專題5.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）（講）原卷版

1、專題5.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)新課程考試要求理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，了解三角函數(shù)的周期性.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數(shù)學(xué)運算（多例）、數(shù)據(jù)分析等.高考預(yù)測（1） “五點法”作圖；（2）三角函數(shù)的性質(zhì)；（3）與不等式相結(jié)合考查三角函數(shù)定義域的求法（4）與二次函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等結(jié)合考查函數(shù)的值域(最值)（5）借助函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)（6）往往將三角恒等變換與三角函數(shù)圖象、性質(zhì)結(jié)合考查.【知識清單】知識點1正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)性質(zhì)圖象定

2、義域值域最值當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，既無最大值，也無最小值周期性奇偶性,奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對稱性對稱中心對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形.對稱中心對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形.對稱中心無對稱軸，是中心對稱但不是軸對稱圖形.知識點2“五點法”做函數(shù)的圖象“五點法”作圖：先列表，令，求出對應(yīng)的五個的值和五個值，再根據(jù)求出的對應(yīng)的五個點的坐標(biāo)描出五個點，再把五個點利用平滑的曲線連接起來，即得到在一個周期的圖象，最后把這個周期的圖象以周期為單位，向左右兩邊平移，則得到函數(shù)的圖象.【考點分類剖析】考點一 三角函數(shù)的定義域和

3、值域【典例1】（2021·上海高一課時練習(xí)）函數(shù)的定義域是_.【典例2】（2017新課標(biāo)2）函數(shù)fx=sin2x+3cosx-34（x0,2）的最大值是_【規(guī)律方法】1三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解2三角函數(shù)值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所給的三角函數(shù)式變換成yasin(x)的形式求值域；(3)把sin x或cos x看作一個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域；(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域【變式探究】1.（2020&

4、#183;上海高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為2，最小值為，則_，_.2.（2020·全國高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域.（1）；（2）.【總結(jié)提升】在使用開平方關(guān)系sin±和cos±時，一定要注意正負(fù)號的選取，確定正負(fù)號的依據(jù)是角所在的象限，如果角所在的象限是已知的，則按三角函數(shù)在各個象限的符號來確定正負(fù)號；如果角所在的象限是未知的，則需要按象限進行討論考點二 三角函數(shù)的單調(diào)性常見考題類型：1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值或范圍；3.比較大小.【典例3】（2021·全國高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）abcd【典例4】

5、（2020·河南洛陽高一期末（理）已知，則，的大小關(guān)系是（ ）abcd【典例5】（2021·甘肅白銀市·高三其他模擬（理）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）abcd【規(guī)律方法】1.求形如或 (其中a0，)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：把“ ()”視為一個“整體”；a>0(a<0)時，所列不等式的方向與 ()， ()的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相同(反)2.當(dāng)時，需要利用誘導(dǎo)公式把負(fù)號提出來，轉(zhuǎn)化為的形式，然后求其單調(diào)遞增區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi)；若求其遞減區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi).3已知三

6、角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍的三種方法(1)子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解(2)反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解.【變式探究】1.（2021·河南高一三模）已知函數(shù)，則（ ）ab在上單調(diào)遞增c在上的最小值為d在上的最大值為2. （2020·浙江柯城衢州二中高三其他）已知函數(shù)，則的最大值為_，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_.3.（2019·渦陽縣第九中學(xué)高一期末（文）已知函數(shù)求的單調(diào)增區(qū)間；【總結(jié)提升】1.對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性

7、的兩點說明(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域r上均不是單調(diào)函數(shù)，但存在單調(diào)區(qū)間(2)由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期為2，所以任給一個正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，加上2k，(kz)后，仍是單調(diào)區(qū)間，且單調(diào)性相同2對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值的三點說明(1)明確正、余弦函數(shù)的有界性，即|sinx|1，|cosx|1(2)函數(shù)ysinx，xd，(ycosx，xd)的最值不一定是1或1，要依賴函數(shù)定義域d來決定(3)形如yasin(x)(a>0，>0)的函數(shù)最值通常利用“整體代換”，即令xz，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為yasinz的形式求最值3.正切函數(shù)單調(diào)性的三個關(guān)注點(1)正切函數(shù)在定義域上不具有單調(diào)

8、性(2)正切函數(shù)無單調(diào)遞減區(qū)間，有無數(shù)個單調(diào)遞增區(qū)間，在(，)，(，)，上都是增函數(shù)(3)正切函數(shù)的每個單調(diào)區(qū)間均為開區(qū)間，不能寫成閉區(qū)間，也不能說正切函數(shù)在(，)(，)上是增函數(shù)考點三 三角函數(shù)的周期性【典例6】（2018年全國卷文）函數(shù)f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期為（ ）a. 4 b. 2 c. d. 2【規(guī)律方法】1.求三角函數(shù)的周期的方法（1）定義法：使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個值時，都有.利用定義我們可采用取值進行驗證的思路，非常適合選擇題；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期為.要特別注意兩個公式不要弄混；(3)圖象法：可以畫出函數(shù)的圖象，利用圖象的重復(fù)的特征進行確

9、定，一般適應(yīng)于不易直接判斷，但是能夠容易畫出函數(shù)草圖的函數(shù)；(4)絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定. 如的周期都是, 但的周期為，而，的周期不變.2.使用周期公式，必須先將解析式化為或的形式；正弦余弦函數(shù)的最小正周期是，正切函數(shù)的最小正周期公式是；注意一定要注意加絕對值.3.對稱與周期:正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期;正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期.

