第十四編系列4選講-矩陣與變換坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1、高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教案第十四編系列 4 選講總第 69 期14.1 矩陣與變換基礎(chǔ)自測(cè)1.432114= . 答案822. 0211yx= . 答案xyx23. 設(shè) a,br, 若矩陣 a=ba01把直線 l ：x+y-1=0 變成為直線m : x- y-2=0 ，則 a= ，b= . 答案 2 -1 4. 先將平面圖形作關(guān)于直線y=x 的反射變換，再將它的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼娜种?，則整個(gè)變換可以用矩陣表示為 . 答案031205. 設(shè) a=4321，b=724k，若 ab=ba ，則 k= . 答案 3 例題精講例 1已知變換 t 把平面上的點(diǎn)a（2，0） ，b（

2、3，1）分別變換成點(diǎn)a (2,1),b(3,2) ，試求變換t 對(duì)應(yīng)的矩陣 m . 解設(shè) m =dcba，則有 m ：02yx=dcba02=ca22=12，解得211ca；m ：13yx=dcba13=dcba33=23，解得;21,0db綜上， m =212101. 例 2已知 o（0，0） ，a（2，1） ，o，a，b，c依逆時(shí)針方向構(gòu)成正方形的四個(gè)頂點(diǎn). （1）求 b，c 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）把正方形 oabc 繞點(diǎn) a按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45得到正方形abco ，求 b，c ，o 三點(diǎn)的坐標(biāo) . 解（1）顯然向量 oa 繞 o點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得向量 oc ，變換矩陣m =0110. 所

3、以有ccyx=011012=21，即 oc =（-1 ，2） ，c 點(diǎn)坐標(biāo)是（ -1 ，2）. 又 ob =oa+oc =（2，1）+（-1，2）=（1，3） ，所以 b點(diǎn)坐標(biāo)是（ 1，3）. （2）變換矩陣是n=22222222，ao =（-2，-1 ） ， ac =（-3，1） ， ab =（-1，2）. 22222222211132=2232222222223. 即oa=22,223，ca=(-2 ,22 ), ab =223,22oo=oa +oa=222,4234，點(diǎn) o 的坐標(biāo)是（222,2234）, 同理，點(diǎn) c的坐標(biāo)是 (2-2 ,1+22 ), 點(diǎn) b的坐標(biāo)是2232,224

4、. 例 3試從幾何變換的角度求ab的逆矩陣 . （1）a=1002，b=4001； （2）a=0110，b=0110. 解（1）矩陣 a對(duì)應(yīng)的是伸壓變換，它將平面內(nèi)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2 倍，因此它的逆矩陣是a-1=10021；同理，矩陣b對(duì)應(yīng)的也是伸壓變換，它將平面內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4 倍，因此它的逆矩陣是b-1=41001；所以（ ab）-1=b-1a-1=4100110021=410021. （2）矩陣 a對(duì)應(yīng)的是反射變換，它將平面內(nèi)的點(diǎn)變?yōu)樵擖c(diǎn)關(guān)于直線x- y=0 的對(duì)稱點(diǎn)， 所以該變換的逆變換為其自身， a-1=0110；矩陣 b對(duì)應(yīng)的也是

5、反射變換，它將平面內(nèi)的點(diǎn)變換為與其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，所以b-1=0110；所以， （ab ）-1=b-1a-1=01100110=1001. 例 4（14 分）已知二階矩陣m有特征值=8 及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=11，并且矩陣 m對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1 ，2）變換成（ -2 ，4）. （1）求矩陣 m ；（2）求矩陣 m的另一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系. 解（1）設(shè) m =dcba，則dcba11=811=88，故.8,8dcba 2分dcba21=42，故.42,22dcba 4分聯(lián)立以上兩方程組解得a=6,b=2,c=4,d=4,故 m =4426. 6分（2）由（

