居余馬線性代數(shù)第三章課后習(xí)題

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持第三章課后習(xí)題及解答將1,2題中的向量表示成4的線性組合:1.1,2,1,1 t,1,1,1,1, 2 1,1,1,1t, 3 1, 1,1, 1t, 4 1, 1, 1,1 t.2.0,0,0,1 ,1,1,0,1 , 22,1,3,11,1,0,0 , 4 0,1, 1, 1.解：設(shè)存在k1,k2,k3,k4使得k1k33 k4 4 ,整理得1 k,k44設(shè)存在k1,k2,k3, k4使得k11 k2 2k3k4 4 ,整理得k12k2k30 ,k1k2k3k40,3k2k40 , k1 k2k41.解得k11, k20,k31,

2、 k40.所以判斷3,4題中的向量組的線性相關(guān)性:51解得 k1, k2, k34411所以 1丄214443.1,1,1 T, 20,2,T, 31,3,64.(1, 1,2,4)t, 20,3,1,2 T,33,0,7,14 t.解:1文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持3文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯3.設(shè)存在k1,k2,k3使得k 1k22 k330 ，即k1k30k12k23k3k15k2 6k31010 ,由12301560 ,解得k1,k2,k3不全為零,故1, 2, 3線性相關(guān).4.設(shè)存在k1

3、,k2,k3使得k 1k22k330 ,即k1 3k30k1 3k202k1k2 7k30可解得kIhK不全為零，故1, 2,3線性相關(guān)4k12k214k35. 論述單個向量(a1,a2, ,an)線性相關(guān)和線性無關(guān)的條件.解：設(shè)存在k使得k 0 ,若 0 ,要使k 0 ,當(dāng)且僅當(dāng)k 0 ,故，單個向量線性 無關(guān)的充要條件是0 ；相反，單個向量(a1,a2, ,an)線性相關(guān)的充要條件是0.6. 證明：如果向量組線性無關(guān)，則向量組的任一部分組都線性無關(guān)證：設(shè)向量組 1, 2, n 1, n線性無關(guān)，利用反證法，假設(shè)存在該向量組的某一部分組i1, i2, , ir(ir n)線性相關(guān)，則向量組1

4、, 2, , n 1, n線性相關(guān)，與向量組1, 2, , n 1, n線性無關(guān)矛盾,所以該命題成立.7.證明：若1, 2線性無關(guān)，則 I 2, I2也線性無關(guān).證：方法一，設(shè)存在 k1,k2使得k1( 12) k2( 12) 0，文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持1,整理得,(kt k2) 1 (ktk?)因為2線性無關(guān)，所以k1k1k2k2,可解得k1 k22線性無關(guān).方法二，因為(2)12)1又因為20 ,且2線性無關(guān)，所以向量組12,12的秩為2,故 12, 12線性無關(guān)8.設(shè)有兩個向量組1, 2, S,其中S是分別在2, S的k個分量后任意添加m個分量b1j

5、 ,b2 j，(j 1,2,IS)所組成的km維向量，證明:(1)若2, S線性無關(guān)，則S線性無關(guān);2, S線性相關(guān)，則S線性相關(guān).證：證法1，(1)設(shè)AS ,因為I)2,S線性無關(guān)，所以齊次線性方程AX 0只有零解，即r(A) s,且 r(B) S，S線性無證法2,因為S線性無關(guān)，所以齊次線性方程AX 0只有零解，再增加方程的個數(shù)，得BX 0 ,該方程也只有零解，所以1 , 2,S線性無關(guān).5文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持9文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯（2）利用反證法可證得，即假設(shè) 1,2, S線性

6、無關(guān)，再由（1）得1,2, , S線性無關(guān)，與1, 2, S線性相關(guān)矛盾9.證明：I2, 23,31線性無關(guān)的充分必要條件是1,2, 3線性無關(guān)101證：方法1，（ I2,23 ,31)=(1 , 2 ,3）11001110 1因為1, 2, 3線性無關(guān)，且11 020,可得12 ,23,31的秩為301 1所以12, 23 ,31線性無關(guān).線性無關(guān)；反之也成立方法2，充分性，設(shè) I,2 ,3線性無關(guān),證明1 2,23,31線性無關(guān).設(shè)存在k1,k2,k3使得k1（12)k2(23)k3(31)0，整理得，因為1 ,2, 3線性無關(guān)，所以k1k30k1k20 ,可解得k1k2 k30 ,所以

