實變函數(shù)復習題

1、邢臺學院數(shù)學系實變函數(shù)復習手冊前言本課程是數(shù)學專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程，在數(shù)學教學中具有承上啟下的作用。通過本課程的學習，希望學生能夠掌握集合之間的一些基本運算，點集的一些性質(zhì)，測度、可測函數(shù)及L積分的定義及性質(zhì)；熟悉并會運用積分序列的極限定理。為以后學習其他課程打下良好的基礎(chǔ)。第一章 集合本章討論了集合的基本性質(zhì)及運算，主要討論了可數(shù)集及不可數(shù)集的性質(zhì)及基數(shù)的定義。為以后引入L積分打下了基礎(chǔ)。§1 集合的概念理解集合的性質(zhì)、集合與元素的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系。§2 集合的運算深刻理解并集或合集、交集或積集、差集、余集、集合列的上下極限的定義，并且會求。§3 對等

2、與基數(shù)1、掌握有限集、無限集、一一映射、對等的定義；會建立常見集合間的對等關(guān)系；了解對等的性質(zhì)。2、了解基數(shù)概念，會比較兩個集的基數(shù)大小。§4 可數(shù)集合與自然數(shù)集合N對等的集合稱為可數(shù)集合。1、任何無限集包含一個可數(shù)子集。2、若A是一個可數(shù)集合，B是一個有限集合，則是可數(shù)集合。3、有限個或可數(shù)個可數(shù)集合的并集是可數(shù)集合。4、有理數(shù)全體是一可數(shù)集，代數(shù)數(shù)全體是一可數(shù)集。§5 不可數(shù)集合1、實數(shù)集全體R不是可數(shù)集。其基數(shù)記為c，稱與R對等的集合具有連續(xù)基數(shù)。2、任何區(qū)間具有連續(xù)基數(shù)，可數(shù)個c集的并是c集，實數(shù)列全體的基數(shù)是c。3、不存在基數(shù)最大的集合，也不存在最大基數(shù)。練習題一

3、、選擇題：1、下列對象不能構(gòu)成集合的是（ ）A、全體自然數(shù) B、0,1之間的實數(shù)全體 C、上的實函數(shù)全體 D、全體大個子2、下列對象不能構(gòu)成集合的是（ ）A、全體實數(shù) B、全體整數(shù) C、全體小個子 D、3、下列對象不能構(gòu)成集合的是（ ）A、全體實數(shù) B、全體整數(shù) C、 D、全體胖子4、下列對象不能構(gòu)成集合的是（ ）A、全體實數(shù) B、全體整數(shù) C、 D、全體瘦子5、下列對象不能構(gòu)成集合的是（ ）A、全體小孩子 B、全體整數(shù) C、 D、全體實數(shù)6、下列對象不能構(gòu)成集合的是（ ）A、全體實數(shù) B、全體大人 C、 D、全體整數(shù)7、設(shè)，為全體實數(shù)，則（ ）A、 B、 C、 D、8、設(shè)，則（ ）A、 B、

4、 C、 D、9、設(shè)，則（ ）A、 B、 C、 D、10、設(shè)，則（ ）A、 B、 C、 D、11、設(shè)，（ ）A、 B、 C、 D、12、設(shè)，（ ）A、 B、 C、 D、13、設(shè)，則（ ）A、 B、 C、 D、14、設(shè)，則（ ）A、 B、 C、 D、15、設(shè)，則（ ）A、 B、 C、 D、16、設(shè)，則（ ）A、 B、 C、 D、17、設(shè)，則（ ）A、 B、 C、 D、18、設(shè)，則（ ）A、 B、 C、 D、19、設(shè)A、B、C是三個集合，則（ ）A、B B、A C、 D、20、設(shè)A、B、C是三個集合，則（ ）A、 B、 C、 D、21、設(shè)A、B、C是三個集合，則（ ）A、 B、 C、 D、22、設(shè)A

