2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第九章 9.8曲線與方程-教師版

1、 第1課時(shí)進(jìn)門(mén)測(cè)判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)f(x0，y0)0是點(diǎn)p(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件()(2)方程x2xyx的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線(×)(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2y2.(×)(4)方程y與xy2表示同一曲線(×)(5)ykx與xy表示同一直線(×)作業(yè)檢查無(wú)第2課時(shí)階段訓(xùn)練題型一定義法求軌跡方程例1已知兩個(gè)定圓o1和o2，它們的半徑分別是1和2，且|o1o2|4.動(dòng)圓m與圓o1內(nèi)切，又與圓o2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心m的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線

2、解如圖所示，以o1o2的中點(diǎn)o為原點(diǎn)，o1o2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系由|o1o2|4，得o1(2,0)，o2(2,0)設(shè)動(dòng)圓m的半徑為r，則由動(dòng)圓m與圓o1內(nèi)切，有|mo1|r1；由動(dòng)圓m與圓o2外切，有|mo2|r2.|mo2|mo1|3<4|o1o2|.點(diǎn)m的軌跡是以o1、o2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為3的雙曲線的左支a，c2，b2c2a2.點(diǎn)m的軌跡方程為1 (x)思維升華應(yīng)用定義法求曲線方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解已知abc的頂點(diǎn)a(5,0)，b(5,0)，abc的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，

3、則頂點(diǎn)c的軌跡方程是()a.1 b.1c.1 (x>3) d.1 (x>4)答案c解析如圖，|ad|ae|8，|bf|be|2，|cd|cf|，所以|ca|cb|826<10|ab|.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以a，b為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支(y0)，方程為1 (x>3)題型二直接法求軌跡方程例2已知橢圓c：1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，離心率為.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)p(x0，y0)為橢圓c外一點(diǎn)，且點(diǎn)p到橢圓c的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)p的軌跡方程解(1)依題意得，c，e，因此a3，b2a2c24，故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(

4、2)若兩切線的斜率均存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)p(x0，y0)的切線方程是yk(xx0)y0，則由得1，即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240，整理得(x9)k22x0y0ky40.又所引的兩條切線相互垂直，設(shè)兩切線的斜率分別為k1，k2，于是有k1k21，即1，即xy13(x0±3)若兩切線中有一條斜率不存在，則易得或或或經(jīng)檢驗(yàn)知均滿足xy13.因此，動(dòng)點(diǎn)p(x0，y0)的軌跡方程是x2y213.思維升華直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性通常將步驟簡(jiǎn)記為建系設(shè)點(diǎn)、

5、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)p(a，b)為動(dòng)點(diǎn)，f1，f2分別為橢圓1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)已知f1pf2為等腰三角形(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)直線pf2與橢圓相交于a，b兩點(diǎn)，m是直線pf2上的點(diǎn)，滿足·2，求點(diǎn)m的軌跡方程解(1)設(shè)f1(c,0)，f2(c,0)(c>0)由題意，可得|pf2|f1f2|，即2c，整理得2210，得1(舍去)或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得橢圓方程為3x24y212

6、c2，直線pf2的方程為y(xc)a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c，得方程組的解不妨設(shè)a，b(0，c)設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x，y)，則，(x，yc)由y(xc)，得cxy.于是，(x，x)，由·2，即·x·x2.化簡(jiǎn)得18x216xy150.將y代入cxy，得c>0.所以x>0.因此，點(diǎn)m的軌跡方程是18x216xy150(x>0)題型三相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程例3如圖所示，拋物線c1：x24y，c2：x22py(p>0)點(diǎn)m(x0，y0)在拋物線c2上，過(guò)m作c1的切線，切點(diǎn)為a，b(m為原點(diǎn)o時(shí)，a，b

