恒成立能成立問題總結(jié)詳細(xì)

1、恒成立問題的類型和能成立問題及方法處理函數(shù)與不等式的恒成立、能成立、恰成立問題是高中數(shù)學(xué)中的一個重點(diǎn)、難點(diǎn)問題。 這類問題在各類考試以及高考中都屢見不鮮。感覺題型變化無常，沒有一個固定的思想 方法去處理，一直困擾著學(xué)生，感到不知如何下手。在此為了更好的準(zhǔn)確地把握快速解 決這類問題，本文通過舉例說明這類問題的一些常規(guī)處理。一、函數(shù)法(一)構(gòu)造一次函數(shù)利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性來解決對于一次函數(shù) f(x) kx b(k 0), x m, n有:例1若不等式2x 1 mx2 m對滿足 2 m 2的所有m都成立，求x的范圍。.,2解析：將不等式化為：m(x 1) (2x 1) 0 ,構(gòu)造一次型函數(shù)：g

2、(m) (x2 1)m (2x 1)原命題等價于對滿足2 m 2的m,使g(m) 0恒成立。由函數(shù)圖象是一條線段，知應(yīng)1713解得x 22g( 2) 02(x2 1) (2x 1) 0g(2) 02( x2 1) (2x 1) 0L , E1、.7 13,所以x的范圍是x (,)。22小結(jié)：解題的關(guān)鍵是將看來是解關(guān)于x的不等式問題轉(zhuǎn)化為以 m為變量，x為參數(shù)的一次函數(shù)恒成立問題，再利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性解題。練習(xí)：(1)若不等式ax 1 0對x 1,2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。(2)對于0 p 4的一切實(shí)數(shù)，不等式x2 px 4x p 3恒成立，求x的 取值范圍。(答案：|犬)3或工亡-

3、1)(二)構(gòu)造二次函數(shù)利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及二次方程根的分布來解決。對于二次函數(shù)f(x)2ax bx c 0(a 0)有:(1)f (x)0在xR上恒成立a0且0；(2)f (x)0在xR上恒成立a0且0(3)當(dāng)a 0時，若f (x) 0在,上恒成立若f(x) 0在,上恒成立f( ) 0f( ) 0(4)當(dāng)a 0時，若f(x) 0在,上恒成立f( ) 0f( ) 0若f(x) 0在,上恒成立bbb2a或 2a或 2af( )00f( )0例2若關(guān)于x的二次不等式：ax2 (a 1)x a 10的解集為R ,求a的取值范圍解：由題意知，要使原不等式的解集為R,即對一切實(shí)數(shù)x原不等式都成立。a

4、 0只須a 03a2 2a 1 0a 02(a 1)2 4a(a 1) 01，-一1. a的取值范圍是3說明：1、本題若無“二次不等式”的條件，還應(yīng)考慮a 0的情況，但對本題講a 0 時式子不恒成立。2、只有定義在 R上的恒二次不等式才能實(shí)施判別式法；否則，易造成失解。練習(xí)：1、已知函數(shù)y v mx2 6mx m 8的定義域?yàn)?R,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。（答案0 m 1）2 、已知函數(shù)f（x） x2 2kx 2在（1, Hf（x） k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。（答案3 k 1）提示：構(gòu)造一個新函數(shù)F（x） f（x） k是解題的關(guān) 鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問題得到圓滿解決。（

5、三）、利用函數(shù)的最值- 分離參數(shù)法或值域法若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊即分離參變量，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。注意參數(shù)的端點(diǎn)值能否取到需檢驗(yàn)。類型一：、（恒成立）(1) x D, f (x)m恒成立f(x)min m；(2) x D, f (x)m恒成立m f(x)max；二、（能成立、有解）：(1) x D, f (x)m能成立mf(x)在 D 內(nèi)有解 f (x)maxm；(2) x D,f(x) m 能成立 m f(x)在 D 內(nèi)有解 mf(x)min；三、(恰成立)(