6、1）知，矩陣m的特征多項(xiàng)式為f （）=（-6 ） （-4 ）-8=2-10+16，故其另一個(gè)特征值為=2. 9分設(shè)矩陣 m的另一個(gè)特征向量是e2=yx，則 m e2=yxyx4426=2yx，所以yyxxyx244226, 12分所以矩陣 m的另一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系是2x+y=0. 14分鞏固練習(xí)1. （2008南京質(zhì)檢） 二階矩陣 m對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，-1）與（ -2，1）分別變換成點(diǎn)（-1，-1）與（ 0，-2）. （1）求矩陣 m ；（2）設(shè)直線 l 在變換 m作用下得到了直線m :x- y=4,求 l 的方程 . 解（1）設(shè) m =dcba，則有dcba11=11

7、,dcba12=20所以11dcba, 且2202dcba, 解得4321dcba，所以 m =4321. （2）因?yàn)閥x=4321yx=yxyx432且 m ：x-y=4,所以 ( x+2y)-(3 x+4y)=4, 整理得 x+y+2=0，所以直線l 的方程為x+y+2=0. 2. 將雙曲線 c：x2- y2=1 上點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，得到新圖形c，試求 c的方程 . 解由題意，得旋轉(zhuǎn)變換矩陣m =45cos45sin45sin45cos=22222222，任意選取雙曲線x2- y2=1 上的一點(diǎn) p（x0, y0） ，它在變換tm作用下變?yōu)?p( x0, y0), 則有 m00yx=

8、00yx，故)(22)(22000000yxyyxx, )(22)(22000000 xyyyxx，又因?yàn)辄c(diǎn) p在曲線 x2- y2=1 上，所以20 x-20y=1,即有 20 x0y =1. 所求的 c方程為 xy=21. 3. （2008徐州模擬） 已知 m =7321. （1）求逆矩陣m-1；（2）若矩陣 x 滿足 mx =11，試求矩陣x. 解（1）設(shè) m-1=dcba，依題意有dcba7321=1001，即dcdcbaba723723=1001，則, 172,03,072,13dcdcbaba1327dcbam-1=1327. （2）矩陣 x 滿足 mx =11，矩陣 x=m-11

9、1=132711=49. 4. （2008蘇州信息卷）已知矩陣 m =3113，求 m的特征值及屬于各特征值的一個(gè)特征向量. 解由3113=（-3）2-1=0 ，解得1=2, 2=4.設(shè)矩陣 m的特征向量為yx. 當(dāng)1=2 時(shí), 由 myx=2yx可得00yxyx, 可見， 1=11是 m的屬于1=2 的特征向量 . 當(dāng)2=4 時(shí)，由 myx=4yx可得 ,00yxyx, 可見， 2=11是 m的屬于2=4 的特征向量 . 回顧總結(jié)知識(shí)方法思想課后作業(yè)一、填空題1. 下列矩陣是二階單位矩陣的是 . 1001011000011000答案2. 將圓 x2+y2=1 在矩陣 a=ba00對(duì)應(yīng)的伸壓變

10、換下變成一個(gè)橢圓x2+42y=1，則 a+b= . 答案 3 3. 在矩陣1201對(duì)應(yīng)的變換下，點(diǎn)a（2，1）將會(huì)轉(zhuǎn)換成. 答案（2，5）4. 若直線 x-y-4=0 在矩陣 m =ba11對(duì)應(yīng)的變換作用下，把自己變?yōu)樽约?，則a, b 的值分別為 . 答案 0，2 5. 將點(diǎn)（ 2，4）先經(jīng)矩陣2001變換后，再繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90角所得的點(diǎn)坐標(biāo)為 . 答案（-8 ，2）6. 將坐標(biāo)平面上的一個(gè)圖形先將其橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2 倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，然后?duì)它做關(guān)于y軸對(duì)稱的變換，再將它做關(guān)于直線y=x 對(duì)稱的變換，則此平面變換所對(duì)應(yīng)的二階變換矩陣為 . 答案022107. 若矩陣 a=133

11、ba把直線 l :2 x+y-7=0 變換成另一直線l :9 x+y-91=0, 則 a= ,b= . 答案 0 -1 8. 矩陣 m =2321的所有特征向量為 . 答案k32和 k11， （k0）二、解答題9. 試求曲線 y=sin x 在矩陣 mn變換下的函數(shù)解析式，其中m =2001，n=10021. 解mn =200110021=20021，即在矩陣 mn變換下yxyx=yx221，則21y=sin2 x, 即曲線 y=sin x 在矩陣 mn變換下的函數(shù)解析式為y=2sin2 x. 10. 已知二階矩陣m有特征值=8 及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=11，并且矩陣 m對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（ -