7、12 , 23,31線性無關(guān)k2k30必要性，（方法1）設(shè)12, 23, 31線性無關(guān)，證明1, 2, 3線性無關(guān),假設(shè)1, 2, 3線性相關(guān)，則1 , 2,3中至少有一向量可由其余兩個向量線性表示，不妨設(shè)1可由2,3線性表示，則向量組1 2 , 23,31可由2, 3線性表示，且32 ,所以12 ,23,31線性相關(guān)，與12 ,23,31線性無關(guān)矛盾，故 1, 2,3線性無關(guān)方法2,令I(lǐng)12 , 22k1 1k2 2k330,由1 111 Z1'(123),2(122k1 1k2 2k330得，1k1 (1 23）1k2 (1222k因為1, 2, 3線性無關(guān)，所以kk3,331 ,

8、設(shè)存在k1,k2,k3使得2,223,331得23),3-(1223），代入13)k3 (2k2k301 23）0，即k2 k30k2k30可解得k k2 k3 0 ,所以1, 2, 3線性無關(guān)10. 下列說法是否正確？如正確，證明之；如不正確，舉反例：（1）1, 2, m（ m 2）線性無關(guān)的充分必要條件是任意兩個向量線性無關(guān);解：不正確，必要條件成立，充分條件不成立，例：2維向量空間不在一條直線的 3個向量,雖然兩兩線性無關(guān)，但這3個向量線性相關(guān)。設(shè)1, 2, 3兩兩線性無關(guān)，而1, 2, 3線性相關(guān)（2） 1, 2, , m（m 2）線性相關(guān)的充分必要條件是有m 1個向量線性相關(guān)；101

9、解：不正確，充分條件成立，但必要條件不成立，例：設(shè)I， 2， 30111,2, 3線性相關(guān)，而 倆1,2, 3兩兩線性無關(guān).文檔來源為 : 從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word 版本可編輯 . 歡迎下載支持（3）若1, 2線性相關(guān)，1, 2線性相關(guān)，則有不全為零的數(shù)k,k2 ,使得k11 k2 20 且 k11k220 ，從而使得k（111 ）k（222）0 ，故 11， 22線性相關(guān) .解：不正確，因為 1， 2 線性相關(guān)和 1， 2線性相關(guān)，不一定存在同一組不全為零的數(shù)k1,k2 ,使得k1 I k2 2 0和k1 I k2 2 0成立；或者說存在兩組不全為零的數(shù)k1,k2和 t1,t2 使得 k1

10、 Ik2 2 0 和 t1 It2 20 成立 .(4). 若 1,2,3線性無關(guān)，則12,23,31 線性無關(guān) .解：不正確，因為取1， 1， 1 這組常數(shù)，使得 （ 12）（23）( 31) 0所以 12, 23,31 線性相關(guān) .(5) 若 1,2,3,4 線性無關(guān)，則 12,23,34,41 線性無關(guān)；解：不正確，因為12,23,34 ,41 線性相關(guān)，由9題，n為奇數(shù)個時，線性無關(guān)，n為偶數(shù)時，線性相關(guān).（6）若1, 2, 3, , n線性相關(guān)，則12, 23, , n 1 n, n 1線性相關(guān);解：正確，因為 1, 2, 3, , n線性相關(guān)，所以 1, 2, 3, , n中至少有

11、一向量可由剩 余的 n 1個向量線性表示，則 1 2, 2 3, , n 1 n, n 1 也可由那剩余的 n 1個向量線性表示，再因為 n n 1，11. 如果 1, 2, 3, 4線性相關(guān)， 但其中任意 3個向量都線性無關(guān)， 證明必存在一組全不為 零的數(shù) k1,k2,k3,k4 ，使得 k1 1 k2 2 k3 3 k4 4 0.證：因為 1, 2, 3, 4 線性相關(guān)，所以存在不全為零的常數(shù)k1,k2,k3,k4 ，使得k11k22k33k44 0，假設(shè)k10，則k22k33 k4 4 0 ，得 2， 3， 4線性相關(guān)與題設(shè)矛盾 .故 k1 0 ；同樣方法可證得 k2,k3,k4 都不為

