高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)學(xué)案蘇教版選修1-1-蘇教版高二選修1-1數(shù)學(xué)學(xué)案

1、第 2 章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及其應(yīng)用，會(huì)用定義求標(biāo)準(zhǔn)方程.2. 掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3. 掌握橢圓、 雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，會(huì)利用幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題.4.掌握簡單的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的解決方法. 1. 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離的和等于常數(shù)( 大于f1f2) 的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于f1f2的正數(shù) ) 的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l(f不在l上) 的距離相等的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2

2、y2b2 1或y2a2x2b21(ab0)x2a2y2b21或y2a2x2b21(a0，b0)y22px或y2 2px或x22py或x22py(p0) 關(guān)系式a2b2c2a2b2c2圖形封閉圖形無限延展，但有漸近線ybax或yabx 無限延展，沒有漸近線變量范圍|x| a，|y| b或|y| a，|x| b |x| a或|y| a x0或x0或y0或y0對(duì)稱性對(duì)稱中心為原點(diǎn)無對(duì)稱中心兩條對(duì)稱軸一條對(duì)稱軸頂點(diǎn)四個(gè)兩個(gè)一個(gè)離心率eca，且 0e1e1 決定形狀的因素e決定扁平程度e決定開口大小2p決定開口大小2. 求圓錐曲線方程的一般步驟一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再

3、定量”的步驟. (1) 定形指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置. (2) 定式根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2ny21(m0，n0 且mn). (3) 定量由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小. 3. 離心率(1) 定義法： 由橢圓 ( 雙曲線 ) 的標(biāo)準(zhǔn)方程可知， 不論橢圓 ( 雙曲線 ) 的焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2b2c2(a2b2c2) 以及eca，已知其中的任意兩個(gè)參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法. (2) 方程法： 建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其

4、離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法. (3) 幾何法：求與過焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓( 雙曲線 )的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問題更形象、直觀 . 4. 焦點(diǎn)三角形(1) 橢圓的焦點(diǎn)三角形設(shè)p為橢圓x2a2y2b21(ab0)上任意一點(diǎn) ( 不在x軸上 ) ，f1，f2為焦點(diǎn)且f1pf2， 則pf1f2為焦點(diǎn)三角形(如圖 ). 焦點(diǎn)三角形的面積為sb2tan2. 焦點(diǎn)三角形的周長為l 2a2c. (2) 雙曲線的焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形的面積為sb2tan2. 5. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

5、，主要是直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等諸多方面的知識(shí)，形成了求定值、最值、對(duì)稱、取值范圍、線段的長度等多種問題.解決此類問題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，以形輔數(shù)的方法；還要多結(jié)合圓錐曲線的定義，利用“設(shè)而不求法”以及“點(diǎn)差法”等. 1. 橢圓x24y21 的離心率為32.( ) 2. 拋物線y24x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.( ) 3. 若橢圓x2my21 的離心率為32，則它的長半軸長為2.( ) 4. 雙曲線x210ty22t1(2t1)和雙曲線x2ny21(n0)有相同的焦點(diǎn)f1，f2，p是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則f1pf2的形狀是 _. 考點(diǎn)圓錐曲線的定義題點(diǎn)圓錐曲線定義的運(yùn)用答

6、案直角三角形解析設(shè)p為雙曲線右支上的一點(diǎn). 對(duì)橢圓x2my2 1(m1) ，c2m1，pf1pf22m；對(duì)雙曲線x2ny21，c2n1，pf1pf22n. pf1mn，pf2mn，f1f22(2c)2 2(mn). 而pf21pf22 2(mn) (2c)2f1f22，f1pf2是直角三角形. 類型二圓錐曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用例 2 (1) 已知ab0，橢圓c1的方程為x2a2y2b21，雙曲線c2的方程為x2a2y2b21，c1與c2的離心率之積為32，則c2的漸近線的斜率為_. (2) 已知拋物線y24x的準(zhǔn)線與雙曲線x2a2y21 交于a，b兩點(diǎn)，點(diǎn)f為拋物線的焦點(diǎn)，若fab為直角三角形，則

7、該雙曲線的離心率為_. 考點(diǎn)圓錐曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)圓錐曲線的離心率問題答案(1) 22(2)6 解析(1) ab0，橢圓c1的方程為x2a2y2b21，c1的離心率為a2b2a. 雙曲線c2的方程為x2a2y2b2 1，c2的離心率為a2b2a. c1與c2的離心率之積為32，a2b2aa2b2a32，ba212，ba22，c2的漸近線的斜率為22. (2) 拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x 1. 又fab為直角三角形，則只有afb90，如圖，則a( 1,2) 在雙曲線上， 代入雙曲線方程可得a215，于是ca2165. 故eca6. 反思與感悟有關(guān)圓錐曲線的焦點(diǎn)、離心率、漸近線等問題是考試中常見

