高三數(shù)學一輪復習備考教學設計：三角函數(shù)微專題設計（蘄春一中）

1、淘寶店鋪：漫兮教育 三角函數(shù)微專題教學設計一輪復習（理科）蘄春一中 劉海英三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，它在解決高中數(shù)學的問題上具有廣泛的應用，是高中數(shù)學的主干知識之一，也是高考必考的重點內(nèi)容。它對運算求解能力，分析轉化能力和邏輯推理能力要求較高，可作為區(qū)分能力，考查能力的重要手段。因此三角函數(shù)的復習要引起我們足夠的重視，下面我從兩個部分談談三角函數(shù)的復習。第一部分：三角函數(shù)總體設計一、闡釋考試說明對該專題的要求（一）新課程標準對三角函數(shù)的要求（1）任意角、弧度制 了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化。（2）三角函數(shù) 借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。 借助單

2、位圓中的三角函數(shù)線推導出誘導公式（± , ±的正弦、余弦、正切），能畫出y=sin x , y=cos x , y=tan x 的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。 借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2，正切函數(shù)在- ，上的性質（如單調性、最大和最小值、圖象與x軸交點等）。 理解同角三角函數(shù)的基本關系式:錯誤！未找到引用源。 結合具體實例，了解錯誤！未找到引用源。的實際意義；能借助計算器或計算機畫出錯誤！未找到引用源。的圖象，觀察參數(shù)a，對函數(shù)圖象變化的影響。 會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。（3）三角恒等變換 經(jīng)歷用向量的數(shù)量積

3、推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用。 能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。（4）解三角形通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。（二）全國考試說明對本專題的要求1、任意角、弧度制(1) 了解任意角的概念和弧度制的概念。(2)能進行弧度與角度的互化。2、三角函數(shù)(1)理解任意角三角

4、函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。(2)能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出± , ±的正弦、余弦、正切的誘導公式，能畫出y=sin x , y=cos x , y=tan x 的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。(3)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質（如單調性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等），理解正切函數(shù)在- ，上的單調性。(4)理解同角三角函數(shù)的基本關系式：錯誤！未找到引用源。(5)了解函數(shù)錯誤！未找到引用源。的物理意義；能畫出函數(shù)錯誤！未找到引用源。的圖像，了解參數(shù)a，對函數(shù)圖象變化的影響。 (6)會利用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重

5、要函數(shù)模型。3、三角恒等變換(1)會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式。(2)會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式。(3)會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式了解他們的內(nèi)在聯(lián)系。(4)能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）4、解三角形(1)掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。(2)能運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。二、本專題可測的知識點、能力點、思想點1、知識點：本專題的核心知識是任意角三角函數(shù)的定義、三角恒等變換、三角函

6、數(shù)的圖象與性質、正、余弦定理解三角形。2、能力點：運算求解能力、邏輯推理能力、分析判斷能力。3、思想點：數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想、函數(shù)與方程思想。三、復習安排：第1講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) （1課時）第2講同角三角函數(shù)基本關系式與誘導公式 （1課時）第3講兩角和與差及二倍角公式 （2課時）第4講三角函數(shù)的圖象與性質 （2課時）第5講函數(shù)錯誤！未找到引用源。的圖象及應用 （2課時）第6講正弦定理、余弦定理及解三角形 （2課時）第7講三角綜合問題 （4課時）第7講4課時，包括作業(yè)評講，測試卷評講，本單元復習共需兩周時間。四、全國卷考點分布與考查概況：年份題號分數(shù)涉及知識點20129，