12、零 .所以該命題成立 .12.若1, 2, , r線性無關(guān)，證明： ，1, 2, , r線性無關(guān)的充分必要條件是不能由 1, 2, r 線性表示 .證：必要性，假設(shè)能由 1, 2, r ,則，1,2, r 線性相關(guān)與, 1,2, ,r 線性無關(guān)矛盾，故不能由 1,2, r 線性表示充分性，設(shè)存在k0,k1,k2,kr 使得 k0k1 1k22 k3 3krr0 ，若 k00 ，則能由 1,2 , 3, r 線性表出，矛盾，所以 k00，因此，k1 1k2 2 k3 3kr r0 ，又因為1,2,r線性無關(guān)，所以 k1k2kr0 ，故， , 1, 2, ,r 線性無關(guān) .13. 求下列向量組的秩

13、及其一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用極大線性無關(guān)組線性表示：(1) 1 (6,4,1,9,2), 2 (1,0,2,3, 4), 3 (1,4, 9, 6,22), 4 (7,1,0, 1,3);13文檔來源為 : 從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word 版本可編輯1,2,0);2) 1 (1, 1,2,4), 2 (0,3,1,2),3 (3,0,7,14), 4 (2,1,5,6) , 5 (1,3) 1 (1,1,1),2 (1,1,0), 3 (1,0,0), 4 (1,2, 3).所以，向量組的秩為 3，1, 2, 4 為一個極大線性無關(guān)組，6117101040410150解：(1)TTTT1

14、 , 2, 3 , 412900001936100002422300002）類似（ 1），可求得向量組的秩為3，1, 2, 4 為一個極大線性無關(guān)組，且3）類似（ 1），可求得向量組的秩為3， 1, 2, 3 為一個極大線性無關(guān)組，14. 設(shè)向量組：1 (1, 1,2,4), 2 (0,3,1,2), 3 (3,0,7,14), 5(2,1,5,6), 4 (1, 1,2,0),5 (2,1,5,6).1）證明 1， 2 線性無關(guān)；2）求向量組包含 1， 2 的極大線性無關(guān)組（1）證：設(shè)存在k1,k2,使得k1 ITk10 ，求得 k1 k20 ，所以 1，103122）解，T, T, T,

15、T, T 11 , 2 , 3 , 4 , 53011217254214061030110000002線性無關(guān)；010 1 ,1 1 , 00所以， 1, 2, 4 為包含 1， 2的一個極大線性無關(guān)組15.設(shè)A, B皆為n階矩陣,r(A) n,r(B) n,證明:1 )秩 A 0 r(A) r(B); 0BAC(2)秩r(A) r(B), C為任意n階矩陣0B證：( 1)設(shè) r(A)r1,r(B) r2 ,則存在n階可逆矩陣P,Q , P ,QEr0 ' 'Er 0使得PAQ r1, P'BQ'r2, 從而0000A0P0IA0Q0I則秩秩r1 r2 r(A)

16、 r(B)0B0P'0B0Q'AC(2)因為秩 A C r(A),所以秩r(A) r(B).0B16.證明 r(AB) min(r(A),r(B).證：設(shè)代B分別為m n,n S矩陣，將A按列分塊，則有AB12b1Sb2S 的列向量組S可由A的列向量組bnS1, 2,I n線性表示，故r(AB) AB的列秩 A的列秩=r(A),冋樣，將B按行分塊,得 r(AB)r(B),因此，該命題成立.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持1.設(shè)代B分別為m n,n m矩陣，且n m，證明：齊次線性方程組 (AB)X 0有非零解.證：由 r(AB) min(r(A),r

17、(B)n m ,所以AB 0 ,故齊次線性方程組(AB)X 0有非零解.n矩陣.證明：若A的行向量組的18.設(shè)A是一個S n矩陣，B是由A的前m行構(gòu)成的m秩為 r ,則 r(B) r m S .證：設(shè) i (aw ai2,a)n), i 1,2, S) A設(shè)r(B) P ,于是B的行向量組的極大線性無關(guān)組i1i2含P個向量。因此,A的行向量組的一個極大線性無關(guān)組是向量組ip， m 1J的一個子集，所以它所含向量個數(shù)P (S m),即r(A) r P (S m)，從而，r(B) P r m S.求下列(19 22題)矩陣的秩，并指出該矩陣的一個最高階的非零子式:123450 012319.0 0

18、 0040 0 121123451123450 解：0123200123/IjT .0000440000200121300000所以，矩陣的秩為 3。13501340為一個最高階的非零子式。0041121022 42020.30611 .0300111210111210解：224204030013061130004003001200000所以，矩陣的秩為3。111301120為一個最高階的非零子式。0303213221.21313 .455613213213493解：21313071317945561002132所以，矩陣的秩為 3。15文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯文檔來源為

