不等式的可加性知“a>b且c>d”“ac>bd”，反之不對(duì)2若<<0，則下列結(jié)論不正確的是_a2<b2 ab<b2a

16、b<0 |a|b|>|ab|答案解析<<0，b<a<0.a2<b2，ab<b2，ab<0，|a|b|ab|.3設(shè)A，B(a>0，b>0)，則A，B的大小關(guān)系是_答案A>B解析因?yàn)锳B>0，所以A>B.4設(shè)(0，)，0，那么2的取值范圍是_答案(，)解析由題設(shè)得0<2<，0，0，<2<.5設(shè)a>1，且mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，則m，n，p的大小關(guān)系為_(kāi)答案m>p>n解析因?yàn)閍>1，所以a212a(a1)2>0，即a21>

17、;2a，又2a>a1，所以由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知loga(a21)>loga(2a)>loga(a1)，即m>p>n.6已知a<0，1<b<0，那么a，ab，ab2的大小關(guān)系是_(用“>”連接)答案ab>ab2>a解析由1<b<0，可得b<b2<1.又a<0，ab>ab2>a.7設(shè)a>b>c>0，x，y，z，則x，y，z的大小關(guān)系是_(用“>”連接)答案z>y>x解析方法一y2x22c(ab)>0，y>x.同理，z>y，z>y&

18、gt;x.方法二令a3，b2，c1，則x，y，z，故z>y>x.8已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題若ab>0，bcad>0，則>0；若ab>0，>0，則bcad>0；若bcad>0，>0，則ab>0.其中正確的命題是_答案解析ab>0，bcad>0，>0，正確；ab>0，又>0，即>0，bcad>0，正確；bcad>0，又>0，即>0，ab>0，正確故都正確9若實(shí)數(shù)a1，比較a2與的大小解a2，當(dāng)a>1時(shí)，a2>；當(dāng)a<1時(shí)，a2<.

19、10甲乙兩人同時(shí)從宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步；如果兩人步行、跑步速度均相同，則誰(shuí)先到教室？解設(shè)路程為s，跑步速度為v1，步行速度為v2，t甲，s·v1·v2t乙，1.t甲t乙，當(dāng)且僅當(dāng)v1v2時(shí)“”成立由實(shí)際情況知v1>v2，t甲>t乙乙先到教室B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘)1下列三個(gè)不等式中，恒成立的個(gè)數(shù)是_x2(x0)；<(a>b>c>0)；>(a，b，m>0，a<b)答案2解析當(dāng)x<0時(shí)，不成立由a>b>c>0，得<，所以<成立，所以恒成立.>0.所以恒成立2已知alog32，bln 2，c5，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)(用“<”連接)答案c<a<b解析alog32，0<ln 2<1，ln 3>1，a<ln 2b，即a<b，a，c，0<log23<2而>2，0<log23<，a>c，c<a&