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文檔簡介

1、二次函數(shù)基礎(chǔ)學(xué)問脈絡(luò)一、二次函數(shù)圖像性質(zhì)二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c 的圖像是對稱軸平行于(包括重合) y 軸的拋物線.拋物線的三要素:開口方向、對稱軸、頂點(diǎn). a 的符號打算拋物線的開口方向:當(dāng)a > 0 時,開口向上;當(dāng)a < 0 時,開口向下; a 相等,拋物線的開口大小、外形相同. 平行于 y 軸(或重合)的直線記作 x = h .特別地, y 軸記作直線 x = 0 . 頂點(diǎn)打算拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù),假如二次項系數(shù)a 相同,那么拋物線的開口方向、口大小完全相同, 只是頂點(diǎn)的位置不同. 幾種特別的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式y(tǒng) = ax2y

2、 = ax 2 + ky = a(x - h)2y = a(x - h)2 + ky = ax 2 + bx + c對稱軸x = 0 ( y 軸)頂點(diǎn)坐標(biāo)最值(0,0)x = 0 ( y 軸)x = hx = h(0,k )( h ,0)( h , k )x = - b(- b4ac - b 2,2a4a)2a.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法æb ö24ac - b2b4ac - b 2b(1) 公式法: y = ax2+ bx + c = aç x +÷+,頂點(diǎn)是( -,),對稱軸是直線x = -.è2a ø4a(2) 配方法:運(yùn)用配

3、方的方法,將拋物線的解析式化為y = a(x - h)2線 x = h .2a4a2a+ k 的形式,得到頂點(diǎn)為( h , k ),對稱軸是直(3) 運(yùn)用拋物線的對稱性:由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形,所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的 對稱軸,對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn),再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證,才能做到萬無一失.2、二次函數(shù)表達(dá)式(1) 一般式; y = ax2 + bx + c ,當(dāng)已知拋物線上 一般三點(diǎn)坐標(biāo) 用一般式求表達(dá)式.(2) 頂點(diǎn)式: y = a(x - h)2 + k ,當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸、最值和另外一點(diǎn)坐標(biāo)用頂點(diǎn)式求表達(dá)式。(3)

4、 交點(diǎn)式: y = a(x - x)(x - x),當(dāng)已知拋物線與 x 軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)時及另外一點(diǎn)坐標(biāo)用交點(diǎn)式求表達(dá)式。 12(4) 特別狀況:1頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的二次函數(shù)解析式可以設(shè)為y = ax22對稱軸為 y 軸(或頂點(diǎn)在 y 軸上)的二次函數(shù)解析式可以設(shè)為 y = ax2 + c3頂點(diǎn)在 x 軸上的二次函數(shù)表達(dá)式可以設(shè)為 y = a(x - h)24經(jīng)過原點(diǎn)的二次函數(shù)表達(dá)式可以設(shè)為 y = ax2 + bx3、二次函數(shù)圖像符號問題(1)a 的符號:a > 0 的時候,拋物線圖像開口 向上; a < 0 的時候,拋物線圖像開口 向下; | a | 打算拋物線的開口程度;| a

5、 | 越大,開口越?。?)b 的符號:推斷口訣 左同右異a、b 同號時,對稱軸在 y 軸左側(cè); a、b 異號時,對稱軸在 y 軸右側(cè); b = 0 時,對稱軸為 y 軸。(3) c 的符號:c < 0 時,拋物線與 y 軸的交點(diǎn)交與負(fù)半軸; c > 0 時,拋物線與 y 軸的交點(diǎn)交于正半軸;c = 0 時,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)。(4) b2 - 4ac 的符號:b2 - 4ac > 0 時,拋物線與 x 軸有兩個交點(diǎn); b2 - 4ac < 0 時,拋物線與 x 軸沒有交點(diǎn);b2 - 4ac = 0 時,拋物線與 x 軸只有一交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x 軸上);(5) 2a + b 、2

6、a - b 的符號:依據(jù)對稱軸 x = -b 在直線 x = 1 、直線 x = -1 的位置關(guān)系,列出不等式,求解不等式即可。2a(6) a + b + c、a - b + c 等的符號描出在拋物線上當(dāng) x = 1 、 x = -1 的點(diǎn),觀看點(diǎn)在 x 軸上方還是下方。4、二次圖像變換(1) 對稱變換(翻轉(zhuǎn)變換):y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 關(guān)于 x 軸對稱的二次函數(shù)的表達(dá)式為 y = -ax2 - bx - c(a ¹ 0) ; y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 關(guān)于 y 軸對稱的二次函數(shù)的表達(dá)式為 y = ax2 - bx

7、+ c(a ¹ 0) ; y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 關(guān)于原點(diǎn)對稱的二次函數(shù)的表達(dá)式為 y = -ax2 + bx - c(a ¹ 0) ;(2) 平移變換:“左加右減,上加下減_”把 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 向左平移m 個單位,向上平移n 個單位后的表達(dá)式是 y = a(x + m)2 + b(x + m) + c + n(a ¹ 0)五.直線與拋物線的交點(diǎn)(1) y 軸與拋物線 y = ax 2(2) 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)+ bx + c 得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)。二次函數(shù) y = ax 2+ b