7、1717（1）三角函數(shù)圖像與性質（單調性）；（2）解三角形.201315，1717（1）三角恒等變換，三角函數(shù)的性質（最大值）（2）解三角形.20146，8，1615（1）三角函數(shù)定義；(2)三角恒等變換；(3)解三角形.20152，8，1615（1）同角三角函數(shù)的基本關系式，三角恒等變換；(2)三角函數(shù)的圖像與性質；(3)解三角形.201612，1717（1）三角函數(shù)圖像與性質；(2)解三角形.1考查題型：一般為三個小題（兩道選擇題，一道填空題），或一小一大（一個選擇題，一個解答題），分值為15分或17分，從近幾年的考查來看，屬于中低檔難度.2考查內(nèi)容：小題重在基礎知識的應用，主要考查三角函

8、數(shù)圖像與性質、三角恒等變換、解三角形；大題側重于對解三角形問題的考查，主要考查三角恒等變換與解三角形.五、高考預測：預計本專題在今后的高考中，主要考查以下三個方面的內(nèi)容：1.三角函數(shù)定義與三角恒等變換（主要考三角函數(shù)化簡求值問題）2.三角函數(shù)圖像與性質3.正弦定理、余弦定理解三角形三角函數(shù)部分，依然強調對基本知識和基本方法的考查。近幾年高考突出“能力立意”，加強了知識的綜合性和應用性的考查，故常在知識交匯點處命題。全國卷對三角函數(shù)的考查，常著點于三角模塊內(nèi)不同知識的整合；有時候也會與平面向量、不等式等知識交匯在一起考查。根據(jù)近幾年全國卷高考特點分析，2012年、2013年三角函數(shù)連續(xù)兩年考查題

9、型為一小一大，第17題解答題為解三角形，2014、2015年連續(xù)兩年考查題型為三個小題，第17題解答題均為數(shù)列題型，2016年考查題型又是一小一大，第17題解答題為解三角形。由此預測出今年三角函數(shù)很有可能仍然是“1+1”的模式，即1個小題1個解答題的模式，而且第17題解答題很有可能是考查解三角形。第二部分：微專題設計（解三角形中的范圍問題）1、教學內(nèi)容分析“解三角形”是高中數(shù)學的基本內(nèi)容，有較強的應用性，也是三角函數(shù)和平面向量在解三角形中的應用.其本身不僅與日常生活問題緊密聯(lián)系，也是高考一個重要且必考的考點。在近幾年的高考中，解三角形經(jīng)?？疾榉秶鷨栴}。例如，2016年全國卷i第17題考查了解三

10、角形的求周長問題，2016年北京卷第15題、山東卷第16題都考查到解三角形中的最值問題，2015年湖南卷第17題也考查了解三角形中角的范圍問題等?？梢姡馊切沃械姆秶鷨栴}是高考的一個熱門考點。根據(jù)以上分析，本節(jié)課教學重點確定為：會用正弦定理、余弦定理、基本不等式解決解三角形中的范圍問題.2、教學目標分析知識目標: 掌握正弦定理、余弦定理及基本不等式，會用它們求解解三角形中的范圍問題.能力與方法:通過問題的辨析與探究，加強學生的自主學習能力，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和運算求解能力，提高學生分析問題解決問題的能力 .情感、態(tài)度與價值觀：通過引導學生觀察分析，合作交流，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，體會

11、解題過程中轉化與化歸等數(shù)學思想，增強學生學習的成就感，增進同學間的友誼。3、學情分析本授課對象為高三學生，學生已經(jīng)復習了三角函數(shù)基本知識，對正弦定理、余弦定理、面積公式以及基本不等式等有了一定的了解。但是如何正確選用正弦定理、余弦定理及其變式來解三角形還存在障礙，尤其是正余弦定理的綜合運用能力還存在欠缺，不少學生對解三角形中的一類求最值或范圍問題產(chǎn)生畏懼心理。根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學難點確定為：如何正確選用正、余弦定理解決解三角形中的范圍問題.4、教法學法本節(jié)課的指導思想是:以學生為主體，教師為主導，通過學案的形式展開教學.知識梳理、診斷自測等環(huán)節(jié)鞏固學生基礎，能激發(fā)學生的學習興趣.考點突破