12、1，2）變換成（ -2 ，4）. 求直線 l :x- y+1=0在矩陣 m的變換下的直線l 的方程 . 解設(shè) m =dcba，則dcba11=811=88，故.8,8dcbadcba21=42，故.42,22dcba聯(lián)立以上兩方程組解得a=6,b=2, c=4, d=4, 故 m =4426. 設(shè)點(diǎn)（ x，y）是直線 l 上的任一點(diǎn)，其在矩陣m的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y） ，則yx=4426yx=yxyx4426，即 x=41x-81y, y=-41x+83y, 代入直線 l 的方程后并化簡(jiǎn)得x- y+2=0, 即 x-y+2=0. 所以變換后的直線方程為x-y+2=0. 11. （2

13、008如東質(zhì)檢） 已知矩陣 a=111a，其中 ar，若點(diǎn) p （ 1，1）在矩陣 a的變換下得到點(diǎn)p（0，-3）. （1）求實(shí)數(shù) a 的值；（2）求矩陣 a 的特征值及特征向量. 解（1）由111a11=30得 a+1=-3a=-4. （2）由（ 1）知 a=1411則矩陣 a的特征多項(xiàng)式為f （）=1411=（-1 ）2-4=2-2-3 令 f ()=0, 得矩陣 a的特征值為 -1 或 3. 設(shè)矩陣 a 的特征向量為yx，當(dāng)=-1 時(shí)，1411yx=(-1) yx，即yyxxyx4, 所以 y=2x. 矩陣 a 的屬于特征值 -1 的一個(gè)特征向量為21. 當(dāng)=3 時(shí)，1411yx=3yx

14、, 即yyxxyx343, 所以 2x+y=0. 矩陣 a 的屬于特征值3 的一個(gè)特征向量為21. 12. （2008江蘇） 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，設(shè)橢圓4x2+y2=1在矩陣 a=1002對(duì)應(yīng)的變換下得到曲線f，求 f 的方程 . 解設(shè) p （x0, y0）是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)p（x0，y0）在矩陣 a 對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)p(0 x ,0y ), 則有00yx=100200yx，即,20000yyxx所以.,20000yyxx又因?yàn)辄c(diǎn) p在橢圓上，故420 x+20y=1, 從而 (0 x )2+(0y )2=1. 所以曲線 f的方程為 x2+y2=1. 13. 已知矩陣 a=3421

15、，求特征值及特征向量. 解矩陣 a的特征多項(xiàng)式為f ()=3421. 令 f ()=0, 即2-4-5=0, 得1=-1, 2=5, 所以矩陣 a的特征值為1=-1, 2=5. 將1=-1 代入二元一次方程組0) 3()4(0)2() 1(yxyx. ，即044022yxyx, 得 x=y, 它有無窮多個(gè)非零解xx, 其中 x0, 故11為矩陣屬于特征值=-1 的特征向量 . 同樣，將1=5 代入二元一次方程組，則024,024yxyx得 y=2x, 它有無窮多個(gè)非零解xx2，其中 x0, 故21為矩陣屬于特征值=5 的特征向量 . 14. 已知矩陣m有特征值1=4 及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=

16、32，并有特征值2=-1 及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2=11. （1）求矩陣 m ； （2）求 m2 008e2. 解（1）設(shè) m =dcba，則dcba32=432=128，故1232832dcba. 又dcba11=（-1 ）11=11，故11dcba. 聯(lián)立以上兩個(gè)方程組，解得 a=1,b=2,c=3,d=2,故 m =2321. （2）m2 008e2=20082e2=（-1）2 00811=11. 高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第十四編系列 4 選講總第 69 期14.1 矩陣與變換班級(jí)姓名等第基礎(chǔ)自測(cè)1.432114= . 2. 0211yx= . 3. 設(shè) a,br, 若矩陣 a=ba0