8、的問題，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解題意，大都可以順利求解. 跟蹤訓(xùn)練2 已知f1( c,0) ，f2(c,0) 為橢圓x2a2y2b21(ab0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上一點(diǎn)，且pf1pf2c2，則此橢圓離心率的取值范圍為_. 考點(diǎn)圓錐曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)圓錐曲線的離心率問題答案33，22解析設(shè)p(x，y) ，則pf1pf2( cx，y) (cx，y) x2c2y2c2，將y2b2b2a2x2代入式，解得x22c2b2a2c23c2a2a2c2，又x20 ，a2 ，2c2a23c2，eca33，22. 類型三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系命題角度 1 有關(guān)基本量的計(jì)算問題例 3 已知橢圓x2

9、a2y2b21(ab0)上的點(diǎn)p到左、右兩焦點(diǎn)f1，f2的距離之和為22，離心率為22. (1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 過右焦點(diǎn)f2的直線l交橢圓于a，b兩點(diǎn)，若y軸上一點(diǎn)m0，37滿足mamb，求直線l的斜率k的值 . 考點(diǎn)直線與橢圓題點(diǎn)利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問題解(1) 由題意知，pf1pf22a22，所以a2. 又因?yàn)閑ca22，所以c2221，所以b2a2c2211，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y2 1. (2) 已知橢圓的右焦點(diǎn)為f2(1,0)，直線斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為yk(x1) ，兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為a(x1，y1) ，b(x2，y2). 聯(lián)立直線與橢圓的方程，得

10、yk x1 ，x22y21，化簡得 (1 2k2)x24k2x2k2 20，8k280. 所以x1x24k212k2，y1y2k(x1x2) 2k2k12k2. 所以ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為2k212k2，k12k2. 當(dāng)k0 時(shí)，ab的中垂線方程為yk12k21kx2k212k2，因?yàn)閙amb，所以點(diǎn)m在ab的中垂線上，將點(diǎn)m的坐標(biāo)代入直線方程，得37k12k22k12k2，即 23k2 7k3 0，解得k3或k36；當(dāng)k0 時(shí)，ab的中垂線方程為x0，滿足題意 . 所以斜率k的取值為0，3或36. 反思與感悟解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題與求最值問題類似，一般有兩種方法：(1) 函數(shù)法：用其他變量表

11、示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解. (2) 不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系式，通過解不等式求參數(shù)范圍. 跟蹤訓(xùn)練3 如圖，焦距為2 的橢圓e的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為a，b，且ab與n (2， 1) 共線 . (1) 求橢圓e的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若直線ykxm與橢圓e有兩個(gè)不同的交點(diǎn)p和q，且原點(diǎn)o總在以pq為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 . 考點(diǎn)直線與橢圓題點(diǎn)利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問題解(1) 因?yàn)?2c2，所以c1. 又ab( a，b)，且abn，所以2ba，所以 2b2b21，所以b2 1，a22. 所以橢圓e的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y21. (2) 設(shè)p(x1，

12、y1) ，q(x2，y2) ，把直線方程ykxm代入橢圓方程x22y21，消去y，得 (2k21)x24kmx2m22 0，所以x1x24km2k21，x1x22m2 22k2 1. 16k28m280，即m22k21.(*) 因?yàn)樵c(diǎn)o總在以pq為直徑的圓的內(nèi)部，所以opoq0，即x1x2y1y20. 又y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2mk(x1x2) m2m22k22k21. 由2m222k21m2 2k22k210，得m223k223. 依題意且滿足(*) 得，m2b0) ，m(x，y) 為橢圓上的點(diǎn)，由ca32，得a2b. pm2x2y322 3y1224b23( byb

13、) ，若b12，故矛盾 . 若b12，當(dāng)y12時(shí)， 4b237，b21，a24，所求方程為x24y21. 1. 已知f1，f2是橢圓x2k2y2k11 的左、右焦點(diǎn)，弦ab過f1，若abf2的周長為8，則橢圓的離心率為_. 考點(diǎn)圓錐曲線的定義題點(diǎn)圓錐曲線定義的運(yùn)用答案12解析因?yàn)閍bf2的周長為4a，所以a 2，得k2，所以eca43212. 2. 設(shè)橢圓x2m2y2n21 (mn0) 的右焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)相同，離心率為12，則此橢圓的方程為 _. 考點(diǎn)圓錐曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用答案x216y2121 解析y2 8x的焦點(diǎn)為 (2,0)，x2m2y2n21 的右焦點(diǎn)