12、讓學生自己動手探索，完善知識的系統(tǒng)性,加深對易錯點內(nèi)容的掌握，提升知識的綜合運用能力.這節(jié)課主要采用構建自主學習的教學模式，變老師“講-練-講”為學生“練-講-練”，變“知識-方法-題目”為“問題-聯(lián)想-提高”.每8人一組，將學生分成8組，把課堂還給學生，讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題，解決問題,培養(yǎng)學生自己“找路”的能力, 形成在參與中復習，在復習中參與的氛圍. 整個環(huán)節(jié)由師生互動、生生互動完成，旨在培養(yǎng)學生與人合作的精神，同時讓學生自我發(fā)現(xiàn)問題比老師主動強調要好，符合新課標的要求，突出了學生學習的主體地位.當學生遇到困難的時候,老師適當點撥并補充.注意要善于把自己對于問題的理解轉化為學生的理解,而不是

13、直接強加給學生.要盡量借助學生的嘴來說，借助學生的腦來想，讓學生在主動參與學習的過程中真正體會到學習的快樂.5、教學過程設計基本流程：知識梳理，溫故知新一題多解，鞏固基礎變式再練，揭示規(guī)律訓練反饋，深化理解課堂小結，鞏固提高一 :知識梳理,溫故知新定理正弦定理余弦定理內(nèi)容 = = (其中r是abc外接圓半徑)a2_；來科b2 _ ；c2 _變形公式(1)a2rsin a，b ，c ；(2)sin a，sin b，sin c；(3)abcsin a sin c；(4)asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin acos a _；cos b_；cos c=_2三角形常

14、用面積公式(1)sa·ha(ha表示邊a上的高)；(2)sabsin c_acsin b；(3)sr(abc) (r為三角形外接圓半徑，r為三角形內(nèi)切圓半徑) 3基本不等式(1)若a，br，則，當且僅當 時取“”(2) 若a，br，則a2b22ab，當且僅當 時取“”(3) 2ab a2b22|ab|. 2(4) 如果x，y(0，)，且xyp(定值)，那么當 時，xy有最小值2.(5) 如果x，y(0，)，且xys(定值)，那么當 時，xy有最大值.【設計意圖】通過知識梳理,使學生明確本節(jié)所復習的內(nèi)容,熟練掌握本節(jié)相關知識點.【處理過程】學生提前完成學案,學生自己獨立完成知識梳理,請

15、第一小組一名學生歸納答案.二:一題多解，鞏固基礎【例1】在abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b ，c . a = ，a = ，求b + c的最大值.解法一：（余弦定理與基本不等式結合） cos a b2c2 3bc(bc)233bc(bc)2bc2當且僅當bc時取等號.b + c的最大值為2.解法二：（正弦定理與三角函數(shù)結合）bc2r(sin b+ sin c)(sin b+ sin c) 2sin b+ sin(b) 2(sin bcos bsinb) 2sin (b)又0< b< < b<當b，即b時，b + c取最大值為2.【設計意圖】本題考查了正余弦定理解

16、三角形最值問題，以問題形式引入課題，勾起學生的求知欲。例題強調一題多解，發(fā)散思維，讓學生體會正弦定理、余弦定理在解三角形最值中的應用。【處理過程】先讓學生獨立完成,然后小組內(nèi)部交流答案,派兩名代表展示答案, 其他小組成員有質疑的地方提出質疑,代表解答疑難.必要之處老師作補充.例題處理完以后,引導學生反思總結:解法一是利用余弦定理得到兩邊關系，再結合基本不等式求出b + c的最大值；解法二是利用正弦定理把邊轉化成了角，再把b與c其中一個用另一個表示，減少變量，進而借助三角函數(shù)值域求出b + c的最大值.兩種方法比較，很明顯利用余弦定理和基本不等式更簡單直接.三:變式再練，揭示規(guī)律【變式1】在ab