19、：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持321213140為一個最高階的非零子式。4551100110021100110解:0211001000210001所以，矩陣的秩為 4。110 010為一個最高階的非零子式。2 1100 2 110 0 2 123.設(shè)A是一個m n矩陣，證明：存在非零的n S矩陣B ,使得AB 0的充要條件是0017文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯r(A) n.證：設(shè)齊次線性方程組 AX 0，B0,則由AB 0，可得A j0, j 1,2,s ,由于,S 0,至少有一個 j 0，再由AX0有非零解的充要條件是r(A)0, j1,2, ,s，至少

20、有一個j 0的充要條件是r(A) n .24.設(shè)A, B是同形矩陣，證明：A與B相抵的充要條件是r(A)r(B).證：設(shè)代B是m n矩陣，r(A)r,r(B)P ,則存在可逆矩陣 P, p2,q1,q2，使得 PAQ1 Er 0，P2BQ20 0EP0文檔來源為 : 從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word 版本可編輯 . 歡迎下載支持充分性，因為 r(A) r(B) ，所以， P1AQ1Er 0 = P2 BQ20 2 2Ep01 1 1 1(P2)1RAQ1Q21 B,令(F2)1R PQQ21 Q ,故，PAQ B因此，A與B相抵.必要性，因為 A與B相抵，所以，存在可逆矩陣P,Q , 使得 PAQ

21、B ，13文檔來源為 : 從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word 版本可編輯因此， r(A) r(B).Im25.設(shè)A是m n矩陣(m n) , r(A) m ,證明：存在n m矩陣B使得AB證：因為r(A) m ,所以，存在可逆矩陣 PIQ ,使得PAQ Im 0 ,所以有1AQ P 1 Im 0 ,AQ P 1 Im 0 (P 10), (1)(1)右端乘n m階矩陣T P ,得AQT Im ,令QT B,0故， AB I m .26.證明：若n階方陣A的秩為r ,則必有秩為n r的n階方陣B ,使得BA 0.證：因為n階方陣A的秩為r ,所以AT的秩為r ,則ATX 0的基礎(chǔ)解系含有n r個線性無關(guān)

22、的解向量，取這n r個線性無關(guān)的解向量XI) I Xn r為BT的列向量，則r(BT) n r r( B) .因此，該命題得證 27. 證明： 任何秩為 r 的矩陣可以表示為 r 個秩為 1 矩陣之和, 而不能表示為少于 r 個秩為 1 的矩陣之和 .文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持證：設(shè)A為秩為r的矩陣，則存在可逆矩陣 P,Q使得PAQEr0所以，A PIEr OQI PI(BIBr)QIPBQP 1BrQ 1，其中B1, Br為秩為1的矩陣因此，任何秩為r的矩陣可以表示為 r個秩為1矩陣之和.后部的證明，(反證法)假設(shè) A為秩為r的矩陣，能表示為少于 r個秩為1

23、的矩陣之和，不 妨設(shè)A能表示為 P個秩為1的矩陣之和，其中， P r ,設(shè)A ( B1Bp),其中B1, ,Bp 是秩為 1 的矩陣.r(A) r(B1)r(Bp) P r ,與 r(A) r 矛盾.28.求下列齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系及一般解：X1X25x3X40X1(1) 1X22x33x403x1X28X3X40X13x29x37x401151解:10-120 1 - 2 200000000取X3,X4為自由未知量，令X 1,X40和X30,X41 ,得原方程組的一個基礎(chǔ)解系為X1( 3,7,1,0)t; X2( 1, 2,0II)T，2 235文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版

24、本可編輯因此,般解為 Xk1X1k2X2=k171k2其中k1,k2為任意常數(shù)3x1 X2 8x3 2x4 X502x1 2x2 3x3 7x4 2x50.X111x212x334x4 5x50X1 5x2 2x316x4 3x50X3,X4,X5X31, x40,X5X3 0,X4 1,X5 0 和19878因此，一般解為Xk1X1 k2X2 k3X3 k1 100為任意常數(shù).x30, X40, X51，得原方程組的一個基礎(chǔ)解系為3825Vk201029.求下列非齊次線性方程組的一般解:丄"22k30 ，其中，k1, k2 , k301318211019 T3812解:223720