5、、B、S是三個集合，且，則（ ）A、 B、 C、 D、23、設(shè)A、B、S是三個集合，（ ）A、 B、 C、 D、24、設(shè)A、B、C是三個集合，則（ ）A、 B、 C、 D、二、選擇題1、設(shè)A為一集合，B是A的所有子集構(gòu)成的集合，若，則 2、設(shè)A為一集合，B是A的所有子集構(gòu)成的集合，若A是一可數(shù)集，則 3、若，則 4、若，B是一可數(shù)集，則 5、若，則 6、若是一集合列，且， 7、若是任意集族，其中I是指標集，則 8、若是任意集族，其中I是指標集，則 9、若是任意集族，其中I是指標集，S是一集合，則 10、若是任意集族，其中I是指標集，S是一集合，則 11、若是任意一個集合列，則 12、若是任意一

6、個集合列，則 三、判斷題（ ）1、。（ ）2、任意兩個集合A、B，都有，或。（ ）3、任意集合都有子集。（ ）4、。（ ）5、。（ ）6、。四、簡答題1、構(gòu)造自然數(shù)全體到偶數(shù)全體的一一映射。2、構(gòu)造到R的一一映射。3、構(gòu)造到的一一映射。4、構(gòu)造能被3整數(shù)整除的正整數(shù)到正整數(shù)全體的一一映射。5、構(gòu)造到的一一映射。6、構(gòu)造奇數(shù)全體到偶數(shù)全體的一一映射。五、證明題1、任意無窮集合包含一可數(shù)子集。2、若A是一個可數(shù)集合，B是一個有限集合，則是可數(shù)集。3、若A和B都是可數(shù)集合，則是可數(shù)集。4、有理數(shù)全體成一可數(shù)集。5、證明由直線上互不相交的開區(qū)間作為集A的元素，則A至多為可數(shù)集。6、空間中，是一個可數(shù)集

7、合。第二章 點集本章討論了特殊的集合空間中的點集中的一些基本概念及性質(zhì)，主要討論了開集及閉集的結(jié)構(gòu)。為以后引入L積分打下了基礎(chǔ)。§1 度量空間 n維歐式空間熟記距離、領(lǐng)域、點列的收斂、直徑、有界集、n維空間中的區(qū)間及區(qū)間的體積的定義；會判斷二元函數(shù)為距離。§2 聚點 內(nèi)點 界點熟記并深刻理解內(nèi)點、外點、界點、聚點、孤立點、開核、邊界、導集、閉包的定義。§3 開集 閉集 完備集深刻理解開集、閉集的性質(zhì)；記住自密集、完備集的定義。§4 直線上的開集、閉集及完備集的構(gòu)造理解構(gòu)成區(qū)間的定義、了解康脫集的構(gòu)造。練習題一、選擇題1、集合E的全體內(nèi)點所成的集合稱為E的

8、（ ）A、開核 B、邊界 C、導集 D、閉包2、集合E的全體聚點所成的集合稱為E的（ ）A、開核 B、邊界 C、導集 D、閉包3、集合E的全體邊界點和內(nèi)點所成的集合是E的（ ）A、開核 B、邊界 C、導集 D、閉包4、EE所成的集合是（ ）A、開核 B、邊界 C、外點 D、E的全體孤立點5、E的全體邊界點所成的集合稱為E的（ ）A、開核 B、邊界 C、導集 D、閉包6、設(shè)點P是集合E的邊界點，則（ ）A、P是E的聚點 B、P是E的孤立點 C、P是E的內(nèi)點 D、P是的邊界點7、設(shè),則下列哪一個是G的構(gòu)成區(qū)間（ ）A、 B、 C、 D、8、設(shè)，則下列哪一個是G的構(gòu)成區(qū)間（ ）A、 B、 C、 D、