17、c中，角a，b，c的對邊分別為a，b ，c . a = ，a = ，求b + c的范圍.【變式2】在銳角abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b ，c . a = ，a = ，求b + c的范圍.【變式1】解答過程：解：bc2r(sin b+ sin c)(sin b+ sin c)2sin b+ sin(b)2(sin bcos bsinb)2sin (b)又0< b< < b<< sin (b)1，故b + c的范圍為(,2【變式2】解答過程：解:bc2r(sin b+ sin c)(sin b+ sin c) 2sin b+ sin(b)2(sin bcos

18、 bsin b) 2sin (b)又0< b<，且0< cb << b< < b<< sin (b)1，故b + c的范圍為(3,2.【設計意圖】變式題的設計,通過比較，稍加變動條件，層層深入，激發(fā)學生的求知欲望，讓學生能更好的解決此類題型，明白如何適當?shù)倪x擇正弦定理、余弦定理解決解三角形中的范圍問題。從而突出重點，化解難點?！咎幚磉^程】先讓學生獨立完成,然后小組內(nèi)部交流答案,派代表展示答案, 其他小組成員有質疑的地方提出質疑,代表解答疑難.必要之處老師作補充.對于變式1，學生采用余弦定理和基本不等式，只能確定b + c右側的范圍，對于左側

19、的范圍，多數(shù)同學無從下手。也有部分同學采用兩邊之和大于第三邊，求出了左側的范圍。由此我提出了一個問題：如果將問題改為“求b c的范圍”那怎么辦？學生經(jīng)過激烈的探討研究，發(fā)現(xiàn)此時只能用正弦定理來解決?？梢姡赫叶ɡ斫鉀Q解三角形中的范圍問題是通法。有了上面的基礎，學生很快學會了用正弦定理來解決變式2，不過，仍然有一部分學生沒有注意到角的范圍，從而導致出錯。題目處理完之后，引導學生歸納總結：【歸納總結】1、對于解三角形的最值問題，有兩種方法，一種是余弦定理和基本不等式，另一種是正弦定理和三角函數(shù)。但是相比較而言，余弦定理和基本不等式更簡單直接。2、對于解三角形的范圍問題，正弦定理和三角函數(shù)更為通用，

20、多采用這種方法來解決。解題中，一定要注意角的范圍。四:訓練反饋，深化理解1、abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b ，c .且cos a= ，a =4.(1) 若b + c =6，且b < c，求b ，c的值；(2) 求abc的面積的最大值.2、abc中，a，b，c分別為角a，b，c對邊，且 (2b-c) cos a= acos c.(1) 求角a的大??；(2) 若a =4，求abc周長的最大值.(3) 若a =4，求銳角abc周長的范圍.3、abc中，a，b，c分別為角a，b，c對邊，a=2c，則的范圍是_.【設計意圖】檢驗所學習的知識，深化理解，從而熟練掌握本節(jié)的重點，形成相應的數(shù)

21、學能力.【處理過程】先讓學生獨立完成,然后小組內(nèi)部交流答案,派代表展示答案,其他小組成員有質疑的地方提出質疑,代表解答疑難.必要之處老師作補充 .五:課堂小結，鞏固提高【設計意圖】通過課堂的整理、總結與反思,使學生更好的掌握主干知識, 再次鞏固薄弱的知識環(huán)節(jié),提高學習效率.【處理過程】讓學生整理思維,自我總結,請學生代表對本節(jié)復習課的內(nèi)容進行小結(或談心得),其他同學可以補充,老師給予充分的肯定和鼓勵.6、訓練題的選擇及意圖在近幾年的高考中，解三角形經(jīng)?？疾榉秶鷨栴}。但是難度不大，屬于中檔題，是必得滿分的考題，在訓練題的選擇上注重：1.基礎題型：強化基礎，抓綱務本，落實通法2.難點題型：立足教材，突出方法，分級達標3.易錯題型：變式呈現(xiàn)，舉一反三，強化提升。以下訓