25、17825"81"21111234500000152163000002x1 7x2 3x3 X46(1)3x15x2 2x3 2x49x1 4x2 x37 X4解：3 5 2 249 4 1720 110 0100取X2,X3為自由未知量，令X2 X3 0,得方程組的一個特解：Xo (8,0,0, 10)T，再令 x21, X30 和x20, X31得其導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系Xi ( 9,1,0,11)t, X2( 4,0,1,5)T .所以，方程組的一般解為XX。 k1X1k2X2 ,其中&為任意常數(shù)X1X2X3X4X57(2)3x12x2X3x4 3x52X22X

26、32X46x5235x14x23X33x4X512111 11710解：321 13201012 262300543 311200取 X3,X4,X5,為自由未知量，令X3X4X0(16,23,0,0,0)r ；115162262300000000X50，得方程組的一個特解再取 X31,x40, X50，X30,X41,X50 和 X30, X40,X51得其導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系：X1(1, 2,1,0,0),X2(1,2,0,1,0)t,X3(5, 6,0,0,1)T所以，方程組的一般解為X X0 k1X1 k2X2 k3X3 ,其中k1,k2,k3為任意常數(shù)(P3)x1X22x3P(I)P

27、X1(P1)X2X32p3(p1)X1PX2(P3) x3330.討論p,q取何值時，下列線性方程組有解、無解，有解時求其解P 3解： P3( P 1)2 P1 2pP 312P2 P 3 0 32P (P 1)0PP2 3p 623p 15p 9所以，P 0或P 1時，該方程組無解,P 0且P 1時，有唯一解是3233VP 3p 15p 9P 12p 9 V 4p 3p 12p 9入12， X 22，入 32P (P 1)P (P 1)P (P 1)X1X2X3X4X51(2)3 X12x2X3X43x5PX22x3 2x46X535 X14x23x33 X4X5q1 111 1111111

28、1解：3 2113P0122630 122 6300000P5 4331q00000q 2所以，當(dāng)P 0或q 2時，方程組無解；當(dāng)P 0且q 2時，方程組有無窮多解，取X3,X4,X5為自由變量，令X3 X4 X5 0,得方程組的一個特解：X。( 2,3,0,0,0)T ；再取 x31,x40,x50，x30,x41,x50 和 x30,x40,x51 得其導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系：X1(1, 2,1,0,0)t,X2 (1, 2,0,1,0)t,X3 (5, 6,0,0,1)T00100001X1X22x3×41X1X22x37x43X2PX3qx4 q 3X1X22x3(q2)x4

29、q 31121111211112730123101Pqq 300P 2q 3q 2112 q2q 3000q 1q 2當(dāng)P 2且q1時，方程組有唯一解。k1k200數(shù).(3)解:所以,k3方程組的一般解為 X 0當(dāng)q1時，方程組無解；112111 1211亠 012310 1231當(dāng)P2時，000 q3q 20 0012000 q1q 20 0004 q所以，當(dāng)P 2且q4時，方程組有無窮多解，10,7,0,2Tk0, 2,1,0 T ,其中k為任意常數(shù)。所以,其中k1,k2,k3為任意常當(dāng)P 2且q 4時，方程組無解。31.設(shè)A是m n矩陣，證明：若任一個 n維向量都是 AX 0的解，則A

30、0.證：因為任一個n維向量都是AX 0的解，則n維向量i (0, ,0,1,0, ,0)T (第i個分量為1其余分量均為0的列向量)滿足A( 1, n) (A 1, ,An)0 ,即AI 0,其中 I是n階單位方陣，因此，A 0.32. 設(shè)A是一個m S矩陣，B是S n矩陣X是n維列向量.證明：若(AB)X 0與 BX 0是同解方程組，則r(AB) r(B).證：因為若(AB)X 0與BX 0是同解方程組，所以，(AB)X 0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)與BX 0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)相等.即 n r(AB) n r(B),因此，r(AB) r(B).33. 設(shè)A是m n矩陣，B是n S矩陣

