安徽大學(xué)2006—2007學(xué)年第2學(xué)期《量子力學(xué)》考試試題(B)

1、 量子力學(xué)考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1 頁(yè) 共4 頁(yè)2 z 安徽大學(xué) 20 06 20 07 學(xué)年第2 學(xué)期 量子力學(xué)考試試題（ b）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（每小題 5 分，共 25 分）1.用球坐標(biāo)表示，粒子波函數(shù)表為r, ,，寫(xiě)出粒子在球殼r , r dr 中被測(cè)到2的幾率是p r 2 dr sindr,2 d。0 0 0i 2 .在z 表象中的泡利矩陣y i 0 。3 .一維諧振子的能級(jí)表達(dá)式是e n 1 , n 0 ,1, 2 ,n 0, 0 x 2 a4.一質(zhì)量為的粒子在一維無(wú)限深方勢(shì)阱v (x) ,x 0, x 2a 中運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出其能級(jí)表達(dá)式是en 22n2 8 a2 ,n

2、 1, 2 , 3,5 （l2 , l ） 的共同本征函數(shù)是ylm (, ) 。二、簡(jiǎn)答題（每小題 5 分，共 25 分）6電子自旋假設(shè)的兩個(gè)要點(diǎn)是什么？解： （1）電子具有自旋角動(dòng)量s ，它在空間任意方向的投影只有兩個(gè)取值：2；(3 分)（2）電子具有自旋磁矩m ，它的回轉(zhuǎn)磁比值為軌道回轉(zhuǎn)磁比值的2 倍，即(2 分) 自旋回轉(zhuǎn)磁比值gs e 2 取mc e 2mc 為單位，軌道回轉(zhuǎn)磁比值gl e 2mc 1。內(nèi)稟磁矩自旋軌道磁矩軌道角動(dòng)量 量子力學(xué)考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2 頁(yè) 共4 頁(yè)r , 7.量子力學(xué)中，一個(gè)力學(xué)量q 守恒的條件是什么？用式子表示。q 解：有兩個(gè)條件：t 0 , （

3、 2 分）q ,h 0 。（3 分）(r , / 2) 8.完全描述電子運(yùn)動(dòng)的旋量波函數(shù)為(r , s z ) ，準(zhǔn)確敘述(r , / 2) 2及d 3 r (r , / 2) (r , / 2) 2分別表示什么樣的物理意義。解：r , / 22表示電子自旋向上（sz 2 ） 、位置在r 處的幾率密度； （ 2 分）d 3 r / 22 表示電子自旋向下（s 2 ）的幾率。 （3 分）9波爾原子理論的兩大要點(diǎn)是什么？1 原子具有分立的能級(jí)：電子在原子中不可能沿著經(jīng)典理論所允許的每一個(gè)執(zhí)道運(yùn)動(dòng)，而只能沿著其中一組特殊的軌道運(yùn)動(dòng)。玻爾假設(shè)沿這一組特殊軌道運(yùn)動(dòng)的電子處于穩(wěn)定狀態(tài)(簡(jiǎn)稱定態(tài) )。當(dāng)電子

4、保持在這種狀態(tài)時(shí)，它們不吸收也不發(fā)出輻射。換句話說(shuō)就是：原子能夠，而且只能夠穩(wěn)定地存在于與分立的能量(e1e2，)相應(yīng)的一系列的狀態(tài)中這些狀態(tài)稱為定態(tài)因此，原子能量的任何變化，包括吸收或發(fā)射電磁輻射，都只能在兩個(gè)定態(tài)之間以躍遷的方式進(jìn)行。（3 分）2 量子躍遷的頻率條件：只有當(dāng)電子由一個(gè)定態(tài)躍遷到另一個(gè)定態(tài)時(shí)，才產(chǎn)生輻射的吸收或發(fā)射現(xiàn)象，電子由能量為 em 定態(tài)躍遷到能量為 en 的定態(tài)時(shí)所吸收或發(fā)射的輻射頻率，滿足下面的關(guān)系：（2 分）10散射問(wèn)題中，高能粒子散射和低能粒子散射分別宜采用什么方法處理？解： 高能粒子散射宜采用玻恩近似方法處理；低能粒子散射宜采用分波法處理。三、證明題（每小題

5、10 分，共 10 分）1 1 .證明 pauli 矩陣滿足xyzi 。得分z 量子力學(xué)考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第3 頁(yè) 共4 頁(yè)32m 32m 32m 0 z 0 0 0 0 證：由于xy yx 2izxy yx 0 （1）（2 分）（2）（2 分）（1）+（2） ，得xyiz（ 3）（2 分）式（ 3）兩邊同時(shí)右乘，注意到2 1 ，得（2 分）z z xyzi ，證畢。（2 分）四、計(jì)算題（每小題 20 分，共 40 分）1 2 .一電子處于r （r）y （ , ） 態(tài)，測(cè)力學(xué)量 l ，測(cè)值如何？ 測(cè)力學(xué)量 l ，32 m 32 2 m z 可能得哪些測(cè)值？寫(xiě)出l z 在其自身表象中的矩

6、陣表示。解：l2( , ) 2(2 1)2( , ) 62( , ) ，測(cè)力學(xué)量l，測(cè)值為62 。（5 分）lz32m ( , ) m32m ( , ), m 2 ,1, 0 , 1, 2 ，測(cè)力學(xué)量lz ，測(cè)值可能為2 , , 0, , 2。（ 5 分）在l z 表象中，l z 自身的矩陣形式是對(duì)角矩陣，對(duì)角元為l z 的本征值：2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 0 10 （10 分） 2 量子力學(xué)考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4 頁(yè) 共4 頁(yè)(x a) , 1 11 1 (x) h (x) dx 2 2 1 3 .一維無(wú)限深勢(shì)阱 ( 0 x a ) 中的粒子

7、，受到微擾h x / a ,x a / a / x a 的作用，求基態(tài)能量的一級(jí)修正。解：一維無(wú)限深勢(shì)阱的能量本征值及本征函數(shù)為( ) n( ) nx en(0) a 2 2 , n sin a (0) , n , , , x 基態(tài)e12 a 2 , 。 （4 分）1 sin a （4 分）基態(tài)能量的一級(jí)修正為e (1) h (0) 2 2 a 2 2 x 2x 2 a 2 x x a 0sin a a dx a asin 2 ?2 1 dx 。 （4 分）a a 作變換：u xa , x au , x dx a du ；av a 代入上式完成積分：v , a x a , dx dv o （ 4 分）(1) 1 42 2 s