17、1把直線 l ：x+y-1=0 變成為直線m : x- y-2=0 ，則 a= ，b= . 4. 先將平面圖形作關(guān)于直線y=x 的反射變換，再將它的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼娜种?，則整個(gè)變換可以用矩陣表示為 . 5. 設(shè) a=4321，b=724k，若 ab=ba ，則 k= . 例題精講例 1已知變換 t 把平面上的點(diǎn)a（2，0） ，b（3，1）分別變換成點(diǎn)a (2,1),b(3,2) ，試求變換t 對(duì)應(yīng)的矩陣 m . 例 2已知 o（0，0） ，a（2，1） ，o，a，b，c依逆時(shí)針方向構(gòu)成正方形的四個(gè)頂點(diǎn). （1）求 b，c 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）把正方形 oabc 繞點(diǎn)

18、a按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45得到正方形abco ，求 b，c ，o 三點(diǎn)的坐標(biāo) . 例 3試從幾何變換的角度求ab的逆矩陣 . （1）a=1002，b=4001； （2）a=0110，b=0110. 例 4 已知二階矩陣m有特征值=8 及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=11，并且矩陣m對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1 ，2）變換成（ -2 ，4）. （1）求矩陣 m ；（2）求矩陣 m的另一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系. 鞏固練習(xí)1. 二階矩陣 m對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，-1）與（ -2，1）分別變換成點(diǎn)（-1 ，-1 ）與（ 0，-2）. （1）求矩陣 m ；（2）設(shè)直線 l 在變換 m作用下得到了直

19、線m :x- y=4,求 l 的方程 . 2. 將雙曲線 c：x2-y2=1 上點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，得到新圖形c，試求 c的方程 . 3. 已知 m =7321. （1）求逆矩陣m-1； （2）若矩陣 x 滿足 mx =11，試求矩陣x. 4. 已知矩陣 m =3113，求 m的特征值及屬于各特征值的一個(gè)特征向量. 回顧總結(jié)知識(shí)方法思想高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)作業(yè)第十四編系列 4 選講總第 69 期14.1 矩陣與變換班級(jí)姓名等第一、填空題1. 下列矩陣是二階單位矩陣的是 . 10010110000110002. 將圓 x2+y2=1 在矩陣 a=ba00對(duì)應(yīng)的伸壓變換下變成一個(gè)橢圓x2+4

20、2y=1，則 a+b= . 3. 在矩陣1201對(duì)應(yīng)的變換下，點(diǎn)a（2，1）將會(huì)轉(zhuǎn)換成. 4. 若直線 x-y-4=0 在矩陣 m =ba11對(duì)應(yīng)的變換作用下，把自己變?yōu)樽约?，則a, b 的值分別為 . 5. 將點(diǎn)（ 2，4）先經(jīng)矩陣2001變換后，再繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90角所得的點(diǎn)坐標(biāo)為 . 6. 將坐標(biāo)平面上的一個(gè)圖形先將其橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2 倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，然后?duì)它做關(guān)于y軸對(duì)稱的變換，再將它做關(guān)于直線y=x 對(duì)稱的變換，則此平面變換所對(duì)應(yīng)的二階變換矩陣為 . 7. 若矩陣 a=133ba把直線 l :2 x+y-7=0 變換成另一直線l :9 x+y-91=0, 則 a= ,

21、b= . 8. 矩陣 m =2321的所有特征向量為 . 二、解答題9. 試求曲線 y=sin x 在矩陣 mn變換下的函數(shù)解析式，其中m =2001，n=10021. 10. 已知二階矩陣m有特征值=8 及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=11，并且矩陣 m對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（ -1，2）變換成（ -2 ，4）. 求直線 l :x- y+1=0在矩陣 m的變換下的直線l 的方程 . 11. 已知矩陣 a=111a，其中 ar，若點(diǎn) p（1，1）在矩陣 a的變換下得到點(diǎn)p（ 0，-3 ）. （1）求實(shí)數(shù) a 的值；（2）求矩陣 a 的特征值及特征向量. 12. 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，設(shè)橢圓4x2+y2