6、1)不等式f xA在區(qū)間D上恰成立(2)不等式f xB在區(qū)間D上恰成立不等式f xA的解集為D ;不等式f x B的解集為D .四、(方程有解)方程m f (x)在某個區(qū)間上有解，只需求出f(x)在區(qū)間上的值域A使m A。例3：設(shè)f (x)lgx x1 2 a43如果x (.1)時，f(x)恒有意義，求a的取值范圍。解：如果x (.1)時，f(x)恒有意義不等式1 2x a4x 0對x (,1)恒成立 a1 2x4x(2 x 2 2x), x (.1)恒成立。21令t 2 , g(t) (t t),又x (，則t(2,)a g(t)又t (1, 213g(t)maxg()24例4 :若關(guān)于x的

7、不等式x2、，八八，、，J、一 一，)恒成立，又Qg(t)在t 一,)上為減函數(shù)，23 a -4ax a 3的解集不是空集，則實(shí)數(shù) a的取值范圍。解： 設(shè)f(x) x2 ax a .則關(guān)于x的不等 式x2 ax a 3的解集 不是空 集f (x)3在R上能成立f (x)min 3,4a a2即 f(x)min 3,解得 a6或a 24例5不等式kx2 k 2 0有解，求k的取值范圍。222解：不等式kx k 2 。有解 k(x 1) 2能成立 k 能成立x 1.,2k()max2,所以 k (,2)。x 1例6 (2008年上海)已知函數(shù) f( x) = 2x 熱不等式2t f( 2t)+ m

8、 f( t) > 0對于t C 1, 2恒 成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：本題可通過變量分離來解決.1,1當(dāng) t 1,2時，2t (22t 1) m(2t -1) 0'22t2t 2t4t2t2t即 m(21)(21), 21 0, . m (21)-t 1,2, . (22t 1) 17, 5故m的取值范圍是5,)1x 2x 3x(n 1)xnxa例 7 (1990 年全國)設(shè) f (x)lg12一3(n-J)一n-a ,其中 a 為實(shí)數(shù)，nn為任意給定的自然數(shù)，且 n 2 ,如果f (x)當(dāng)x (,1時有意義，求a的取值范圍.解：本題即為對于x (, 1,有1x 2x (n 1

9、)x nxa 0恒成立.這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a1 x 2 x n 1 x分離出來，得a(一)x (-)x( )x(n 2),對于x (, 1恒成立.n nn1 v 2 Vn 1 V構(gòu)造函數(shù)g(x) (-)(-)(),則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)在n nnx (, 1上的值域，由于函數(shù)u(x)(-)x(k 1,2, n 1)在nx (, 1上是單調(diào)增函數(shù)， 一，一，1則g(x)在(，1上為單調(diào)增函數(shù).于是有g(shù)(x)的最大值為g(1)-(n 1),21 1從而可得a -(n 1). 2如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題 ，我們可以通

10、過習(xí)題的實(shí)際，采 取合理有效的方法進(jìn)行求解 ，通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的 配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f (x)的最值.類型二：“ f x g(x) ” 型L例 8 已知 f(x)=亍lg(x+1) , g(x)=lg(2x+t),若當(dāng) xC0,1時，f(x) wg(x)恒成立, 求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解f(x) <g(x)在x 0,1恒成立，即屈1-2"在x 0,1恒成立=在0,1上的最大值小于或等于零ui/ *1 n 1 4右斗1F rx) " -,- 2 -力西十I 2 Jr +1 x0,1, F'

11、(x) v 0,即F(x)在0,1上單調(diào)遞減，F(xiàn)(0)是最大值. .f(x) < F(0)=1 -t<0,即 t >1.類型三：“f x1g(x2)”型(恒成立和能成立交叉)：(1)x1D, x2 E, f(x。 g(X2)成立f(x1)ming%)f(X)ming(x2) f(X)min g(x)min ；例9已知兩個函數(shù)f(x) 8x2 16x k, g(x) 2x3 5x2 4x ,其中k為實(shí)數(shù)。(1)對任意x 3,3 ,都有f (x) g(x)成立，求k的取值范圍；(3)對任意x1, x2存在x 3,3 ,使f (x) g(x)成立，求k的取值范圍；3,3 ,都有f

12、(x1) g (x2),求k的取值范圍。解析：(1)設(shè) h(x) g(x) f(x) 2x3 3x2 12x k 問題轉(zhuǎn)化為 x 3,3 時，h(x) 0恒成立，故 h(x)min 0。令 h'(x) 6x2 6x 12 0,得 x1或x 2。由 h( 1) 7 k,h(2)20 k,h( 3) k 45,h(3) k 9,故h屋口所 45 k由 k 45 0 k 45。(2)據(jù)題意：存在 x 3,3 ,使 f (x) g(x)成立 h(x) g(x) f (x) 0 在x 3,3 有解，故 h(x)max 0 ,由(1)知 h(x)max k 7 ,于是得 k 7。(3)分析：它與(