7、重合于o)當(dāng)x01時(shí)，切線ma的斜率為.(1)求p的值；(2)當(dāng)m在c2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段ab中點(diǎn)n的軌跡方程(a，b重合于o時(shí)，中點(diǎn)為o)解(1)因?yàn)閽佄锞€c1：x24y上任意一點(diǎn)(x，y)的切線斜率為y，且切線ma的斜率為，所以點(diǎn)a的坐標(biāo)為(1，)，故切線ma的方程為y(x1).因?yàn)辄c(diǎn)m(1，y0)在切線ma及拋物線c2上，所以y0×(2)，y0.由得p2.(2)設(shè)n(x，y)，a(x1，)，b(x2，)，x1x2.由n為線段ab的中點(diǎn)，知x，y.所以切線ma，mb的方程分別為y(xx1)，y(xx2).由得ma，mb的交點(diǎn)m(x0，y0)的坐標(biāo)為x0，y0.因?yàn)辄c(diǎn)m(x0，y0)

8、在c2上，即x4y0，所以x1x2.由得x2y，x0.當(dāng)x1x2時(shí)，a，b重合于原點(diǎn)o，ab的中點(diǎn)n為點(diǎn)o，坐標(biāo)滿足x2y.因此ab的中點(diǎn)n的軌跡方程是x2y.思維升華“相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程設(shè)直線xy4a與拋物線y24ax交于兩點(diǎn)a，b(a為定值)，c為拋物線上任意一點(diǎn)，求abc的重心的軌跡方程解設(shè)abc的重心為g(x，y)，點(diǎn)c的坐標(biāo)為(x0，y0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)由方程組消去y并整理得x212a

9、x16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.g(x，y)為abc的重心，又點(diǎn)c(x0，y0)在拋物線上，將點(diǎn)c的坐標(biāo)代入拋物線的方程得(3y4a)24a(3x12a)，即(y)2(x4a)又點(diǎn)c與a，b不重合，x0(6±2)a，abc的重心的軌跡方程為(y)2(x4a)(x(6±)a)第3課時(shí)階段重難點(diǎn)梳理1曲線與方程的定義一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線c上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線2求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟【知識(shí)拓展】1“曲線c是方程f(x，

10、y)0的曲線”是“曲線c上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要條件2曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系：(1)兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解，兩條曲線就沒(méi)有交點(diǎn)重點(diǎn)題型訓(xùn)練典例已知拋物線y22px經(jīng)過(guò)點(diǎn)m(2，2)，橢圓1的右焦點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為.(1)求拋物線與橢圓的方程；(2)若p為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，q為過(guò)點(diǎn)p且垂直于x軸的直線上的一點(diǎn)，(0)，試求q的軌跡思想方法指導(dǎo)(1)由含參數(shù)的方程討論曲線類型時(shí)，關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)，一般情況下，根據(jù)x2，y2的系數(shù)與0的關(guān)系及兩

11、者之間的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論(2)等價(jià)變換是解題的關(guān)鍵：即必須分三種情況討論軌跡方程(3)區(qū)分求軌跡方程與求軌跡問(wèn)題規(guī)范解答解(1)因?yàn)閽佄锞€y22px經(jīng)過(guò)點(diǎn)m(2，2)，所以(2)24p，解得p2.所以拋物線的方程為y24x，2分其焦點(diǎn)為f(1,0)，即橢圓的右焦點(diǎn)為f(1,0)，得c1.又橢圓的離心率為，所以a2，可得b2413，故橢圓的方程為1.5分(2)設(shè)q(x，y)，其中x2,2，設(shè)p(x，y0)，因?yàn)閜為橢圓上一點(diǎn)，所以1，解得y3x2.7分由可得2，故2，得(2)x22y23，x2,29分當(dāng)2，即時(shí)，得y212，點(diǎn)q的軌跡方程為y±2，x2,2，此軌跡是兩條平行于x軸的