22、=1 在矩陣 a=1002對(duì)應(yīng)的變換下得到曲線f，求 f 的方程 . 13. 已知矩陣 a=3421，求特征值及特征向量. 14. 已知矩陣m有特征值1=4 及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=32，并有特征值2=-1 及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2=11. （1）求矩陣 m ； （2）求 m2 008e2. 高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教案第十四編系列 4 選講總第 70 期14.2 坐標(biāo)系與參數(shù)方程基礎(chǔ)自測(cè)1. 曲線的極坐標(biāo)方程=4sin化為直角坐標(biāo)方程為 . 答案 x2+(y-2)2=4 2. 直線tytx2221(t 為參數(shù) ) 上到點(diǎn) a（1，2）的距離為42 的點(diǎn)的坐標(biāo)為 . 答案（-3 ，6）或（ 5

23、，-2）3. 過點(diǎn)a（2，3）的直線的參數(shù)方程tytx232（t 為參數(shù)），若此直線與直線x- y+3=0 相交于點(diǎn)b，則| ab|= . 答案 254. 直線tytx12( t 為參數(shù) ) 被圓（ x-3）2+( y+1)2=25 所截得的弦長(zhǎng)為 . 答案825. 若直線 x+y=m與圓sincosmymx(為參數(shù)， m 0)相切，則 m為 . 答案 2 例題精講例 1將極坐標(biāo)方程sin=31化為直角坐標(biāo)方程，并說明該方程表示什么曲線. 解由 sin=y,=22yx, 得 sin=y=22yxy=31.則 y0, 平方得 x2+y2=9y2, 即 y2=81x2, y=88x, 因此，它表示

24、端點(diǎn)除外的兩條射線： y =88x ( x0)和 y=-88x(x0). 例 2在極坐標(biāo)系中，求過點(diǎn)a6,6，并且平行于極軸的直線l 的極坐標(biāo)方程 . 解如圖所示，設(shè)m （，）為直線 l 上的任意一點(diǎn)，則om =, moc =. 過點(diǎn) a，m作極軸的垂線ab ，mc交極軸與 b，c兩點(diǎn). l ox， mc =ab . 則 oa =6， aob =6. 所以 mc =ab=3.由 sin=ommc=3,得sin=3. 所以sin=3 為所求的直線l 的極坐標(biāo)方程 . 例 3把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線：（1）tytx232,211（t 為參數(shù)）； （2）tytx2,12（

25、t 為參數(shù)）；（3）ttyttx1,1（t 為參數(shù)）； （4）cos5sin4yx（為參數(shù)） . 解（1）由 x=1+21t 得， t =2x-2. y=2+23(2x-2). 3 x- y+2-3 =0,此方程表示直線. （2）由 y=2+t 得, t =y-2 ，x=1+（y-2）2. 即( y-2)2=x-1, 方程表示拋物線. （3）由ttyttx112- 2得， x2- y2=4, 方程表示雙曲線 . （4）cos5sin4yx, 得5cos4sinyx2+2，得251622yx=1 表示橢圓 . 例 4（2008鹽城調(diào)研）（10 分）求直線tytx531541（t 為參數(shù)）被曲線=

26、2 cos4所截的弦長(zhǎng) . 解： 將方程tytx531541=2 cos4分別化為普通方程：3x+4y+1=0, x2+y2- x+y=0, 5分圓心 c21,21半徑為22，圓心到直線的距離d=101, 弦長(zhǎng) =222dr=2100121=57. 10分鞏固練習(xí)1. 在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)m3, 2、n（2，0） 、p6,32. （1）將 m 、n、p三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；（2）判斷 m 、n、p 三點(diǎn)是否在一條直線上. 解（1）由公式sincosyx，得 m的直角坐標(biāo)為 (1,-3 );n的直角坐標(biāo)為（ 2，0） ；p 的直角坐標(biāo)為（ 3，3 ）. （2） kmn=123=3 ，knp

27、=2303=3 . kmn=knp，m 、n、p三點(diǎn)在一條直線上. 2. 求圓心在 a6,a（a0） ，半徑為a 的圓的極坐標(biāo)方程. 解如圖所示，設(shè)m （，）為圓上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)o ， b除外） ，則 om =， mox =. 連結(jié) bm ，ob =2a， mob =-6. 在直角三角形obm 中，cosmob =obom=a2=cos（-6） ，即=2acos(-6).(*) 經(jīng)檢驗(yàn)， o （0，32） ，b（2a，6）滿足方程（ *） ，所以=2acos（-6）為所求的圓的極坐標(biāo)方程. 3. （2008栟茶模擬） 將參數(shù)方程2cos4,sin32yx(為參數(shù) ) 化為普通方程，并指出它表示