13、1)問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別。對任意Xi,X23,3 ,都有f (x1) g(x2)成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x1,x2的取值在f (x)max3,3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要條件是：g ( x) min , x3,3,'由 g (x)八 22 一一6x10x 4 0,得 x1或x，易得 g(x)min g( 3)21 ,又 f (x)38( x 1)2 8 k , x 3,3 .故 f(x)max f (3) 120 k，令120 k 21 k 141。1a例10： (2010山東)已知函數(shù) f(x) ln x ax 1 (a R).

14、 x1(i )當(dāng)a 時，討論f(x)的單調(diào)性；22 一.1,(n)設(shè)g(x) x 2bx 4.當(dāng)a 時，若對任意 x1 (0,2),存在x21,2 ,使4f (xi) g(x2),求實(shí)數(shù)b取值范圍.解析：(i)當(dāng)a 0時，函數(shù)f (x)在(0,1)單調(diào)遞減，(1,)單調(diào)遞增；1. , . _ ,、 一 ，、當(dāng)a 一時Xi x2 , h(x) 0恒成立，此時f (x) 0 ,函數(shù)f (x)在 2(0,)單調(diào)遞減；一 1. . . 1.當(dāng)0 a 時，函數(shù)f (x)在(0,1)單調(diào)遞減，(1- 1)單調(diào)遞增，2a1(1,)單調(diào)遞減. a-1. (n)當(dāng)a 時，f(x)在(0, 1)上是減函數(shù)，在(1

15、, 2)上是增函數(shù)，41 所以對任意 x1 (0,2),有 f(x1)f(1)-,21又已知存在 X21,2，使 f(X1) g(X2),所以 一g(X2),X21,2 4)2又 g(X) (x b)2 4 b2,X 1,2當(dāng) b 1 時，g(x)min g(1) 5 2b 0 與(X)矛盾；當(dāng) b 1,2 時，g(x)min g(1) 4 b2 0 也與(X)矛盾；1 17b 2時,g(x)min g(2)8 4b -,b -.2 8一 ，一一 17綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是17).8，t (xj = K - K -Jk + ,= 例11已知函數(shù)33若 若若對任意 必，X2C-2,2,者B有f

16、(x 1) V g(x 2),求 c 的范圍.解 因?yàn)閷θ我獾腦1, X2C-2,2,都有f(x 1)vg(X2)成立，. f(X)max<C g(x) min. ,f ' (x)=x 2-2x-3 ,令 f ' (x) > 0 得 x>3 或 xv-1 ; f ' (x) v 0 得-1 VXV3. .f(x)在-2,-1為增函數(shù)，在-1,2為減函數(shù). f( -1)=3 , f(2)=-6 ,仆小 f(x)ma)=3. 上. .c< -24.類型四：“ f(X1)f Xf(X2)” 型f -2 eiiM； + 例12:已知函數(shù).23,若對任意x

17、CR,都有f(x 1) <f(x) <f(x 2)成立，則|x 1-X 2|的最小值為 .解.對任意xCR,不等式f(x i)Wf(x) Wf(x 2)恒成立,f(x 1), f(x 2)分別是f(x)的最小值和最大值對于函數(shù)y=sinx ,取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是兀，即半個周期又函數(shù) .|x i-x2|的最小值為2.類型五：: 例 13 (2005 湖北)在 y=2x, y=log 2x, y=x2, y=cosx 這四個函數(shù)中，當(dāng) 0vxivx2<1 時,f (- 1 +乂2)； FQ1)斗，(丈2)使 23恒成立的函數(shù)的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3解

18、 本題實(shí)質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件，-'2的函數(shù),應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知y=log2x符合題意.類型六：.“"叮>0”型 例14已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)?1,1 , f(1)=1 ,若m, nC-1,1 , m+nO時，都有m-m ，若 f(x) wt2-2at+1 對所有 xC -1,1 , a。-1,1恒成立，求實(shí)數(shù) t 的 取值范圍.解任取-IWxiVXzWI,f(6k)與黨心町一切股0一%由已知 乂1一*2>0,又 X1-X 2< 0, f(X 1)-f(X 2) <0,即f(x)在-1,1上為增函數(shù). f(1)=1 ,. -x