10、【變式探究】（2021·全國高三月考（理）函數(shù)的最小正周期是_.【特別提醒】最小正周期是指使函數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的自變量x要加上的最小正數(shù)，是對x而言，而不是對x而言.考點四 三角函數(shù)的奇偶性【典例7】（2021·全國高三其他模擬）函數(shù)在上的圖象大致為（ ）abcd【規(guī)律方法】1. 一般根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義解答，首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則繼續(xù)求；最后比較和的關(guān)系，如果有=，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有=-，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù).2. 如何判斷函數(shù)的奇偶性:根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，利用誘

11、導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性，常見的結(jié)論如下：(1)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；(2)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；(3)若為奇函數(shù)則有.【變式探究】（浙江省2019屆高考模擬卷（二)）函數(shù)y=cos2xlnx的圖象可能是（ ）a b c d【特別提醒】利用定義判斷與正切函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)的奇偶性時，必須要堅持定義域優(yōu)先的原則，即首先要看f(x)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再判斷f(x)與f(x)的關(guān)系考點五 三角函數(shù)的對稱性【典例8】（2021·安徽高三其他模擬（文）已知函數(shù)，且函數(shù)的最小正周期為，則下列關(guān)于函數(shù)的說法，；點是的一個對稱中心；直線是函數(shù)的一條對稱軸；函數(shù)的單

12、調(diào)遞增區(qū)間是.其中正確的（ ）abcd【規(guī)律方法】函數(shù)的對稱性問題，往往先將函數(shù)化成的形式，其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心, 關(guān)鍵是記住三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可求三角函數(shù)的對稱軸與對稱中心【變式探究】（2021·廣西欽州一中高三開學(xué)考試（理）關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：的圖像關(guān)于軸對稱. 的圖像關(guān)于原點對稱.的圖像關(guān)于直線對稱. 的圖像關(guān)于點對稱.其中所有真命題的序號是_.【特別提醒】1.求yasin(x)或yacos(x)函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，應(yīng)把x作為整體，代入相應(yīng)的公式中，解出x的值，最后寫出結(jié)果2.正切函數(shù)圖象的對

13、稱中心是(，0)而非(k，0)(kz)考點六 三角函數(shù)的零點【典例9】（2021·全國高三其他模擬（理）函數(shù)在上的所有零點之和為（ ）abcd【總結(jié)提升】重點考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算，關(guān)鍵點在于利用數(shù)形結(jié)合的思想將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題【變式探究】（2021·河南商丘市·高一月考）函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）a2b3c4d5考點七 三角函數(shù)中有關(guān)問題常見考題類型：1. 三角函數(shù)的周期t與的關(guān)系；2.三角函數(shù)的單調(diào)性與的關(guān)系；3.三角函數(shù)的對稱性、最值與的關(guān)系【典例10】（2021·云南昆明市·

14、昆明一中高三其他模擬（文）已知函數(shù)(>0)，若f(x)在上恰有兩個零點，則的取值范圍是（ ）abcd【典例11】（2021·遼寧鐵嶺市·高三二模）函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個極大值點，則的取值范圍為（ ）abcd【典例12】（2021·合肥市第六中學(xué)高三其他模擬（文）已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，其圖象的一條對稱軸方程為，則的值不可能是（ ）abc1d【典例13】（2018年北京高考真題）設(shè)函數(shù)f（x）=cos(x-6)(>0)，若f(x)f(4)對任意的實數(shù)x都成立，則的最小值為_【變式探究】1.（2021·全國高三其他模擬（理）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實

15、數(shù)的取值范圍為（ ）abcd2.【多選題】（2021·全國高三其他模擬）函數(shù)，若在上的最大值為1，則（ ）abc，使在區(qū)間上為減函數(shù)d若的圖象關(guān)于對稱，則的最小值為3【多選題】（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)和的說法正確的是（ ）a函數(shù)與有相同的周期b函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的對稱中心一定不同c若函數(shù)的圖象在上至少可取到兩次最大值1，則d若函數(shù)的圖象與直線在上恰有兩個交點，則考點八 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用【典例14】（2021·全國高考真題（文）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）a和b和2c和d和2【典例1

16、5】（2020·上海高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是_，最小值是_.【規(guī)律方法】1求形如yasinxb的函數(shù)的最值或值域時，可利用正弦函數(shù)的有界性(1sinx1)求解2對于形如yasin(x)k(a0)的函數(shù)，當(dāng)定義域為r時，值域為|a|k，|a|k；當(dāng)定義域為某個給定的區(qū)間時，需確定x的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定值域3求形如yasin2xbsinxc，a0，xr的函數(shù)的值域或最值時，可以通過換元，令tsinx，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值，求解過程中要注意正弦函數(shù)的有界性4求形如y，ac0的函數(shù)的值域，可以用分離常量法求解；也可以利用正弦函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式反解出y綜上可知，求與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域(或最值)的常用方