28、的曲線. 解y=4cos2=4-8sin2, 由 x=3sin2, 得 sin2=3x. y=4-38x，即 8x+3y-12=0. x=3sin20，所求普通方程為8x+3y-12=0 (x0). 它表示一條射線. 4. 已知經(jīng)過點(diǎn)m （-1 ，1） ，傾斜角為4的直線 l 和橢圓2422yx=1 交于 a，b兩點(diǎn)，求線段ab的長(zhǎng)度及點(diǎn)m （-1 ，1）到 a，b 兩點(diǎn)的距離之積 . 解直線 l 的參數(shù)方程為tytx221,221( t 為參數(shù) ) ，代入橢圓的方程，得2221422122tt=1. 即 3t2+22 t -2=0, 解得 t1=-2 , t2=32. 所以，由參數(shù)t 的幾何

29、意義，得| ab|=| t1- t2|=322=324,| ma | | mb |=| t1t2|=32. 回顧總結(jié)知識(shí)方法思想課后作業(yè)一、填空題1. 已知點(diǎn) p（x, y）在曲線sincos2yx(為參數(shù) ) 上，則xy的取值范圍為 . 答案33,332. 已知直線 l 經(jīng)過點(diǎn) p（1，1） ，傾斜角=6，直線 l 的參數(shù)方程為 . 答案tytx2112313. 極坐標(biāo)系中，圓=10cos3的圓心坐標(biāo)為 . 答案3,54. 點(diǎn) p的直角坐標(biāo)為 (1,-3 ), 則點(diǎn) p 的極坐標(biāo)為 . 答案（2，-3）5. 已知曲線的參數(shù)方程為sincos00tyytxx,分別以 t 和為參數(shù)得到兩條不同的

30、曲線, 這兩條曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為 . 答案 2或 1 6. 已知 2x2+3y2-6x=0 （x,yr ） ，則 x2+y2的最大值為 . 答案 9 7. 從極點(diǎn) o作直線與另一直線l cos=4 相交于點(diǎn) m ，在 om上取一點(diǎn) p ，使 om op =12，則點(diǎn) p的軌跡方程為 . 答案=3cos8. 過點(diǎn) p0 ,210作傾斜角為的直線與曲線x2+2y2=1 交于 m ，n，則| pm | | pn | 的最小值為 . 答案43二、解答題9.（2008江蘇， 21）在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，設(shè) p( x, y) 是橢圓32x+y2=1 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求s =x+y 的最大值 . 解由橢圓

31、32x+y2=1 的參數(shù)方程為sincos3yx(為參數(shù) ) ，可設(shè)動(dòng)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（3 cos,sin）, 其中 02. 因此， s=x+y=3 cos+sin=2sin21cos23=2sin （+3）. 所以當(dāng)=6時(shí)， s取得最大值2. 10. （2008寧夏， 23）已知曲線 c1：,sin,cosyx(為參數(shù) ) ，曲線 c2：.22,222tytx( t 為參數(shù) ). （1）指出 c1，c2各是什么曲線，并說明c1與 c2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若把c1，c2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來的一半，分別得到曲線1c ,2c. 寫出1c ,2c 的參數(shù)方程 .1c與2c 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和c1與

32、 c2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同?說明你的理由 . 解 (1)c1是圓 , c2是直線 . c1的普通方程為x2+y2=1, 圓心 c1(0,0),半徑 r =1. c2的普通方程為x-y+2 =0. 因?yàn)閳A心 c1到直線 x- y+2 =0 的距離為 1, 所以 c2與 c1只有一個(gè)公共點(diǎn) . (2) 壓縮后的參數(shù)方程分別為1c : ,sin21,cosyx(為參數(shù) ),2c: tytx42,222( t 為參數(shù) ), 化為普通方程為1c : x2+4y2=1,2c: y=21x+22, 聯(lián)立消元得2x2+22 x+1=0, 其判別式 =(22 )2-421=0, 所以壓縮后的直線2c與橢圓1c

