數(shù)列基礎(chǔ)知識點和方法歸納

1、數(shù)列基礎(chǔ)知識點和方法歸納1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)），推論公式：，等差中項 ：成等差數(shù)列,等差數(shù)列前項和：性質(zhì)：是等差數(shù)列（1）若，則（下標(biāo)和定理）注意：要求等式左右兩邊項數(shù)相等（2）數(shù)列12212,nnnaaa仍為等差數(shù)列，仍為等差數(shù)列，公差為dn2；（3）若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為；（4）若是等差數(shù)列，且前項和分別為，則；（5）為等差數(shù)列（為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項為 0 的二次函數(shù)）的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負(fù)分界項，即：當(dāng)，解不等式組可得達到最大值時的值. 當(dāng)，由可得達到最小值時的值. (6)項數(shù)為偶數(shù)n2 的等差數(shù)列，有),)()()(11122212為中間兩

2、項nnnnnnnaaaanaanaansndss奇偶，1nnaass偶奇. （7）項數(shù)為奇數(shù)12n的等差數(shù)列，有)()12(12為中間項nnnaans,nass偶奇，.1nnss偶奇1nnaadd11naandxay， ，2axyn11122nnaann nsnadnamnpqmnpqaaaa ；232nnnnnsssss，adaad， ，nnab，nnnst，2121mmmmasbtna2nsanbnab，nns2nsanbnna100ad，100nnaansn100ad，100nnaansnnana2. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)，），.推論公式：且等比中項：成等比數(shù)列，或.等比數(shù)

3、列中奇數(shù)項同號，偶數(shù)項同號等比數(shù)列前 n 項和公式 ：性質(zhì)：是等比數(shù)列（1）若，則(下標(biāo)和定理 ) 注意：要求等式左右兩邊項數(shù)相等。（2）仍為等比數(shù)列 ,公比為nq。. （3）是正項等比數(shù)列，則是等比數(shù)列。注意：由求時應(yīng)注意什么？時，；時，.1nnaqaq0q11nnaa qxgy、2gxygxynamnpqmnpqaaaa232nnnnnsssss，nansna1n11as2n1nnnass3. 求數(shù)列通項公式的常用方法（1) 定義法求通項公式 ( 已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列）（2）已知的關(guān)系與n或的關(guān)系時與nnas，求。)2()1(11nssnsannn例：數(shù)列的前項和求數(shù)列的通項公式

4、; 解：當(dāng)時，當(dāng)時數(shù)列的通項公式為練習(xí)： 設(shè)數(shù)列的前項和為，且求數(shù)列的通項公式。（3）求差（商）法例：數(shù)列，求解：時，時， 得：，練習(xí)： 在數(shù)列中，, 求數(shù)列的通項公式。(4)累乘法形如的遞推式由1( )nnaf na，則31212(1)(2)( )nnaaafff naaa，兩邊分別相乘得，1111( )nnkaaf kansnana12211125222nnaaanna1n112 152a114a12211125222nnaaan2n12121111215222nnaaan122nna12nna114(1)2(2)nnnan例：數(shù)列中，求解，又，. 練習(xí)： 已知,求數(shù)列的通項公式。（5）累

5、加法形如的遞推式。由，求，用迭加法時，兩邊相加得例：已知數(shù)列滿足,求與的值。（2）求數(shù)列的通項公式練習(xí)：已知數(shù)列中，（）求數(shù)列的通項公式；（6）構(gòu)造法形如（為常數(shù)，）的遞推式?？赊D(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)令，是首項為為公比的等比數(shù)列，例：已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項公式；解 ： （ 1），而，故數(shù)列是首項為 2，公比為 2的等比數(shù)列，因此na1131nnanaan，na3212112123nnaaanaaan 11naan13a3nan110( )nnaaf naa，na2n21321(2)(3)( )nnaafaafaaf n 1(2)(3)( )naafff n0(2)(3)( )naafff n

6、1nnacadcd、010ccd，111nnnnaxc axacacx(1)cxd1dxc1ndac11dacc，1111nnddaaccc1111nnddaaccc練習(xí) 1：已知數(shù)列中，求數(shù)列na的通項公式。練習(xí) 2：已知數(shù)列na滿足112356nnnaaa，求數(shù)列na的通項公式。（7）倒數(shù)法例：，求由已知得：，為等差數(shù)列，公差為，練習(xí)： 已知數(shù)列的首項，。求數(shù)列的通項公式?？偨Y(jié)：公式法、利用1(2)1(1)nnssns nna、累加法、累乘法. 構(gòu)造等差或等比1nnapaq或1( )nnapaf n、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法。11212nnnaaaa，na1211122nnnnaaa

7、a11112nnaa1na111a1211111122nnna21nan4. 求數(shù)列前 n 項和的常用方法（1）定義法 ：如果已知數(shù)列為等差或者等比數(shù)列，這用對應(yīng)的公式求和等差數(shù)列前項和：等比數(shù)列前 n 項和公式 ：常見公式：, （2）錯位相減法給兩邊同乘以一個適當(dāng)?shù)臄?shù)或者式，然后把所得的等式與原等式相減，對應(yīng)項互相抵消，最后得出前n 項的和.一般適用于為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列（差比數(shù)列）前項和，可由，求，其中為的公比 . 例： 時，時，練習(xí)：已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和的通項公式（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和(2) 裂項法把數(shù)列的通項公式拆成兩項差的形式，相加過程

8、中消去中間項，只剩下有限項再求和。常見形式：若是公差為的等差數(shù)列，則n11122nnaann nsnadnanbnna bnnnsqsnsqnb2311234nnsxxxnx23412341nnnx sxxxxnxnx2111nnnx sxxxnx2111nnnxnxsxx1x11232nn nsnnad如：是公差為的等差數(shù)列，求解：由練習(xí)： 已知數(shù)列的前 n 項和，求數(shù)列的通項公式；求數(shù)列的前 n 項和。（3）倒序相加法把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加. 相加練習(xí)已知，則由原式（3）分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，若將這個數(shù)列適當(dāng)拆分開，可分為幾個等差或等比或常見數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。一般適用于為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列前項和。練習(xí)：已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為d，為等比數(shù)列，公比為q，且 d=q=2，,求的通項公式，求的前項和。nad111nkkka a11111110kkkkkkdaaaaddaa11111223111111111111nnkkkkkknna adaadaaaaaa11111ndaa121121nnnnnns