31、，證明：若 AB 0,則r(A) r(B) n.證：設(shè)B ( 1，, S),其中1, S是一組列向量，由 AB 0得，A j 0, j 1, ,s.若r(A) r ,則AX 0的基礎(chǔ)解系含有n r個線性無關(guān)的解向量，而1, S為AX 0的解向量，則 1, S可由AX 0的基礎(chǔ)解系線性表示，所以，r(B) n r n r(A).故，r(A) r(B) n.34.設(shè)A是n階矩陣A的伴隨矩陣，證明:n, r(A) n(1)r(A )1, r(A) n 10, r(A) n 1(2) AIAn證：(1)由于 AA AI ,當(dāng) r(A) n 時，A 0，所以 A 0,得 r(A ) n ；當(dāng)r(A) n

32、 1時，即至少有一個 n 1階子式不等于零，所以 A 0 ,且A 0，因為A 0 ,所以r(A )1.因為A 0 ,所以AA 0 ,即A的每一列均是齊次線性方程組 AX 0的解，所以r(A ) n r(A) n (n 1)1。因此，r(A )1 ；當(dāng)r(A) n 1時，A的任一 n 1階子式都等于零，所以 A 0 ,故r(A )0。n 1(2)當(dāng) A 0時，由 AA AI ,得 A A 。n 1當(dāng)A 0時，即r(A) n 1 ,由(1)知，r(A )1 ,從而A 0 ,所以A A 也成立，故，對任意n階方陣A ,都有：A An 1°An35.設(shè)A是n階可逆矩陣(n 2),證明：AAn

33、 2A.證：因為A是n階可逆矩陣，所以 A是n階可逆矩陣，且 A因為A A A I ,所以A A (A )又因為AAAI ,所以(A)因此，AA (A )An136.設(shè)A是n階矩陣，證明：非齊次線性方程組AX b對任何b都有解的充要條件是A 0.證：充分性，因為 A 0 ,所以r(A) n r(代b)。 因此，對于任意 b，r(A) n r(代b)，AX b有解.必要性，(反證法)假設(shè)A 0,則r(A),則 1, 2n線性相關(guān),從而其中至少有一個向量能由其余向量線性表出，不妨設(shè)n可由1,2, I n 1線性表出,取 b (0,0,0,1)T ,則(A,b)矛盾。,即r(A) r(代b),所以方

34、程組無解,n 1 00 137.設(shè) X1 X2 a1 , X2X3a2 , X3 X4a3, X4X5a4, X5X1a5,5證明：這個方程組有解的充要條件是ai 0 ,在有解的情形下，求出它的一般解。i 1證：因為X1 X2a1,X2X3a2,X3X4 a3,X4X5a4, X5X1a5 ,11000X1a101100X2a2即00110X3a300011X4a410001X5a5有00a100a210a311a401a51 1 0 0 1 1 001Ooo100IIOOO0 1 1 0 00 0 1 1 00 001 10 0000a1a2a3a4a 1a?a3a4a51000111000

35、令A(yù)01100 ,增廣矩陣（A,b）00110000115方程組有解的充要條件為r（A） r（代b）即 a：0。i 101a500a400a3，10a211a1 001 100 1 10 0 1OOOai 000a100a210a311a4000i 11 1 00 1 10 0 10 0 00 0 010001a1a2a3a401001a2a3a400101a3a400011a4000000時得方程組的一個特解取X5為自由變量令X50Xo（印a2a3a4, a2a3 a4, a3a4,a4,O) ；再取X51得其導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系：X1（1,1,1,1,1）T11k 1 ,其中k為任意常數(shù)。

36、11a a? a3 a4a2 a3 a4所以，方程組的一般解為 X Xo kX1a3 a4a4038.已知2是方程組AX b的兩個不同解，2是對應(yīng)齊次線性方程組 AX 0的基礎(chǔ)解系,則AXb一般解是：(A) k1 1k2(2)七A (B)k11 k2( 2 I)計(C) k1 1k2(2)亍(D)k11k2( 12)亍解:可證得1,是線性無關(guān)的且是AX0的解，因此是AX 0的一個基礎(chǔ)解系，b的一個解，因此，選(B).39.1已知Q 234 t , P為非零矩陣6 9,PQ0,則:(A)r(P) 1 ;(B)6時,r(P) 2;(C)6 時，r(P) 1 ;(D)6 時,r(P)2;因為PQ 0

