2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第20講 導數(shù)與三角函數(shù)的綜合問題（解析版）

1、第20講 導數(shù)與三角函數(shù)的綜合問題高考預測一：含三角函數(shù)的不等式恒成立問題 1設(shè)（）求證：當時，；（）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解析】（）證明：，則，設(shè)，則，（2分）當時，即為增函數(shù)，所以，即在時為增函數(shù)，所以（4分）（）解法一：由（）知時，所以，（6分）設(shè)，則，設(shè)，則，當時，所以為增函數(shù)，所以，所以為增函數(shù)，所以，所以對任意的恒成立（8分）又，時，所以時對任意的恒成立（9分）當時，設(shè)，則，所以存在實數(shù)，使得任意，均有，所以在為減函數(shù)，所以在時，所以時不符合題意綜上，實數(shù)的取值范圍為，（12分）（）解法二：因為等價于（6分）設(shè)，則可求，（8分）所以當時，恒成立，在，是增函數(shù)，所

2、以，即，即所以時，對任意恒成立（9分）當時，一定存在，滿足在時，所以在是減函數(shù)，此時一定有，即，即，不符合題意，故不能滿足題意，綜上所述，時，對任意恒成立（12分）2已知函數(shù)的定義域為，且對任意實數(shù)、，都有（a）（b），當時，恒成立（1）求證：函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）若不等式對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解析】（1）證明：設(shè)，則，當時，恒成立，則，函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）解：，則不等式當時，顯然成立；，則且，解得綜上，實數(shù)的取值范圍是，3已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當時，求實數(shù)的取值范圍【解析】解：（），令，當，單調(diào)遞增，（2分），單調(diào)遞減 （4分）（） 令

3、，即恒成立，而，令，在，上單調(diào)遞增，（6分）當時，在，上單調(diào)遞增，符合題意；當時，在，上單調(diào)遞減，與題意不合； （8分）當時，為一個單調(diào)遞增的函數(shù)，而，由零點存在性定理，必存在一個零點，使得，當，時，從而在，上單調(diào)遞減，從而，與題意不合，綜上所述：的取值范圍為，（12分）4已知函數(shù)，當，時，（）若函數(shù)在處的切線與軸平行，求實數(shù)的值；（）求證：；（）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解析】解：，函數(shù)在處的切線與軸平行，則，得證明：當，時，令，則當，時，在，上是增函數(shù)，即當，時，令，則當，時，在，單調(diào)遞增，綜上可知：；（）解：設(shè)令，則，令，則當，時，可得是，上的減函數(shù)，故在，單調(diào)遞減，當時，在，上恒成立

4、下面證明當時，在，上不恒成立令，則當，時，故在，上是減函數(shù)，當時，存在，使得，此時，即在，不恒成立綜上實數(shù)的取值范圍是，高考預測二：含三角的不等式證明5已知函數(shù)（）求的單調(diào)區(qū)間；（）記為的從小到大的第個零點，證明：對一切，有【解析】解：（），由，解得，當，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，當，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（）由（）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，故，當，且函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的，在區(qū)間，內(nèi)至少存在一個零點，又在區(qū)間，是單調(diào)的，故，因此當時，有成立當時，有當時，綜上證明：對一切，有6已知函數(shù)，若不存在極值點，求的取值范圍；（）若，證明：【解析】解：（），設(shè)，（1）時：，在

5、上單增，其值域是，存在，使，且在處左右兩邊值異號，是的極值點，得不可??；（2）時：時，在其上單減時，在其上單增，在處取極小值也是最小值若 即，在上單增，無極值點得可取，若 即在上的值域是，存在，使，且在處左右兩邊值異號，是的極值點得不可?。凰缘娜≈捣秶?，（），故，要證明，只需證明，（1）當時，故成立；（2）當時，設(shè)，則，設(shè)，則，故在，遞增，故（1），即，故在，遞增，故（1），即，綜上，若，7（1）證明：，時，（2）若不等式對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解析】（1）證明：記，則，當時，在，上是增函數(shù)，當，時，在，上是減函數(shù)，又，（1），當，時，即，記，則當時，在，上是減函數(shù)則，即綜上，；（2

6、）當，時，不等式恒成立，即恒成立，也就是恒成立，即恒成立，則在，上恒成立恒成立，解得實數(shù)的取值范圍是，8（1）證明：當，時，；（2）證明：當時，對，恒成立【解析】證明：（1），則，恒成立，在，上遞減，在，上遞減，；（4分）記，則，恒成立，在，上遞增，在，上遞增，；（7分）（2），時，當時，對，恒成立（14分）9已知函數(shù)，若對于任意的實數(shù)恒有，求實數(shù)的取值范圍【解析】解：對于任意的實數(shù)恒有，即有，即，顯然，時，顯然成立；由偶函數(shù)的性質(zhì)，只要考慮的情況當時，即為，由，則，考慮的導數(shù)為，即遞減，即有，即，則有，故，即有，解得則實數(shù)的取值范圍為，10已知函數(shù)（1）討論函數(shù)在區(qū)間，上的最小值；（2）當時

7、，求證：對任意，恒有成立【解析】（1）解：函數(shù)的定義域是，當時，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為；當時，令，得；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當，即時，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為（1），當，即時，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，綜上，當時，函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為；當時，函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為；當時，函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為（1）（2）證明：當時，要證，即證，因為，所以兩邊同時乘，得，即證，當時，而，所以成立，即成立，當時

8、，令，則，設(shè)，則因為，因為，所以，所以當時，單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即成立，綜上，對任意，恒有成立11已知函數(shù)（）求證：有唯一零點，且；（）對于（）中的，當，時，求實數(shù)的取值范圍【解析】證明：函數(shù)，則，又，故在上單調(diào)遞增，所以，故在上單調(diào)遞增，又，（1），所以在上存在唯一零點；解：由知，時，所以，即問題等價于在，恒成立，令，令，當，時，所以，即，故在，上單調(diào)遞減，所以當，時，所以，故實數(shù)的取值范圍是12已知函數(shù)（1）當時，設(shè)，求的最小值；（2）求證：當，時，【解析】（1）解：函數(shù)，所以，則，故在,上恒成立，所以在,上單調(diào)遞增，則有，所以在,上單調(diào)遞增，則有，故的最小值為0；

9、（2）證明：令，則在,上恒成立，所以在,上單調(diào)遞減，則有，所以，即,由（1）可知，對,恒成立，即，即，當時，,因為,所以，所以，故，令，則對恒成立，所以在,上單調(diào)遞增，則有，即，所以，故13已知函數(shù)（1）求函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當，時，求證：【解析】解：（1）由題意知，所以當時，解得，即在的單調(diào)遞增區(qū)間是，；（2）證明：令，只需證即可，故在單調(diào)遞減，即，所以，從而在上單調(diào)遞減，即恒成立，當時，恒成立，即，由（1）知，當時，恒成立，綜上，得證14已知函數(shù)，為常數(shù)）（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）設(shè)（）若為偶數(shù)，當時，函數(shù)在區(qū)間上有極值點，求實數(shù)的取值范圍；（）若為奇數(shù)，不等式在，上恒成立，求實數(shù)的最小值【解析】解：（1）函數(shù)，所以，則，當時，故切點為，由點斜式可得函數(shù)在處的切線方程為，即；（2）當為偶數(shù)時，則，令，則，因為且，所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，其中，因為在有極值點，所以且，即，當時，存在，使得，令，即，在上單調(diào)遞增；令，即，在，上單調(diào)遞減，所以在有極值點，故實數(shù)的取