12、線段；當(dāng)2<，即0<<時(shí)，得到1，此軌跡表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足x2,2的部分；12分當(dāng)2>，即>時(shí)，得到1.此軌跡表示實(shí)軸在x軸上的橢圓滿足x2,2的部分15分1已知點(diǎn)f(，0)，直線l：x，點(diǎn)b是l上的動(dòng)點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)b垂直于y軸的直線與線段bf的垂直平分線交于點(diǎn)m，則點(diǎn)m的軌跡是()a雙曲線 b橢圓c圓 d拋物線答案d解析由已知|mf|mb|，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)m的軌跡是以點(diǎn)f為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線2方程(2x3y1)(1)0表示的曲線是()a兩條直線 b兩條射線c兩條線段 d一條直線和一個(gè)射線答案d解析原方程可化為或10，即2x3y10(x3)或

13、x4，故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線3已知a(2,0)，b(1,0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p不在x軸上，且滿足apobpo，其中o為原點(diǎn)，則p點(diǎn)的軌跡方程是()a(x2)2y24(y0)b(x1)2y21(y0)c(x2)2y24(y0)d(x1)2y21(y0)答案c解析由角的平分線性質(zhì)定理得|pa|2|pb|，設(shè)p(x，y)，則2，整理得(x2)2y24(y0)，故選c.4過(guò)橢圓1(a>b>0)上任意一點(diǎn)m作x軸的垂線，垂足為n，則線段mn中點(diǎn)的軌跡方程是_答案1解析設(shè)mn的中點(diǎn)為p(x，y)，則點(diǎn)m(x,2y)在橢圓上，1，即1(a>b>0).作業(yè)布置1設(shè)定點(diǎn)m1(0

14、，3)，m2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)p滿足條件|pm1|pm2|a(其中a是正常數(shù))，則點(diǎn)p的軌跡是()a橢圓 b線段c橢圓或線段 d不存在答案c解析a是正常數(shù)，a26.當(dāng)|pm1|pm2|6時(shí)，點(diǎn)p的軌跡是線段m1m2；當(dāng)a>6時(shí)，點(diǎn)p的軌跡是橢圓，故選c.2若曲線c上存在點(diǎn)m，使m到平面內(nèi)兩點(diǎn)a(5,0)，b(5，0)距離之差的絕對(duì)值為8，則稱曲線c為“好曲線”以下曲線不是“好曲線”的是()axy5 bx2y29c.1 dx216y答案b解析m到平面內(nèi)兩點(diǎn)a(5,0)，b(5,0)距離之差的絕對(duì)值為8，m的軌跡是以a(5,0)，b(5,0)為焦點(diǎn)的雙曲線，方程為1.a項(xiàng)，直線xy5過(guò)點(diǎn)(5,

15、0)，故直線與m的軌跡有交點(diǎn)，滿足題意；b項(xiàng)，x2y29的圓心為(0,0)，半徑為3，與m的軌跡沒(méi)有交點(diǎn)，不滿足題意；c項(xiàng)，1的右頂點(diǎn)為(5,0)，故橢圓1與m的軌跡有交點(diǎn)，滿足題意；d項(xiàng)，方程代入1，可得y1，即y29y90，>0，滿足題意3已知點(diǎn)p是直線2xy30上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)m(1,2)，q是線段pm延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|pm|mq|，則q點(diǎn)的軌跡方程是()a2xy10 b2xy50c2xy10 d2xy50答案d解析由題意知，m為pq中點(diǎn)，設(shè)q(x，y)，則p為(2x,4y)，代入2xy30，得2xy50.4已知圓錐曲線mx24y24m的離心率e為方程2x25x20的根，則滿足

16、條件的圓錐曲線的個(gè)數(shù)為()a4 b3 c2 d1答案b解析e是方程2x25x20的根，e2或e.mx24y24m可化為1，當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時(shí)，有，m3；當(dāng)它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，有，m；當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，可化為1，有2，m12.滿足條件的圓錐曲線有3個(gè)5已知點(diǎn)a(1,0)，直線l：y2x4，點(diǎn)r是直線l上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)p的軌跡方程為()ay2x by2xcy2x8 dy2x4答案b解析設(shè)p(x，y)，r(x1，y1)，由知，點(diǎn)a是線段rp的中點(diǎn)，即點(diǎn)r(x1，y1)在直線y2x4上，y12x14，y2(2x)4，即y2x.6平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)a(3,1)，