14、為 (2,0) ，c2. 又e122m，m 4. c2m2n24，n212. 橢圓方程為x216y212 1. 3. 以拋物線y2 4x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為中心，離心率為2 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 考點(diǎn)圓錐曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用答案x2y23 1 解析易得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0) ，所以雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0). 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b2 1(a0，b0) ，則a1. 又離心率eca2，所以c2，從而b2c2a23. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y231. 4. 若拋物線y22x上的兩點(diǎn)a，b到焦點(diǎn)的距離的和是5，則線段ab的中點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離是_

15、. 考點(diǎn)圓錐曲線的定義題點(diǎn)圓錐曲線定義的運(yùn)用答案2 解析設(shè)l是拋物線的準(zhǔn)線，f為拋物線的焦點(diǎn)，a，b，p在l上的投影分別為a1，b1，p1. 則由拋物線的定義可知，aa1bb1afbf5，所以pp112(aa1bb1) 52，所以點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離為d52122. 5. 過橢圓x216y241 內(nèi)一點(diǎn)p(3,1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是_. 考點(diǎn)直線與橢圓題點(diǎn)利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問題答案3x4y130 解析設(shè)直線與橢圓交于a(x1，y1) ，b(x2，y2) 兩點(diǎn)，由于a，b兩點(diǎn)均在橢圓上，故x2116y2141，x2216y2241，兩式相減得x1x2x1x216y1y2

16、y1y240. 又p是a，b的中點(diǎn)，x1x26，y1y22，kaby1y2x1x234. 直線ab的方程為y134(x3). 即 3x4y130. 在解決圓錐曲線問題時(shí)，待定系數(shù)法，“設(shè)而不求”思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是最常用的幾種思想方法，“設(shè)而不求”思想，在解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題中匠心獨(dú)具，很好的解決了計(jì)算的繁雜、瑣碎問題. 一、填空題1. 設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，上頂點(diǎn)為b. 若bf2f1f22，則該橢圓的方程為 _. 考點(diǎn)圓錐曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用答案x24y23 1 解析bf2f1f22，a2c2，a2，c1，b3，橢圓

17、的方程為x24y23 1. 2. 已知雙曲線x2a2y21(a0)的右焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)重合，則此雙曲線的漸近線方程是 _. 考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案y33x解析y2 8x的焦點(diǎn)是 (2,0)，雙曲線x2a2y21 的半焦距c2，又虛半軸長b 1 且a0，a22 123，雙曲線的漸近線方程是y33x. 3. 若曲線x2m4y291 的一條準(zhǔn)線方程為x10，則m的值為 _. 考點(diǎn)圓錐曲線的準(zhǔn)線題點(diǎn)準(zhǔn)線方程的運(yùn)用答案6 或 86 解析此曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，a2m4，cm49m5. 而一條準(zhǔn)線方程為x10，m4m5 10，解得m6 或 86. 4. 在給定

18、橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為2，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為 _. 考點(diǎn)圓錐曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)圓錐曲線的離心率問題答案22解析不妨設(shè)橢圓方程為x2a2y2b21(ab0)，則有2b2a2，a2cc1，即2b2a2，b2c1，得e22. 5. 設(shè)p是橢圓x225y2161 上的任意一點(diǎn)， 又點(diǎn)q的坐標(biāo)為 (0 ， 4) ， 則pq的最大值為 _. 考點(diǎn)圓錐曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)圓錐曲線中的最值問題答案8 解析設(shè)p的坐標(biāo)為 (x，y) ，則pq2x2(y4)225 1y216(y4)2916y64926259( 4y4)，當(dāng)y4 時(shí)，pq2最大，此時(shí)pq最大，且pq的最大值為25

19、 14216 442 8. 6. 設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為f，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為b，如果直線fb與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為_. 考點(diǎn)圓錐曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)圓錐曲線的離心率問題答案152解析不妨設(shè)雙曲線方程為x2a2y2b21(a0，b0)，則可令f(c,0)，b(0 ，b). 直線fb：bxcybc0 與漸近線ybax垂直，所以bcba 1，即b2ac，所以c2a2ac，即e2e10，所以e152或e152( 舍去 ). 7. 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上， 其上一點(diǎn)p(1 ，m)到焦點(diǎn)的距離為5，則m的值為_. 考點(diǎn)圓錐曲線的定義題點(diǎn)圓錐曲線定義的運(yùn)用答案4解析由拋

