高中數(shù)學第1章常用邏輯用語1.1.2量詞學案新人教B版選修2-1-新人教B版高二選修2-1

1、1.1.2 量詞學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1. 理解全稱量詞與存在量詞的含義( 重點 ) 2理解并掌握全稱命題和存在性命題的概念(重點 )3. 能判定全稱命題和存在性命題的真假并掌握其判斷方法( 難點、易混點)1. 通過學習全稱命題和存在性命題的有關(guān)概念，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)2通過對兩類命題真假判斷及利用命題的真假性求參數(shù)值 ( 范圍 ) ，提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng) . 1全稱量詞與全稱命題全稱量詞“所有”“對任意一個”“對一切”“對每一個”“任給”符號表示?全稱命題含有全稱量詞的命題形式“對m中的所有x，p(x) ”，可簡記為“?xm，p(x) ”2. 存在量詞與存在性命題存在量

2、詞“有一個”“有些”“至少有一個”符號表示?存在性命題含有存在量詞的命題形式“存在集合m中的元素x，q(x) ”，可簡記為“?xm，q(x)”思考：全稱命題與存在性命題有什么區(qū)別？ 提示 (1) 全稱命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)所有對象都具有某一性質(zhì)，無一例外，強調(diào)“整體、全部”(2) 存在性命題中的存在量詞則表明給定范圍內(nèi)的對象有例外，強調(diào)“個別、部分”1下列不是全稱量詞的是 ( ) a任意一個b所有的c每一個d很多d 很明顯 a，b， c中的量詞均是全稱量詞，d中的量詞不是全稱量詞 2下列命題為存在性命題的是( ) a偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱b正四棱柱都是平行六面體c不相交的兩條直線是平

3、行直線d存在實數(shù)大于或等于3 答案 d 3存在性命題“?xr， |x| 20”是 _命題 (填“真”或“假) 假 因為 |x| 0，所以 |x| 22，故不存在xr，使 |x| 20.4用量詞符號表述下列全稱命題：(1) 任意一個實數(shù)乘以1 都等于它的相反數(shù)；(2) 對任意實數(shù)x，都有x3x2；(3) 對任意角，都有 sin2cos21. 解 (1) ?xr，x( 1) x. (2) ?xr，x3x2. (3) ?|是任意角 ，sin2 cos21. 全稱命題與存在性命題的判斷【例 1】判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題(1) 有一個實數(shù)，tan 無意義；(2) 任何一條直線都有斜率；(3)

4、 所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑；(4) 圓內(nèi)接四邊形的對角互補；(5) 指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；(6) abc的內(nèi)角中有小于60的角 思路探究 先判斷量詞類型，再判斷命題類型 解 (1) 含有存在量詞“有一個”，是存在性命題(2) 含有全稱量詞“任何一條”，是全稱命題(3) 含有全稱量詞，所以該命題是全稱命題(4) “圓內(nèi)接四邊形的對角互補”的實質(zhì)是“所有的圓內(nèi)接四邊形，其對角都互補”，所以該命題是全稱命題(5) 其實是指“所有的指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”中省略了“所有的”，所以該命題是全稱命題(6) 命題可以改寫為“abc的內(nèi)角中有一個角小于60”，因此是存在性命題判定一個語句是全稱命題還

5、是存在性命題可分三個步驟：1 首先判定語句是否為命題，若不是命題，就當然不是全稱命題或存在性命題. 2 若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱命題，含有存在量詞的命題是存在性命題. 3 當命題中不含量詞時，要注意理解命題含義的實質(zhì). 1判斷下列語句是全稱命題還是存在性命題：(1) 凸多邊形的外角和等于360；(2) 有的向量方向不定；(3) 對任意角，都有 sin2cos21；(4) 有一個函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 解 (1) 可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和都等于360”，故為全稱命題(2) 含有存在量詞“有的”，故是存在性命題(3) 含有全稱量詞“任意”，故是全稱命

6、題(4) 含有存在量詞“有一個”，故為存在性命題全稱命題與存在性命題的真假判斷【例 2】判斷下列命題的真假：(1) 在平面直角坐標系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x，y) 都對應(yīng)一點p；(2) 存在一個函數(shù)，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)；(3) 每一條線段的長度都能用正有理數(shù)來表示；(4) 存在一個實數(shù)x，使得等式x2x80 成立；(5) ?xr，x23x20；(6) ?xr，x23x20. 思路探究 結(jié)合全稱命題與存在性命題的含義及相關(guān)數(shù)學知識判斷 解 (1) 真命題(2) 真命題，如函數(shù)f(x) 0，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)(3) 假命題，如邊長為1 的正方形，其對角線的長度為2，就不能用正有理數(shù)表示(4) 假

7、命題，方程x2x80 的判別式 310 即可求出實數(shù)a的取值范圍本題也可分離參數(shù)a求解 解 法一：由于f(x) 對應(yīng)拋物線開口向上， 且在y軸上截距為 2，則滿足要求時函數(shù)的大致圖象如圖即實數(shù)a的取值范圍是 (1 ， ) 法二：要使 ?x1 ， ) ，f(x) 0 恒成立，只要使f(x)min0 即可f(x) xa22a242，當a21，即a 2 時，f(x)minf(1) 1a2a1. 由a10，得a1. 當a21，即a 2 時，f(x)minfa2a2420 無解綜上，實數(shù)a的取值范圍是(1 ， ) 法三：對于 ?x1 有f(x) 0 恒成立等價于對于?x1，x2ax20，即ax2x恒成立

8、，設(shè)g(x) x2x，即轉(zhuǎn)化為ag(x)max. 我們可利用單調(diào)性定義判定g(x) x2x在1 ， ) 上是減函數(shù)，g(x)maxg(1) 121，a1. 綜上，實數(shù)a的取值范圍是(1 ， ) 1( 變換條件 ) 若將本例中的“x1”改為“x1”，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍 解 結(jié)合本例圖象可知a2 1，f1 a10，解得a 1. 即實數(shù)a的取值范圍是 ( ， 1) 2( 變換條件 ) 若將本例中的“f(x) x2ax2”改為“f(x) ax2x2”，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍 解 (1) 當a0 時，不滿足對一切x1 都有f(x) 0，(2) 當a0 時，要使 ?x1 ， ) ，

9、f(x) 0 恒成立，須12a1，f1 a10，解得a1. 即實數(shù)a的取值范圍是 (1 ， ) 1 含參數(shù)的全稱命題為真時，常轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來處理，最終通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題. 2 含參數(shù)的存在性命題為真時，常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題來處理，最終借助根的判別式或函數(shù)等相關(guān)知識獲得解決. 1思考辨析(1) 在全稱命題和存在性命題中，量詞可以省略( ) (2) “對任意xr，x220”是全稱命題( ) (3) “ ?x0n,4x03”是存在性命題( ) 提示 (1) 在存在性命題中，量詞不可以省略；在有些全稱命題中，量詞可以省略(2) (3) 2以下四個命題既是存在性命題又是真命題的是( ) a銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角b至少有一個實數(shù)x，使x20c兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)d存在一個負數(shù)x，使1x 2 ba 中銳角三角形的內(nèi)角都是銳角，所以是假命題；b中x0 時，x20，所以 b 既是存在性命題又是真命題；c中因為3( 3) 0，所以 c是假命題； d中對于任一個負數(shù)x，都有1x0恒成立，故是真命題；b中命題是全稱命題，當x1 時， (x1)20，故是假命題；c中命題是存在性命題，當x1 時， lg x0，故