9、9、設(shè)，則下列哪一個是G的構(gòu)成區(qū)間（ ）A、 B、 C、 D、10、設(shè)，則下列哪一個是G的構(gòu)成區(qū)間（ ）A、 B、 C、 D、11、設(shè)，則下列哪一個是G的構(gòu)成區(qū)間（ ）A、 B、 C、 D、12、設(shè)，則下列哪一個是G的構(gòu)成區(qū)間（ ）A、 B、 C、 D、13、若，則下列命題錯誤的是（ ）A、 B、 C、 D、14、若，則下列命題正確的是（ ）A、 B、 C、 D、15、若，則下列命題錯誤的是（ ）A、 B、 C、 D、16、設(shè)是的余集，則下列命題正確的是（ ）A、 B、 C、 D、17、設(shè)，則下列命題正確的是（ ）A、 B、 C、 D、18、下列命題錯誤的是（ ）A、是閉集 B、是閉集 C、是

10、閉集 D、是閉集19、若A是閉集，B是開集，則是（ ）A、開集 B、閉集 C、既非開集又非閉集 D、無法判斷20、若A是開集，B是閉集，則是（ ）A、開集 B、閉集 C、既非開集又非閉集 D、無法判斷21、若是一開集列，則是（ ）A、開集 B、閉集 C、既非開集又非閉集 D、無法判斷22、若是一開集列，則是（ ）A、開集 B、閉集 C、既非開集又非閉集 D、無法判斷23、若是一閉集列，則是（ ）A、開集 B、閉集 C、既非開集又非閉集 D、無法判斷24、若是一開集列，則是（ ）A、開集 B、閉集 C、既非開集又非閉集 D、無法判斷二、填空題1、歐式空間中，任意兩點的距離 2、空間中，任意兩元素

11、的距離 3、空間中，任意兩元素的距離 4、歐式空間中，任意兩點的距離 5、歐式空間中，任意兩點的距離 6、歐式空間中，任意兩點的距離 7、設(shè)，則 8、設(shè)，則 9、設(shè)，則 10、設(shè)，則 11、設(shè)，則 12、設(shè)，則 13、設(shè)，則 14、設(shè)C是康托完備集， 15、設(shè)C是康托完備集，則C的直徑 16、兩個非空集合A，B距離的定義為 17、一個非空集合A的直徑的定義為 18、設(shè)，則 三、判斷題（ ）1、若一個點不是E的聚點，則必然也不是E的內(nèi)點。（ ）2、E的外點全體和E的余集是相同的。（ ）3、E的內(nèi)點必然屬于E。（ ）4、E的孤立點必然屬于E。（ ）5、E的邊界點一定不屬于E。（ ）6、E的聚點必然

12、屬于E。第三章 測度論本章主要是討論中點集的可測性與可測集的測度（度量）問題，它是建立新積分的理論基礎(chǔ)。學生一定要注意對概念、定理、記號的理解。§1 約當測度第一，要弄清確界的概念；第二，了解約當測度，并知道中全體無理點集是約當不可測的。§2 外側(cè)度第一，重點掌握L外測度的定義及其三條基本性質(zhì)，并會用定義討論一些簡單集合（如有限集，可數(shù)集）的外側(cè)度；第二，知道任意區(qū)間I的外側(cè)度為。§3 可測集第一，需重點掌握L內(nèi)測度及其性質(zhì) ，L可測集的兩種定義方法；第二，深刻理解課本定義3，并會用它證明一些集合的可測性，如定理1，定理2等；第三，會用內(nèi)外測度相等論證一些集合的可

13、測性；第四，掌握可測集的運算性質(zhì)，知道L可測集類是環(huán)（主要指對運算的封閉性）；第五，一定要知道可測集的極限運算和測度運算的換序條件，一定要注意差運算和測度運算換序的條件（包含和測度有限），需理解可測集的測度有限與集合有界的關(guān)系。§4 可測集（續(xù)）本節(jié)首先給出了常見的L可測集（如零測集、區(qū)間、開集、閉集、康脫爾集及其條集）及其測度的計算方法；說明J可測集皆L可測；并從集，集到波雷爾集均可測，得到了可測集和集，集，波雷爾集的關(guān)系，揭示了L可測集的結(jié)構(gòu)。開集類、閉集類型集類，型集類波雷爾集類可測集類=中的一切子集類§5 不可測集知道存在L不可測集練習題一、選擇題1、若( )A、0