8、x + c 的圖像與 x 軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x 、x,是對應(yīng)一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的1y 2= ax2 + bx + c兩個實(shí)數(shù)根,且有 x + x= - b ,x · x= c _拋物線與 x 軸的交點(diǎn)狀況可以由對b應(yīng)的一元二次方程的根的判別式12a12a= a(x2 +x) + ca判定:且兩交點(diǎn)距離公式為b2 - 4acébæ b ö2æ b ö2 ù= a ê x2 +x + ç÷ - ç÷ ú + c22aaaa(3) 拋物線與

9、直線(雙曲線)的交點(diǎn)問題聯(lián)立方程組求解。附:1、將一般式轉(zhuǎn)變成頂點(diǎn)式ëêèøèø úûébæ b ö2 ùæ b ö2= a ê x2 +x + ç÷ ú - ç÷ · a + c(x + x )2 - 4x x211 22、交點(diǎn)距離公式推導(dǎo)ëêaè 2a ø úûè 2a øab = x- x=é

10、bæ b ö2 ùb24ac21= a ê x2 +x + ç÷ ú -+(- b )2 - 4 caab2 - 4ac a2b2 - 4acëêaè 2a ø úû4a4aa=æb ö24ac - b2= a ç x +÷ +è2a ø4a一、二次函數(shù)圖像性質(zhì)二次函數(shù)基礎(chǔ)學(xué)問默寫二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c 的圖像是對稱軸平行于(包括重合)軸的拋物線.拋物線的三要素:、. a 的符號打算拋

11、物線的:當(dāng)a > 0 時,開口向;當(dāng)a < 0 時,開口;相等,拋物線的開口大小、外形相同. 平行于 y 軸(或重合)的直線記作.特別地, y 軸記作直線. 頂點(diǎn)打算拋物線的.幾個不同的二次函數(shù),假如相同,那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同,只是頂點(diǎn)的位置不同. 幾種特別的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式y(tǒng) = ax2y = ax2 + ky = a(x - h)2y = a(x - h)2 + ky = ax 2 + bx + c對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值.求拋物線的y頂=點(diǎn)a、x 2對+稱bx軸+的c 方= 法b4ac - b 2b(1) 公式法:,頂點(diǎn)是( - 2a , 4a)

12、,對稱軸是直線 x = - 2a .(2) 配方法:運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為y = a(x - h)2線 x = h .+ k 的形式,得到頂點(diǎn)為( h , k ),對稱軸是直(3) 運(yùn)用拋物線的對稱性:由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形,所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸,對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).2、二次函數(shù)表達(dá)式(1) 一般式;,當(dāng)已知拋物線上用一般式求表達(dá)式.(2) 頂點(diǎn)式:,當(dāng)已知拋物線的和用頂點(diǎn)式求表達(dá)式。(3) 交點(diǎn)式:,當(dāng)已知拋物線與 4x 軸的和用交點(diǎn)式求表達(dá)式。(4) 特別狀況:1頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的二次函數(shù)解析式可以設(shè)為2對稱軸為 4y 軸(或頂點(diǎn)在

13、 4y 軸上)的二次函數(shù)解析式可以設(shè)為3頂點(diǎn)在 4x 軸上的二次函數(shù)表達(dá)式可以設(shè)為4經(jīng)過原點(diǎn)的二次函數(shù)表達(dá)式可以設(shè)為3、二次函數(shù)圖像符號問題(1)a 的符號:4a > 0 的時候,拋物線圖像開口;4a < 0 的時候,拋物線圖像開口; 4| a | 打算拋物線的;4| a | 越大,開口(2)b 的符號:推斷口訣4a、b 同號時,;4a、b 異號時,;4b = 0 時,對稱軸為 4y 軸。(3)4c 的符號:4c < 0 時,拋物線與 4y 軸的交點(diǎn)交與;4c > 0 時,拋物線與 4y 軸的交點(diǎn)交于;4c = 0 時,拋物線。(4)4b2 - 4ac 的符號:4b2

14、- 4ac > 0 時,拋物線與 4x 軸; 4b2 - 4ac < 0 時,拋物線與 4x 軸;4b2 - 4ac = 0 時,拋物線與 4x 軸(頂點(diǎn)在 4x 軸上);(5)42a + b 、42a - b 的符號:依據(jù)對稱軸 4x = -b與的位置關(guān)系,列出不等式,求解不等式即可。2a(6)4a + b + c、a - b + c 等的符號描出在拋物線上當(dāng) 4x =、4x =的點(diǎn),觀看點(diǎn)在 4x 軸上方還是下方。4、二次圖像變換(1) 對稱變換(翻轉(zhuǎn)變換):4y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 關(guān)于 4x 軸對稱的二次函數(shù)的表達(dá)式為;4y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 關(guān)于 4y 軸對稱的二次函數(shù)的表達(dá)式為;4y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 關(guān)于原點(diǎn)對稱的二次函數(shù)的表達(dá)式為;(2) 平移變換:“左 右 ,上 下 ”把 4y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 向 左平移 4m個 單位 , 向上 平移 4n 個單 位后 的表達(dá)式是 。五.直線與拋物線的交點(diǎn)(1) y 軸與拋物線 y = a

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