37、 ,且 Q,所以 r(P) r(Q)3,又因為P為非零矩陣，所以 r(P)1,當(dāng)t 6時,r(Q)2,因此，1 r(P) 1 ,即 r(P) 1 ,故選(C).40.設(shè) I(a1 ,a2,a3)，2 (d,b2,b3)T, 3 (G,C2,O3)t,則三條直線2ajXEy Ci 0,佝bi20), (i 1,2,3)交于一點的充要條件(A)1 , 2 ,3線性相關(guān)，(B)1,2, 3線性無關(guān)5(C)r1,2，3r1 ,2 ；(D)1,2 , 3線性相關(guān)，1,2線性無關(guān).a1xdyCIa1bia1biG解:因為 a2xb2 yc2有唯一解的充要條件是r a2b2ra2b2C22a3xb3yC3a

38、3b3a3b3C36b1C1ra2b2C22 ,即1,2,3線性相關(guān)。a3b3C3a1b1ra2b22 ,即1, 2線性無關(guān)。所以，選(D)。a3b341.設(shè)A是mn矩陣,r(A) m(m n ),B是n階矩陣，下列哪個成立?(A) A中任一 m階子式 0;(B) A中任意m列線性無關(guān)；(C)ATA 0; (D) 若 AB 0 ,則 B 0 ；(E)若 r(B) n ,則 r(AB) m.解：選 (E) . r(B) n,所以 B 可逆，r( AB) r(A) m.42.設(shè)1, 2, I m( i Rn,i 1, Im) m 2)線性無關(guān),下列哪個成立？(A) 對任意常數(shù) k1,k2,k3,

39、,km ,有 k 1 k2 2km m 0 ；(B) 任意k(k m)個向量i I I ik線性相關(guān)；(C) 對任意Rn, 1, I m,線性相關(guān)；文檔來源為 : 從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word 版本可編輯 . 歡迎下載支持(D) 任意 k(k m) 個向量 i1 , , ik 線性無關(guān) .解：選(D),因為整體線性無關(guān)，部分必線性無關(guān)。43. 設(shè) , ,線性無關(guān), ,線性相關(guān),下列哪個成立 ?(A)必可由線性表示；( B)必可由 , , 線性表示；(C)必可由線性表示；(D)必不可由 , ,線性表示 .解：選( C)。因為, , 線性無關(guān),所以, 線性無關(guān)。因為, 線性無關(guān), ,線性相關(guān),所以必

40、可由 ,線性表示,從而必可由 , 線性表示。44.設(shè)A是43 矩陣,r(A) 1, 1, 2, 3是非齊次線性方程組AX b 的三個線性無關(guān)解,下列哪個是AX0的基礎(chǔ)解系？(A)123(B)12 2 3(C) 21, 32(D)12, 2 3解：因為r(A) 1,所以AX 0的基礎(chǔ)解系含有2個線性無關(guān)的解，因此(A), (B)不正確。(D) 的兩個解不是 AX 0的解，故選 (C).45. 設(shè)向量組 1, 2, 3 線性相關(guān), 2, 3, 4 線性無關(guān)?；卮鹣铝袉栴},并證明之。(1) 1能否由 2, 3線性表示？(2) 4能否由 1, 2, 3線性表示？解：( 1)因為 2, 3, 4 線性無

41、關(guān),所以 2, 3也線性無關(guān),又因為 1, 2, 3 線性相關(guān)，所以1 可由2, 3 線性表示。(2)(反證法)假設(shè) 4 能由 1,2 , 3線性表示，再由(1)，1能由 2, 3 線性表示，所以 4 能由 2,3 線性表示，即2, 3,4 線性相關(guān)，與2, 3,4 線性無關(guān)矛盾。所以，4不能由 1,2,3 線性表示。k146. 設(shè) A 為 n 階矩陣，若存在正整數(shù)k(k2) 使得 Ak0 ，但 Ak 10 (其中 為 n 維非零列向量)，證明：,A ,Ak 1線性無關(guān)。證明：(定義法證)若 t1t2 AtkAk 10，上式兩邊左乘 Ak 1 得， t1Ak 1t2Aktk A2k 20因為 Ak0 ，所以 Ak 1A2k 20因此， t1Ak 10 ，又因為 Ak 10，得 t1 0 。利用同樣方法，可求得 t2 t3tk0，因此， ,A , ,Ak 1 線性無關(guān)。47.設(shè)A, B分別為n m,m n矩陣(n m),且AB I ( n階單位矩陣)，證明： B 的列向量組線性無關(guān)。證：因為 AB I ，且 n m, 所以 r(AB) n min(r(A),r(B) n，因此，r(B) n ,而B是m n矩陣，故， B 的列向量組線性無關(guān)。37文檔來源為 : 從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word 版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持48.