14、 B、1 C、2 D、32、下述結(jié)論（ ）正確A、 B、 C、 D、3、若（ ）A、0 B、1 C、2 D、34、下列說法不正確的是（ ）A、E的測度有限，則E必有界 B、E的測度無限，則E必無界C、有界點集的測度有限 D、的測度無限5、是康托爾（cantor）集，則（ ）A、0 B、1 C、2 D、36、設(shè)A是B的真子集，則（ ）A、 B、 C、 D、7、G表示康托爾（cantor）集在中的余集，則（ ）A、0 B、1 C、2 D、38、設(shè)都可測，則（ ）A、可測 B、不可測 C、可能可測也可能不可測 D、以上都不對9、（ ）A、1 B、2 C、3 D、410、A可測，B是A的真子集，則（

15、）A、 B、 C、 D、以上都不對11、（ ）A、1 B、2 C、3 D、412、L可測集類，對運算（ ）不封閉。A、可數(shù)和 B、有限交 C、單調(diào)集列的極限 D、任意和13、外側(cè)度不具有（ ）A、非負性 B、單調(diào)性 C、次可數(shù)可加性 D、恒正性14、下述哪種集測度肯定不為零（ ）A、可數(shù)集 B、非空開集 C、不可數(shù)集 D、閉集15、以下論述哪個不和E可測等價（ ）A、B、C、D、二、填空題1、，對每一列覆蓋的開區(qū)間，定義 2、設(shè)是一列遞增的可測集合，則 3、設(shè)A=“開集類”，B=“波雷爾集類”，C=“可測集類”，D=“型集類”。那么A，B，C，D的關(guān)系是 4、I是區(qū)間，則 5、設(shè)，E有界，I為

16、任一包含E的開區(qū)間，則 6、稱為測度的 7、若，這稱為外測度的 8、若集合G能表示成 ，則稱G為集。9、設(shè)都有 則稱可測的。10、若集合F能表示成 則稱集。11、設(shè)是一列遞減可測集合，且 12、L可測集和波雷爾集相差一個 13、設(shè)都是可數(shù)集，則 三、判斷題，并說出理由（ ）1、若可測，則和都可測。（ ）2、兩個集合的某數(shù)相等，則它們的外測度相等。（ ）3、設(shè)都可測，則也可測，且。（ ）4、無限集的外測度一定不為零。（ ）5、若可測集是可測集的子集，且。（ ）6、若E可測，A可測，且。（ ）7、設(shè)E為測度有限的集，則E是有界可測集。四、證明題1、證明：集合E可測的充要條件是對于任意，總有.2、證

17、明：對，可測的充要條件是可測。3、證明：可數(shù)點集的外測度為零。4、設(shè)是個互不相交的可測集合，。證明：5、若，則可測。6、設(shè)可測，為任意集合，證明：。五、簡答題1、請指出可測集和集的關(guān)系。2、請敘述測度的可列可加性。3、從基數(shù)的角度請舉出三種零測度集的例子。第四章 可測函數(shù)為了以后建立新積分理論的需要，本章引進一個新的函數(shù)類可測函數(shù)類。為此先給出一般點集上函數(shù)的基本概念（如有限、無限）和性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上討論了可測集上的可測函數(shù)的問題，學生一定要注意對概念、定理、記號的理解。§1 可測函數(shù)及其性質(zhì)本節(jié)首先通過集合的可測性定義了可測函數(shù)及其邏輯形式，列出了連續(xù)、單調(diào)、簡單函數(shù)的可測性，需