19、-1,1，恒有 f(x) <1. .要使 f(x) w2at+1 對所有 xC-1,1 , aC-1,1恒成立，即要 t2-2at+1>l 恒 成立，故t2-2at >0恒成立.令 g(a尸t 2-2at ,只須 g(- 1) >0 且 g(1) >0,解得t W-2或t=0或t >2.評注形如不等式“ 片7口>0”或“町一心0”恒成立，實(shí)際上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表現(xiàn)形式，在解題時要注意此種類型不等式所蘊(yùn)涵的重要信息.類型七："|f(x 1)vf(x 2)| vt(t為常數(shù))”型£例 15 已知函數(shù) f(x)=-x 4+2x3,則

20、對任意 t1,t2 c -2，2(t Kt都有 |f(x 1)-f(x 2)| <恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)t產(chǎn), t2=時取等號.解 因?yàn)?|f(x 1)-f(x 2)1 W|f(x)maHf(x)min| 恒成立,2716由 ' ',xC -，2,易求得國)向=f (-3=一1 110. |f(x i)-f(x 2) <2.類型八："|f(x i)-f(x 2)| < |x 1-X2I”型£例 16 已知函數(shù) f(x)=x 3+ax+b,對于 xi,x 2 (0, 3 )(x 1x2)時總有 |f(x i)-f(x 2)| <|x i-x

21、2|成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.解由 f(x)=x 3+ax+b,得 f' (x)=3x 2+a,且當(dāng) xC(0, 3)時，av(x) v 1+a.1 |f(x i)-f(x 2)| < |x i-x 2| , 一盯；)一代工2)卜. 町一 ”,(AL1 +應(yīng),.-iwawo.評注由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)y=f(x)圖像上任意兩點(diǎn)P(xi,yi),Q(x2,y2)連線的斜率 "3 一%(x iWx 2)的取值范圍，就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率 (如果有的話)的范 圍，利用這個結(jié)論，可以解決形如 |f(x i)-f(x 2)| wm|xi-x2| 或|f(x i)-f(x 2)

22、| >m|xi-x2|(m > 0)型的不等式恒成立問題.(四)數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：數(shù)數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微” ，這充分說明了數(shù)形結(jié)合 思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系， 象法求解。對一些不能把數(shù)放在一側(cè)的,可以利用構(gòu)造對應(yīng)兩個函數(shù)的圖f(x)g(x)函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方;2)f(x)g(x)函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下上方。例17已知a0,a1, f(x)2 xx a ,*x1(1,1)時，有f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a2的取值范圍。解析：由f(x)ax,構(gòu)造出兩個函數(shù)并在同一

23、直角坐標(biāo)系中作出它們的圖象如果兩個函數(shù)分別在x 1和x1處相交，則由21 R 2112 a及(1)21得到a分別等于2和Y1 V0.5,并作出函數(shù)y 2、及丫 ()x 2的圖象，所以，要想使函數(shù)ax在區(qū)間1,1)中恒成立，只須y2x在區(qū)x ( 1,1)對應(yīng)的圖象在1 -、在區(qū)間21,1)對應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)1時，只有a 2才能1時,只有a 1才可以，所以212,1) (1,2。18 設(shè) f (x) x x2 4x ,，、4g(x) 3xa,若恒有f (x) g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.g(x)的圖象是平行的直線系 4x要使f(x) g(x)恒成立,則圓心(2,0)到直線4x 3y分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出如圖所示，f(x)的圖象是半圓滿足 d8 3 3a5一一 .5解得a5或a (舍去)3練習(xí)：若對任意X R,不等式ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。練習(xí):1、已知二次函數(shù)滿足f (0) 1 ,而且f(x 1) f (x) 2x,請解決下列問題(1) 求二次函數(shù)的解析式。f(x) x2 x(2) 若f(x)(3) 若f(x)(4) 若f(x)2x m在區(qū)間1,1上恒成立2x m在區(qū)間1,1上恒成立2x m在區(qū)間1,1上有解，2、已知函數(shù)f xx2 a (x