33、仍然只有一個(gè)公共點(diǎn), 和 c1與 c2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同. 11. （2008江蘇信息卷）經(jīng)過曲線 c：sin3,cos33yx(為參數(shù) ) 的中心作直線l :tytx33（t 為參數(shù)）的垂線，求中心到垂足的距離. 解由曲線 c的參數(shù)方程sin3,cos33yx消去參數(shù)，得 ( x-3)2+y2=9. 曲線 c 表示以（ 3，0）為圓心， 3 為半徑的圓 . 由直線 l 的參數(shù)方程tytx33, 消去參數(shù) t , 得 y=33x. 表示經(jīng)過原點(diǎn)，傾斜角為 30的直線 . 如圖 , 在直角三角形ocd 中， oc =3， cod =30，所以 cd =23. 所以中心到垂足的距離為23. 12.

34、求圓心為 a（2，0） ，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程. 解如圖所示，設(shè)m （，）為圓上的任意一點(diǎn)（點(diǎn) o，b除外） ，則 om =， mox =. 連結(jié) bm ，在直角三角形obm 中，cos=obom=4，即=4cos. （* ）經(jīng)檢驗(yàn)， o（0，2） ，b（4，0）滿足方程（ * ） ，所以=4cos為所求的圓的極坐標(biāo)方程. 13. o1和 o2的極坐標(biāo)方程分別為=4cos,=-4sin. (1) 把o1和 o2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求經(jīng)過 o1， o2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程. 解以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x 軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位. （1）x=

35、cos, y=sin, 由=4cos, 得2=4cos. 所以 x2+y2=4x. 即 x2+y2-4 x=0 為o1的直角坐標(biāo)方程. 同理 x2+y2+4y=0 為 o2的直角坐標(biāo)方程 . （2）由,04,042222yyxxyx解得,0,011yx或. 2,222yx即 o1， o2交于點(diǎn)（ 0，0）和（ 2，-2 ）. 過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-x. 14. 設(shè)點(diǎn) o為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l :tytx22422( 參數(shù) t r）與曲線 c：442yx（參數(shù)r）交于a，b 兩點(diǎn). （1）求直線 l 與曲線 c的直角坐標(biāo)方程；（2）求證： oa ob . （1）解直線 l 的普通方程為：

36、 x- y-4=0. 曲線 c的普通方程為： y2=4x. （2）證明設(shè) a（x1, y1）,b( x2, y2), 由,4,42xyxy消去 y, 得 x2-12 x+16=0, x1+x2=12, x1x2=16, koakob=2121xxyy=2121)4)(4(xxxx=21212116)(4xxxxxx=-1, oa ob . 高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第十四編系列 4 選講總第 70 期14.2 坐標(biāo)系與參數(shù)方程班級(jí)姓名等第基礎(chǔ)自測(cè)1. 曲線的極坐標(biāo)方程=4sin化為直角坐標(biāo)方程為 . 2. 直線tytx2221(t 為參數(shù) ) 上到點(diǎn) a（1，2）的距離為42 的點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

37、 3. 過點(diǎn)a（2，3）的直線的參數(shù)方程tytx232（t 為參數(shù)），若此直線與直線x- y+3=0 相交于點(diǎn)b，則| ab|= . 4. 直線tytx12( t 為參數(shù) ) 被圓（ x-3）2+( y+1)2=25 所截得的弦長(zhǎng)為 . 5. 若直線 x+y=m與圓sincosmymx(為參數(shù)， m 0)相切，則 m為 . 例題精講例 1將極坐標(biāo)方程sin=31化為直角坐標(biāo)方程，并說明該方程表示什么曲線. 例 2在極坐標(biāo)系中，求過點(diǎn)a6,6，并且平行于極軸的直線l 的極坐標(biāo)方程 . 例 3把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線：（1）tytx232,211（t 為參數(shù)）； （2）tytx2,12（t 為參數(shù)）； （3）ttyttx1,1（t 為參數(shù)）；（4）cos5sin4yx（為參數(shù)） . 例 4 求直線tytx531541（t 為參數(shù)）被曲線=2 cos4所截的弦長(zhǎng) . 鞏