18、重點掌握這些概念的定義，并會用這些理論進行簡單論述，如集合限定轉(zhuǎn)換和表示；還講述了可測函數(shù)的運算（四則和極限），這使可測函數(shù)類變得很大；第三個重點是可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系，這是可測函數(shù)的又一描述；學生一定要知道和的定義；第四個重點是幾乎處處概念，學生要認識到這是與測度有關(guān)的。§2 葉果洛夫（EropoB）定理本節(jié)主要通過葉果洛夫定理闡述了函數(shù)列的點態(tài)收斂與一致收斂的關(guān)系，要會證葉果洛夫定理的逆定理，要掌握證明時的思想方法。§3 可測函數(shù)的構(gòu)造本節(jié)主要通過魯金定理揭示了可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。我們常常應(yīng)用魯金定理把有關(guān)可測函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)來處理，使問題得以簡化。需

19、會證魯金定理的逆。§4 依測度收斂本節(jié)首先講述了依測度收斂的概念，學生要會用該理論證明函數(shù)列的測度收斂和測度不收斂，其關(guān)鍵是對集的具體化；第二講述了各種收斂的關(guān)系，學生一定要掌握這些關(guān)系及相應(yīng)的反例。練習題一、選擇題1、下列說法正確的是（ ）A、有限 B、無界C、，在有限 D、，在有界2、函數(shù)列在上（ ）于0,。A、一致收斂 B、收斂 C、一致收斂 D、基本一致收斂3、設(shè)E是中的不可測集，則下列函數(shù)在上可測的是（ ）A、 B、 C、 D、4、若可測，則它必是（ ）A、連續(xù)函數(shù) B、單調(diào)函數(shù) C、簡單函數(shù) D、簡單函數(shù)列的極限5、下述論斷正確的是（ ）A、無界 B、有限C、有界 D、有

20、限6、函數(shù)列在上（ ）于0。A、收斂 B、一致收斂 C、基本一致收斂 D、一致收斂7、設(shè)，其中是的不可測集，則下列函數(shù)在可測的是（ ）A、 B、 C、 D、8、一個函數(shù)在其定義域中的（ ）處都是連續(xù)的。A、邊界點 B、內(nèi)點 C、聚點 D、孤立點9、下列說法正確的是（ ）A、在無界 B、有限C、有界 D、在有限10、函數(shù)列在上（ ）于0。A、收斂 B、一致收斂 C、基本一致收斂 D、一致收斂11、設(shè)是上的不可測集，,則下列函數(shù)在可測的是（ ）A、 B、 C、 D、12、設(shè)為可測集，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A、若在上收斂于一個有限的可測函數(shù)，則一致收斂于B、若在上收斂于一個有限的可測函數(shù)，則基本

21、上一致收斂于C、若在上收斂于一個有限的可測函數(shù)，則D、若在上基本上一致收斂于，則收斂于13、下列說法正確的是（ ）A、在上無界 B、在上有限C、上有限D(zhuǎn)、上有界14、函數(shù)列在上（ ）于0。A、收斂 B、一致收斂 C、基本一致收斂 D、一致收斂15、設(shè)，其中是上的不可測集，則（ ）在可測。A、 B、 C、 D、16、關(guān)于連續(xù)函數(shù)與可測函數(shù)，下列論述中正確的是（ ）A、它們是同一概念 B、有限的可測函數(shù)是連續(xù)函數(shù) C、有限的可測函數(shù)是基本上連續(xù)的函數(shù) D、有限的可測函數(shù)是連續(xù)的函數(shù)17、下列說法正確的是（ ）A、有限 B、無界C、有限 D、有界18、函數(shù)列在上（ ）于0。A、收斂 B、基本一致收斂