17、b(1,3)，若點(diǎn)c滿足12(o為原點(diǎn))，其中1，2r，且121，則點(diǎn)c的軌跡是()a直線 b橢圓 c圓 d雙曲線答案a解析設(shè)c(x，y)，則(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，x2y50，表示一條直線7曲線c是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1(1,0)和f 2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線c過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；曲線c關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；若點(diǎn)p在曲線c上，則f1pf2的面積不大于a2.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_答案解析因?yàn)樵c(diǎn)o到兩個(gè)定點(diǎn)f1(1,0)，f2(1,0)的距離的積是1，且a>1，所以曲線c不過(guò)原點(diǎn)，即錯(cuò)誤；因?yàn)閒1(1,0)，f

18、2(1,0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以|pf1|pf2|a2對(duì)應(yīng)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即正確；因?yàn)閨pf1|·|pf2|sin f1pf2|pf1|pf2|a2，即f1pf2的面積不大于a2，所以正確8已知abc的頂點(diǎn)a，b坐標(biāo)分別為(4,0)，(4,0)，c為動(dòng)點(diǎn)，且滿足sin bsin asin c，則c點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)答案1(x±5)解析由sin bsin asin c可知bac10，則|ac|bc|10>8|ab|，滿足橢圓定義令橢圓方程為1，則a5，c4，b3，則軌跡方程為1(x±5)9.如圖，p是橢圓1上的任意一點(diǎn)，f1，f2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，

19、且，則動(dòng)點(diǎn)q的軌跡方程是_答案1解析由于，又22，設(shè)q(x，y)，則(，)，即p點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，又p在橢圓上，則有1，即1.10已知圓的方程為x2y24，若拋物線過(guò)點(diǎn)a(1,0)，b(1，0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程是_答案1(y0)解析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為f，過(guò)a，b，o作準(zhǔn)線的垂線aa1，bb1，oo1，則|aa1|bb1|2|oo1|4，由拋物線定義得|aa1|bb1|fa|fb|，|fa|fb|4，故f點(diǎn)的軌跡是以a，b為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn))11已知實(shí)數(shù)m>1，定點(diǎn)a(m,0)，b(m,0)，s為一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)s與a，b兩點(diǎn)連線斜率之積為.(1)求動(dòng)

20、點(diǎn)s的軌跡c的方程，并指出它是哪一種曲線；(2)若m，問(wèn)t取何值時(shí)，直線l：2xyt0(t>0)與曲線c有且只有一個(gè)交點(diǎn)？解(1)設(shè)s(x，y)，則ksa，ksb.由題意，得，即y21(x±m)m>1，軌跡c是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去x軸上的兩頂點(diǎn))，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2m，短軸長(zhǎng)為2.(2)m，則曲線c的方程為y21(x±)由消去y，得9x28tx2t220.令64t236×2(t21)0，得t±3.t>0，t3.此時(shí)直線l與曲線c有且只有一個(gè)交點(diǎn)12已知橢圓e：1(a>b>0)的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且傾斜角為45

21、°的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.(1)求橢圓e的方程；(2)若動(dòng)直線l與橢圓e有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)m(1，0)作l的垂線，垂足為q，求點(diǎn)q的軌跡方程解(1)因?yàn)闄E圓e的離心率為，所以.解得a22b2，故橢圓e的方程可設(shè)為1，則橢圓e的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(b,0)，過(guò)左焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線方程為l：yxb.設(shè)直線l與橢圓e的交點(diǎn)為a，b，由消去y，得3x24bx0，解得x10，x2.因?yàn)閨ab|x1x2|，解得b1.故橢圓e的方程為y21.(2)當(dāng)切線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)l的方程為ykxm，聯(lián)立直線l和橢圓e的方程，得消去y并整理，得(2k21)x24kmx2m220.因?yàn)橹本€l和橢圓e有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以16k2m24(2k21)(2m22)0.化簡(jiǎn)并整理，得m22k21.因?yàn)橹本€mq與l垂直，所以直線mq的方