20、物線的定義知，點(diǎn)p到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離，所以1p25，p8，故拋物線的方程為y2 16x. 將點(diǎn)p(1，m) 代入方程，得m4.8. 設(shè)p是雙曲線x2a2y291 上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0，f1，f2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若pf13，則pf2_. 考點(diǎn)圓錐曲線的定義題點(diǎn)圓錐曲線定義的運(yùn)用答案7 解析雙曲線的一條漸近線方程為y32x，即ba32，又b29，a2. 由雙曲線定義知，|pf1pf2| 2a4，pf27. 9. 點(diǎn)p在橢圓x2y2m1 上，點(diǎn)q在直線yx 4 上，若pq的最小值為2，則m_. 考點(diǎn)圓錐曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)圓錐曲線中的最值問題答案3 解析根

21、據(jù)題意，與直線yx4 平行且距離為2的直線方程為yx 2 或yx6( 舍去 )，聯(lián)立yx2，x2y2m1，消去y，得 (m1)x24x4m0，令164(m1)(4 m) 0，解得m0 或m3，m0，m3. 10. 已知橢圓c：x2a2y2b21(ab0) 的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，離心率為e. 直線l：yexa與x軸，y軸分別交于a，b兩點(diǎn)，m是直線l與橢圓c的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)ameab，則該橢圓的離心率e_. 考點(diǎn)圓錐曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)圓錐曲線的離心率問題答案512解析因?yàn)辄c(diǎn)a，b分別是直線l：yexa與x軸，y軸的交點(diǎn)，所以點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別是 ae， 0 ，(0，a). 設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)是

22、 (x0，y0) ，由ameab，得x0aee1 ，y0ea.(*) 因?yàn)辄c(diǎn)m在橢圓上，所以x20a2y20b21，將(*) 式代入，得e12e2e2a2b21，整理得e2e 10，解得e512或e5 12( 舍去 ). 二、解答題11. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，矩形abcd的一邊ab在x軸上，另一邊cd在x軸上方，且ab8，bc6，其中a( 4,0) ，b(4,0). (1) 若a，b為橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過c，d兩點(diǎn)，求該橢圓的方程；(2) 若a，b為雙曲線的焦點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過c，d兩點(diǎn)，求雙曲線的方程. 考點(diǎn)圓錐曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用解(1) a，b為橢圓的焦點(diǎn)，且橢

23、圓經(jīng)過c，d兩點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義知，cacb162a，a8. 在橢圓中，b2a2c2641648，橢圓方程為x264y248 1. (2) a，b是雙曲線的焦點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過c，d兩點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義知，cacb42a，a 2. 在雙曲線中，b2c2a216412，雙曲線方程為x24y2121. 12. 已知f1，f2是橢圓c：x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦點(diǎn)， 點(diǎn)n( 2，1) 在橢圓上， 線段nf2與y軸的交點(diǎn)m滿足nmf2m0. (1) 求橢圓c的方程；(2) 設(shè)p為橢圓c上一點(diǎn)，且f1pf23，求f1pf2的面積 . 考點(diǎn)圓錐曲線的定義題點(diǎn)圓錐曲線定義的運(yùn)用，焦點(diǎn)三角形解(

24、1) 由已知，點(diǎn)n( 2，1) 在橢圓上，有2a21b21，又nmf2m0，m在y軸上，m為nf2的中點(diǎn)，2c0，c2. a2b22，由解得b22(b2 1 舍去 ) ，a24，故所求橢圓c的方程為x24y22 1. (2) 設(shè)pf1m，pf2n，則sf1pf212mnsin334mn. 由橢圓的定義知pf1pf2 2a，即mn4. 又由余弦定理得pf21pf222pf1pf2cos3f1f22，即m2n2mn(22)2. 由2，得mn83，sf1pf2233. 13. 已知橢圓e：x2a2y2b21(ab0) 的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為a(0，3) ，離心率e12. (1) 求橢圓e的方程；(2) 設(shè)

25、動(dòng)直線l：ykxm與橢圓e相切于點(diǎn)p，且與直線x4 相交于點(diǎn)q，求證：以pq為直徑的圓過定點(diǎn)n(1 ，0). 考點(diǎn)直線與橢圓題點(diǎn)利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問題(1) 解由已知可得b3，eca12，a2b2c2，a2 4，所求橢圓方程為x24y231. (2) 證明聯(lián)立方程x24y231 與ykxm，消元得(3 4k2)x28kmx4m2120. 曲線e與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，0，化簡可得m24k23，故m0.設(shè)p(xp，yp) ，故xp 8km2 34k24km，ypkxpm3m，故p4km，3m. 又由ykxm，x 4，得q(4,4km). n(1,0) ，pn 14km，3m，nq(3,4km) ，pnnq312km12km30，pnnq，以pq為直徑的圓過定點(diǎn)n(1,0). 三、探究與拓展14. 已知f1，f2是橢圓