22、 C、一致收斂 D、一致收斂19、設(shè)，其中是上的不可測集，則（ ）在上是可測的。A、 B、 C、 D、20、關(guān)于簡單函數(shù)與可測函數(shù)，下述結(jié)論不正確的是（ ）A、簡單函數(shù)一定是可測函數(shù) B、簡單函數(shù)列的極限時可測函數(shù) C、簡單函數(shù)與可測函數(shù)是同一概念 D、簡單函數(shù)列的極限與可測函數(shù)是同一概念21、下列說法正確的是（ ）A、無界 B、有限C、有限 D、有界22、函數(shù)列在上（ ）于0。A、基本一致收斂 B、收斂 C、一致收斂 D、一致收斂23、設(shè)是中的不可測集，則下列函數(shù)在上可測的是（ ）A、 B、 C、 D、24、關(guān)于依測度收斂，下列說法中不正確的是（ ）A、依測度收斂不一定一致收斂 B、依測度收

23、斂不一定收斂C、若在上收斂于有限的可測函數(shù)，則D、若，則存在子列收斂于25、下列函數(shù)在上幾乎處處為正的是（ ）A、 B、 C、 D、二、填空題1、設(shè)是定義在可測集上的實函數(shù)，若，有 ，則稱在上可測。2、的定義為 。3、上的連續(xù)函數(shù)及單調(diào)函數(shù)都是 。4、葉果洛夫定理反映了 與 的關(guān)系。5、可測集上的連續(xù)函數(shù)都是 。6、可測函數(shù)列的極限 。7、實變函數(shù)中的函數(shù)連續(xù)性是數(shù)學分析中函數(shù)連續(xù)性的 。8、幾乎處處是與 有關(guān)的概念。9、上的簡單函數(shù)，指的是對進行有限不交可測分解后，每一個可測子集上都取 的函數(shù)。10、魯金定理反映了 與 的關(guān)系。11、兩個可測函數(shù)的四則運算（假定它們都有意義）結(jié)果 。12、函

24、數(shù)列在不一致收斂于且不 收斂于1。三、判斷題，并說出理由（ ）1、若，于，在可測集上可測，則也在上可測。（ ）2、若在可測集上可測，則也可測。（ ）3、若且，于。（ ）4、若在可測集上可測，則在的任意可測子集上也可測。（ ）5、若在可測集上可測，則在的任意子集上可測。（ ）6、若都可測，則在可測集上也可測。（ ）7、設(shè)為可測集，在上可測，則可測。（ ）8、黎曼函數(shù)可測。四、證明題1、設(shè)在上是有限的可測函數(shù)，則對于任何，存在連續(xù)函數(shù)，使。2、設(shè)函數(shù)列在上依測度收斂于，且，于，則在上成立。3、設(shè)函數(shù)列在有界集上基本一致收斂于，證明在上收斂于。4、證明：若，則在上成立。5、設(shè)，試證。6、設(shè)，證明：。

25、五、簡答題1、請說明：在上函數(shù)列，不測度收斂于。2、用可測函數(shù)的定義說明狄里克雷函數(shù)，在可測。3、若在可測集上可測，則在上也可測。第五章 積分論在數(shù)學分析中遇到的函數(shù)大部分是連續(xù)函數(shù)，它們在有界閉區(qū)間上是黎曼可積函數(shù)的。但黎曼可積函數(shù)不能滿足科學發(fā)展的需要。在1902年法國數(shù)學家Lebesgue成功地引入了一種新的積分，即L積分，大大地擴充了可積分函數(shù)的范圍，成為分析數(shù)學的不可缺少的工具。在本章中將詳細給出L積分的定義及性質(zhì)。§1 黎曼函數(shù)了解黎曼積分的定義和三個R可積的充要條件。本節(jié)不作為考核內(nèi)容。§2 勒貝格積分的定義掌握有界函數(shù)在有界可測集上L積分的定義、性質(zhì)及充要條件；了解R積分與L積分的關(guān)系；利用定理4求一些函數(shù)的L積分。§3 勒貝格積分的性質(zhì)熟練掌握L積分的性質(zhì)§4 一般可積函數(shù)掌握非負可測函數(shù)和一般可測函數(shù)L積